高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修一）第04講 1.3 空間向量及其運算的坐標表示（教師版）

第04講1.3空間向量及其運算的坐標表示課程標準學習目標①理解和掌握空間向量的坐標表示及意義②會用向量的坐標表達空間向量的相關運算③會求空間向量的夾角、長度以及有關平行、垂直的證明利用空間向量的坐標表示，將形與數(shù)有機結(jié)合，并能進行相關的計算與證明是學習空間向量及運算的關鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.知識點01：空間向量的正交分解及其坐標表示1、空間直角坐標系空間直角坐標系及相關概念(1)空間直角坐標系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系.(2)相關概念：叫做原點，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．2、空間向量的坐標表示2.1空間一點的坐標：在空間直角坐標系中，為坐標向量，對空間任意一點，對應一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對應的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫做點的橫坐標，叫做點的縱坐標，叫做點的豎坐標．2.2空間向量的坐標：在空間直角坐標系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記作.【即學即練1】（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為________．【答案】【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，則有.所以向量用坐標形式表示為.故答案為：知識點02：空間向量運算的坐標表示設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積知識點03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示1、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應特別注意，只有在與三個坐標平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標平面平行，則，這樣就沒有意義了.【即學即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學?？茧A段練習）已知兩個空間向量，，且，則實數(shù)的值為__________．【答案】【詳解】因為，，且，所以，即，即，解得.故答案為：2、向量長度的坐標計算公式若，則，即空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度3、兩個向量夾角的坐標計算公式設，則【即學即練3】（2023春·高二課時練習）已知向量，，，，.(1)求x，y，z的值；(2)求向量與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，，，因為，設存在實數(shù)，使得，所以，則.因為，，則.∴所以.（2）由（1）知，，，∴，，∴，，，∴.∴向量與所成角的余弦值為.4、兩點間的距離公式已知，則題型01空間向量的坐標表示【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，已知三點，若點在平面內(nèi)，則點的坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點坐標為，經(jīng)驗算只有B選項符合條件，此時，故選：B【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學考試）已知點，，點滿足，則點的坐標是________.【答案】【詳解】設，為坐標原點.由點滿足，得，可得，則點的坐標是.故答案為：．【變式1】（2023秋·高二課時練習）如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為1，，則等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為1，則故選C．【變式2】（2023春·高二課時練習）若?，點在線段上，且，則點的坐標是___________.【答案】【詳解】解：點?，為線段上一點，且，所以，設點的坐標為，則，則，即，解得，即；故答案為：．題型02空間向量的坐標運算【典例1】（2023春·高二課時練習）已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)2(3)4【詳解】（1）由，得（2）（3）【典例2】（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)寫出，，，四點的坐標；(2)寫出向量，，，的坐標．【答案】(1)點，點，點C，(2)；；；．【詳解】（1）點在z軸上，且，所以點的坐標是．同理，點C的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，0，2，所以點的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，4，2，所以點的坐標是．（2）；；；．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】因為，，，且，，三向量共面，設，則，即，解得.故選：D【變式2】（2023秋·高二課時練習）已知點、，且滿足，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設點，由，則，所以，，解得，故點.故選：B.題型03空間向量數(shù)量積（坐標形式求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┤粝蛄?，滿足條件，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】根據(jù)向量的運算可得：，所以，所以，故選：B【典例2】（2023春·高二課時練習）已知向量，．求．【答案】【詳解】由向量，，可得.【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，由，得，解得.故選：B.【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，故選：A題型04空間向量數(shù)量積（坐標形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問題）【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）在長方體中，，，，，分別是棱，，上的點，且，，，是平面內(nèi)一動點，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．【答案】A【詳解】以D作坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，設平面MPN的法向量為，則，令，則，故，設，則，因為直線與平面平行，所以，，因為，所以，故，故當時，取得最小值，最小值為.故選：A【典例2】（2023春·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學?？奸_學考試）正四面體的棱長為2，動點在以為直徑的球面上，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】設的中點為，以為原點建立如圖所示的空間坐標系，則，設，則，，，在以為球心，以為半徑的球面上，，，，令，則直線與單位圓相切時，截距取得最小值，令，解得或的最大值為.故選：C【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習）在空間直角坐標系中，，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，______．【答案】/【詳解】解：因為點在直線上運動，，所以設，則，所以當時，取得最小值，此時，所以故答案為：【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學?？茧A段練習）已知空間直角坐標系中，，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，由點在直線上，可得存在實數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當時，取得最小值，此時.