2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.下列判斷中正確的是()

A.y=|sinx|是奇函數(shù)B.y=l+cos3x是偶函數(shù)

C.yusin^x-g是奇函數(shù)D.y=l-2tanx是偶函數(shù)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：y=/(x)=|sinx],函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=|sin(-力|=|sinx|=/(x),

函數(shù)為偶函數(shù)，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：y=/(x)=l+cos3x,函數(shù)定義域?yàn)镽,7'(-x)=l+cos(-3x)=l+cos3x=/(x),

函數(shù)為偶函數(shù)，正確；

對(duì)選項(xiàng)C：j/=/(x)=sin2x-p函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=sin2(-x)-；=sin2x-；=/(x),

函數(shù)為偶函數(shù)，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：夕=/(x)=l-2tanx,函數(shù)定義域?yàn)?x卜片;+%?；餰Z),

/(-x)=l-2tan(-x)=l+tanx,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),錯(cuò)誤.

故選：D

2.使式子log⑵有意義的x的取值范圍是()

A.x<\B.K<1且xwO

C.—<x<1,且XHOD.—<x<1

22

【正確答案】C

0<2x+1

【分析】要使式子有意義，則2x+lwl,解得答案.

1—x>0

0<2x+l

【詳解】log⑦川(1一?有意義，則.2X+I",解得一g<x<i,且xwO.

1—x>0

故選：c

3.函數(shù)/(x)=x+」~7(xN有()

x-22

9Q

A.最大值二B.最小值-C.最大值4D.最小值4

22

【正確答案】D

【分析】利用基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)樗訶—2Z1,

22

所以y(x)=x+=(x—2)+2>2.(x-2)-—+2=4,

x-2x-2+x—2

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=，即x=3時(shí)取等號(hào),

x-2

所以函數(shù)〃x)=x+三有最小值4.

故選：D

4.在中，以下等式中錯(cuò)誤的是()

A.sin4=sin(5+C)B.cosA=cos(B+C)

c.月B+CA.B+C

C.sin—=cos------D.cos—=sin——

2222

【正確答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用分別對(duì)選項(xiàng)分析即可.

【詳解】在“8C中，因?yàn)镠+B+C=%

所以B+C=TI—A,

所以sin(S+C)=sin(7t-^)=sinA,

故A正確,

由cos(B+C)=cos(兀一/)二一cos4,

故B不正確,

故D正確,

故選：B.

5.以下有三個(gè)命題：

①“方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解”是“函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)”的充要條件：

②“方程〃x)=0有實(shí)數(shù)解”是“函數(shù)＞=/(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)”的充要條件；

③“函數(shù)N=/(x)有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=/(X)的圖像與x軸有交點(diǎn)”的充要條件；

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義判斷即可.

【詳解】解：函數(shù)的零點(diǎn)的定義：對(duì)于一般函數(shù)N=/(x),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函

數(shù)V=/(x)的零點(diǎn)，

這樣，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程〃x)=o的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=/(x)圖象與X軸的公

共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

所以方程/(X)=0有實(shí)數(shù)解。函數(shù)y=/(X)有零點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)的圖像與X軸有交點(diǎn)，

故命題①②③均正確.

故選：A

6.求函數(shù)/*)=J5sinx+cosx的最大值，可以有以下解法：

f(x)=2\sinxcos—+cosxsin—=2sinx+—.

I66)I6；

因此/(x)的最大值為2.

在以上解題過(guò)程中，用到的數(shù)學(xué)公式，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想分別是()

A.兩角和的正弦公式、特殊化思想

B.兩角和的余弦公式、特殊化思想

C.兩角和的正弦公式、化歸思想

D.兩角和的余弦公式、化歸思想

【正確答案】C

【分析】根據(jù)輔助角公式的原理及正弦型函數(shù)最值的求法即可得解.

【詳解】由/(x)=V5sinx+cosx=彳sinxcos^+cosxsin^)=2sin(x今/

用到的是兩角和的正弦公式，

再根據(jù)sin(x+t)的最大值為1,可得/(X)的最大值為2,用到的是化歸思想.