故選：C.【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學校考期末）已知是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為1、1、，則的取值范圍為________.【答案】【詳解】因為MN是長方體外接球的一條直徑，長方體的棱長分別為1、1、所以，如圖，設，則因為當時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi)，又當時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi).即所求的范圍是.故答案為：題型05空間向量的模（坐標形式求空間向量的模（距離，長度））【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學?？计谥校┮阎蛄浚?，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】C【詳解】因為，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．【典例2】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，在棱上，且，H為的中點．求||.【答案】【詳解】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，則有，，，，，，，，.【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則_____．【答案】【詳解】因為，所以，解得所以，.故答案為：【變式1】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎?，，且，則為______.【答案】【詳解】，，且，，即，解得又故答案為：題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）【典例1】（2023·全國·高二專題練習）已知向量，且，則____________．【答案】3【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.題型07空間向量的模（坐標形式求空間向量模的最值（范圍）問題）【典例1】（2022·高二課時練習）已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，動點在正方形內(nèi)（包括邊界）運動，且平面，則長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】以D為原點，以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，，，，，.取的中點為H，連接，.在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又面，面，所以面.同理可證：面.又，所以平面平面．因為平面，所以點P只能在線段上運動．易知，設（），，則，，，．當時，取得最小值；當時，取得最大值36．故PC長度的取值范圍為．故選：C【典例2】（2023·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，點在線段上，求線段長的最小值．【答案】【詳解】依題意，、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，設，，則，設，，則．若線段EF的長最小，則必滿足，則，可得，即，因此，，當且僅當時等號成立，所以線段EF長的最小值為．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)的最小值是2，則的最小值是_________．【答案】【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，則，由可設，由是單位空間向量可得，由可設，，當，的最小值是2，所以，取，，，當時，最小值為.故答案為：.【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設，，設，又，，又，，，其中，，，當且僅當時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．【答案】【詳解】由題意可設，，,由，得，，，所以（當且僅當，時等號成立），所以的最小值為.故答案為：.【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習）已知，，則的最小值為__________．【答案】/【詳解】解：，，∴，，當且僅當時等號成立，即的最小值為故答案為：.題型08空間向量的夾角問題（坐標形式）【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二?？计谀┮阎臻g向量，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，解得，則，，，設向量與的夾角為，則，，，即與的夾角為．故選：A．【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【詳解】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.【典例3】（2023秋·高二課時練習）已知空間三點，，，則與的夾角的大小是________．【答案】120°【詳解】由題意，空間三點A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則，所以,又因為，所以.故答案為：【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量(1)求；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以，又因為，所以故與夾角的余弦值為.【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學?？寄M預測）若向量，，且,的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【詳解】由題意得，解得或，故選:C．【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【詳解】因為，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵，，∴，，∴；（2）設與的夾角為，則，，，，，∴，∴向量與夾角的余弦值為.題型09空間向量的投影向量（坐標形式）【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標是，故選：D.【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：B【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學?？计谀┮阎?，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C題型10空間向量的平行關系（坐標形式）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B【典例2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學考試）已知兩個向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【典例3】（2023·高二單元測試）向量，，，且，，則______.【答案】【詳解】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.故答案為：【變式1】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀┰O，向量，，，且，，則（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【詳解】因為，故，故，因為，故，故，故，，故，故，故選：D.【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：若，則，因為已知向量，，所以，解得，所以.故選：.題型11空間向量的垂直關系（坐標形式）【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_學考試）已知，，且與互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意，向量

.，，則，

，，，2，，若向量.與.互相垂直，則有，解可得：；故選：D.【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？茧A段練習）已知向量．(1)求；(2)當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；(3)若向量與向量共面向量，求的值．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1），，，．（2）因為，所以，解得，因為，且向量與垂直，所以，即，．所以實數(shù)和的值分別為和；（3）解：設，則解得，即，所以向量與向量，共面．【典例3】（2023春·高二課時練習）已知點、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【詳解】（1）、，，，且，設，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又與垂直，，解得或．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，，，所以；（2），因為，所以，解得.【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）已知向量，，，且．(1)求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）因為，所以，使得，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，，所以，.因為，所以，即，解得.題型12易錯題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【詳解】因為與的夾角為銳角，所以，解得，當與共線時，，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗，選項C、D符合題意.故選：CD【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【詳解】解：因為向量，，且與的夾角為鈍角，所以，且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【典例3】（2023春·高二課時練習）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】由已知與的夾角為鈍角，則，即，解得.若a與b的夾角為180°，則存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范圍是.故答案為：.【變式1】（2023春·高二課時練習）若，，若與的夾角是鈍角，則的值的取值范圍為__________.【答案】【詳解】已知，，因為與的夾角是鈍角，所以，即，即，解得.若與的夾角為180°，則存在，使，所以，解得，.所以，且.故的取值范圍是.【變式2】（2023春·高二課時練習）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.【答案】【詳解】因為與的夾角是銳角，所以，即，解得，若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得.故t的取值范圍是.故答案為：.1.3空間向量及其運算的坐標表示A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，解得：.故選：B.2．（2023·全國·高二專題練習）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【詳解】由題意，∵，，∴，∴.故選：C.3．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中），，，若，，共面，則實數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】向量，，，若向量，，共面，則存在唯一的實數(shù)對，使，即，解得，實數(shù)的值為．故選：D4．（2023·全國·高二專題練習）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設向量在基底下的坐標為，則，又向量在基底下的坐標為，則，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐標為.故選：C.5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學?？奸_學考試）設，向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】向量，且，∴，解得∴，∴，選項C正確.故選：C．6．（2023春·高二課時練習）已知，，與的夾角為120°，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，0，，，，，，所以，，，所以，所以，且，解得：．故選：A．7．（2023·江蘇·高二專題練習）已知長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖建立坐標系，設，，則，，，，，，，即，所以，當時，所以，所以．故選：C．8．（2023·全國·高二專題練習）《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系.在《九章算術》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的直角坐標系，如下圖所示：

因為，則，由于動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，則存在實數(shù)使得，又，所以，所以，又，所以，化簡可得，即，又，又，所以，,所以，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以的最大值為.故選：B.二、多選題9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點是坐標原點，則（

）A．B．C．點關于平面對稱的點為D．與夾角的余弦值是【答案】AB【詳解】，，故A正確；，，，故B正確；由點關于平面對稱的點為，故C錯誤；因為，所以D錯誤.故選：AB10．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為【答案】BD【詳解】因為，所以，不垂直，A錯，因為，所以，B對，因為，所以，所以不是鈍角，C錯，因為在方向上的投影向量，D對，故選：BD.三、填空題11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量滿足，且，則_________，在上的投影向量的坐標為______________．【答案】【詳解】兩邊平方化簡得：，①因為，所以，又，代入①得：，解得：，，所以，在上的投影向量坐標為．故答案為：2，．12．（2023·高三課時練習）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.【答案】∪【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.四、解答題13．（2023春·高二課時練習）已知向量，，，且，.(1)求向量，，；(2)求向量與向量所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，解得，故，又因為，所以，即，解得，故，故.（2）由（1）得，，，所以，故向量與向量所成角的余弦值為.14．（2023·江蘇·高二專題練習）（1）已知向量.①計算和②求.（2）已知向量.①若，求實數(shù)；②若，求實數(shù).【答案】（1）①，；②；（2）①；②【詳解】（1）①向量，，，②，即，，（2）因為向量，，①，，解得，②，，解得.B能力提升1．（2023秋·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰诶忾L為2的正方體中，點分別在棱和上，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】如圖所示，以為中心建立空間直角坐標系，設，則，，，當時取得最大值.故選：B2．（2023春·高二課時練習）已知，，則取最小值時的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，所以，則，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當時，取最小值，故選：.3．（2023春·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，，故，,，,由可知，，即，又因為為鈍角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：D.4．（2023秋·高二課時練習）已知O為坐標原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－