故選：c.

7.已知［+則f+H的值是()

A.47B.45C.50D.35

【正確答案】A

【分析】將f+xT=3兩邊平方可以求出x+xT的值，然后再平方一次可得答案.

【詳解】因A為十人一7J，

(|￡\2

所以+x2=x+x-l+2=9,

\/

所以x+%T=7,

所以+=/+工-2+2=49,

所以/+r2=47,

故選：A.

8.已知集合〃={??=3一'/>1},N==log3x,0<x<1},則AfcN=()

A.{y\0<y<^}B.{^|0<^<l}c.{引:<y<l}D.0

【正確答案】D

【分析】確定M="卜<"9，N={H"0},再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】A/=伊卜=3，x>l}=>卜<了<；},Af={y|y=log3x,0<x<l}={j|y<0),

則McN=0.

故選：D

9.已知。=2%6=40-7,c=log3&,則a,9c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<hD.c<h<a

【正確答案】C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)>=2、與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3X的性質(zhì)即可比較”，b,。的大小.

,307,4

【詳解】vc=/<?g38<2<a=2<Z>=4=2,

:.c<a<b.

故選：c.

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.若不等式16履2+8米-3<0對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

A.一3〈左<0B.-3<Z:<0C.-3<A:<0D.%<—3或左之0

【正確答案】C

［16A<0

【分析】考慮k=0和兩種情況，得到s”，八，解得答案.

［（8〃）+12x16〃<0

【詳解】當(dāng)4=0時(shí)，16履之+8米-3=-3<0恒成立，滿足；

,16%<0

當(dāng)左。0時(shí)，需滿足〈/07\2，解得-3<女<0.

（8左）+12x164<0

綜上所述：-3<^<0,

故選：C

二、填空題

risina+cosa

11.已知tana=3,則sin"2c°sa

【正確答案】4

【分析】將齊次式弦化切即可求解

sina+cosa

sma+cosacosatana+1-3+1二

【詳解】由

sina-2cosdzsina-2cosatan?-23-2

cosa

故4.

12.已知函數(shù)y=〃x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表:

X123456

y10020-58-60-200

則函數(shù)y="X）在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有個(gè).

【正確答案】3

【分析】計(jì)算〃2）./（3）<0,/（4）-/（3）<0,/（4）-/（5）<0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到答

案.

【詳解】根據(jù)表格知:

/（2）-/（3）=-100<0,/（4）-/（3）=-40<0,/（4）,/（5）=-480<0,

故函數(shù)至少在區(qū)間（2,3）,（3,4）,（4,5）上有1個(gè)零點(diǎn)，故至少有3個(gè)零點(diǎn).

故3

13.若。>0且awl,則函數(shù)y=a、“+2的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是.

【正確答案】（-1,3）

【分析】由x+l=0,求出x的值，再代入函數(shù)解析式即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由x+l=0,可得x=-l,此時(shí)y=a0+2=3,

因此，函數(shù)y=“向+2的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,3）.

故答案為.（-1,3）

14.若3"=6,b=log,6,則上+：=.

ab

【正確答案】1

【分析】將3"=6轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，然后利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得.

【詳解】因?yàn)?"=6,所以a=log36

所以=噫3+log62=噫6=1.

ablog,6log,6

故1

【分析】根據(jù)圖像取y=2cos（ox+s）,T弋=式，。=2,代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得到答案.

【詳解】根據(jù)圖像取y=2cos(ox+e),|7'=^E-y=y

T=—=n,co=2,

CO

y=/(x)=2cos(2x+夕)，/(w)=2cosfy-+J=0,

27r7T7T7T

取——+夕=—+2kn,keZ,cp=——+2kit,kGZ,取女=0,(p

3266；

則尸/(x)=2可2嶗.

故夕=2cos(2x—1

45

16.已知力都是銳角，sincr=-,cos(cr+/7)=—,則cos/7

【正確答案】笑

65

【分析】根據(jù)cos￡=cos[(a+〃)一a]=cos(a+夕)cosa+sin(a+〃)sina求解即可.

312

【詳解】因?yàn)?所以2+尸￡(0,九)，cosa=~^sin(cr+/7)=—,

所以cosp=cos[(a+夕)-a]=cos(a+〃)cosa+sin(a+〃)sina

5312463

=—X—H-------X—=——

13513565

,,63

故石

三、解答題

17.用符號(hào)“V”與表示下列含有量詞的命題，并判斷真假.

(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)m,方程￡一3+1=0有實(shí)根;

(2)存在實(shí)數(shù)%,使得2:,?==；

須)-ZX()-rJ4

(3)存在實(shí)數(shù)〃，使得(1+1%)”等于(I-1%)"的10倍.

【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

(3)答案見(jiàn)解析

【分析】用存在量詞符號(hào)與全稱量詞符號(hào)分別表示命題(1)(2)(3),并判斷真假.

【詳解】⑴V/?eR,方程x2-mx+l=0有實(shí)根；

由△=(一用)~-4<0=>-2</??<2,

此時(shí)方程工2一〃7X+1=0無(wú)實(shí)根，

故該命題為假命題.

13

(2)3x0eR,使得2.「二大

x0-2x0+34

13)

3x

由二—―=To-6xo+5=O,

x0-2x04-34

A=(-6)2-4X3X5=-24<0,無(wú)實(shí)數(shù)解，

13

故不存在與eR,使得-1-----=-,

x0-2x0+34

因此該命題為假命題.

(3)m〃wR,使得(1+1%)"等于(1-1%)"的10倍.

因?yàn)?1+1%)"=10(1-1%)”01.01"=10x0.99",

1.0110=>〃愴黑=1=R=10go10

即i

K9999

所以丸￡R,使得（1+1%）”等于的10倍，

因此該命題為真命題.

18.用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)N=3sin（；x-g）在一個(gè)周期（7=4兀）內(nèi)的圖像.

【分析】取特殊點(diǎn)計(jì)算填入表格，再畫出圖像得到答案.

【詳解】列表:

27r5兀8兀IE1471

XTTT"T

171n3兀

-x----071271

232T

y010-i0

19.(1)設(shè)〃x)=e'+e7,g(x)=eJt-e-x.求證：[/(x)]2-[g(x)f=4.

(2)已知sin(a+4)=1，sin(a-=-.求證：sinacos=7cosasin.

34

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算法則計(jì)算可得；

(2)利用兩角和(差)的正弦公式得到方程組求出sinacos/?、cosasin2,即可得解.

【詳解】解：(1)因?yàn)?(刈=>+b,g(x)=ex-e-\

所以"a)F-tg(x)]2=c+9y一?—所y

=e2x+2+e-2x-(e2x-2+e-2v)

=4,

所以[/(切2-[g(X)F=4.

(2)因?yàn)閟in(a+/?)=；,所以sinacosp+cosasinp=；①,

因?yàn)閟in(a-￡)=！，所以sinacos￡-cosasing=」②，

44

7

①+②得sinacosy3=—,

71

把sinacos￡=三代入①得cosasiny?=—,

所以sinacos夕=7cosasin/.

20.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+；)(xeR).

(1)求〃x)的最小正周期；

(2)求"X)在區(qū)間-三JT卷TT上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)兀

(2)最大值是1,最小值是一也上區(qū)

【分析】(1)根據(jù)余弦型函數(shù)的周期公式計(jì)算可得;

⑵由x的取值范圍求出2x+：的取值范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式與兩

角差的余弦公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=cos(2x+：)(xeR),

所以/(x)的最小正周期T=T27r=兀.

根據(jù)余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知/(X)max=1，

、11兀7T717in.兀.兀亞+灰

/Wmin=cos—=-cos=-cos—cos---sin—sin—=--------

3~434344

&+寂

7T7T

所以/(X)在區(qū)間上的最大值是1,最小值是-

~~4--

21.已知函數(shù)/(x)=Gsinxcosx+cos2x-；

(1)求函數(shù)/*)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變.再將所得圖象向

右平移g個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)xwpK時(shí)，求函數(shù)g(x)的取值范圍.

【正確答案】(1)1航+看,桁+引水€2

(2)