2023-2024學(xué)年度高二十月月考數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度十月月考

高二數(shù)學(xué)（A）

時間：120分鐘分數(shù)：150分

命題范圍：選擇性必修一第一章，第二章到2.3結(jié)束

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知點A（8/0）,8（T,4）,則線段AB的中點坐標為（）

A.（2,7）B.（4,14）C.（2,14）D.（4,7）

2.已知向量a=（4,-2,T）,h=（6,—3,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+Z?=(10,—5,-6)B.a-b=(2,—1,-6)

C.ab=10D.同=6

3.直線X—百y—6=0的傾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知圓G:尤2+丁+2%一6)'+1=0與圓G：x2+y2—4x+2y—ll=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程

()

A.3%+4y+6=0B.3%+4y-6=0C.3x-4y-6=0D.3尤一4y+6=0

5.在平行六面體ABCD-AAGR中，M為4G與用2的交點，若=AD=b,A4,=c,則下列

向量中與相等的向量是（）

A.L+4+CD—+C

B.+C.

22222222

6.已知A（0,0,l）,8（0,2,0）,C（3,0,0）,0（0,0,0）,則點O到平面ABC的距離是（）

62A/22

A.一B.4近D.

73

7.方程/+y2+6+4+/=0表示的曲線是以(_2,3)為圓心,4為半徑的圓，則D,E,F的值分別為()

A.4,—6,3B.-4,6,3C.46,-3D.4,-6,-3

8.已知點P為直線/:x+y—2=0上的動點，過點尸作圓。：/+21+/=。的切線布，PB,切點為A,B,

當|PC|?|A用最小時，直線A8的方程為()

A.3%+3y+l=0B.3x+3y-l=0C.2x+2y+l=0D.2x+2y-l=0

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.在下列四個命題中，正確的是()

A.若直線的傾斜角a為銳角，則其斜率一定大于0

B.任意直線都有傾斜角a,且當。工90°時，斜率為tana

C.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

D.直線的傾斜角越大，則其斜率越大

10.設(shè)向量a,可構(gòu)成空間一個基底，下列選項中正確的是()

A.若bA.C,則a_LC

B.則。，dc兩兩共面，但a,b,c不可能共面

C.對空間任一向量p,總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使。=工。+)%+2。

D.則a+b,b+c,c+a一定能構(gòu)成空間的一個基底

II.已知某圓圓心C在x軸上，半徑為5,且在y軸上截得線段AB的長為8,則圓的標準方程為()

A.(X+3)2+/=25B.(X-3)2+/=25

C.x2+(y+3)2=25D.x2+(y-3)2=25

12.如圖，正方體—中，E為A4的中點，尸為棱8c上的動點，則下列結(jié)論正確的是()

A.存在點P,使AG，平面2取

B.存在點尸，使=

C.四面體EPGA的體積為定值

D,二面角P-AE-G的余弦值取值范圍是

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知空間向量@=（3,1,0）,/?=（%,-3,1）.若aJ_b,則》=.

14.兩條平行直線4:x-2y+l=0與L：2x+my+2機=0之間的距離為.

15.過點A（-1,4）作圓C:/+y2=17的切線/,切線/的方程為.

16.已知△ABC的頂點A（l,2）,AB邊上的中線CM所在的直線方程為x+2y—1=0,NA3C的平分線

所在直線方程為曠=工，直線8c的方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）四邊形ABCO為菱形，￡D_L平面48CD,FB//ED,AD=BD=ED=2,BF=L

（1）設(shè)8c中點為G,證明：DGJ.平面AQE；

（2）求平面AFE與平面BBC的夾角的大小.

18.（12分）已知△ABC的頂點坐標為A（-5,T）,C（-2,3）.

（1）試判斷△ABC的形狀；

（2）求AC邊上的高所在直線的方程.

19.（12分）已知圓+（y—2y=25,直線/:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0（/"GR）.

（1）證明：不論，〃取什么實數(shù)，直線/與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓C截得的弦長最小時/的方程.

20.（12分）已知點4（0,1）,,從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件補充在橫線處,

并作答.

（1）求直線4的方程：

（2）求直線%-2y+2=0關(guān)于直線4的對稱直線的方程.

條件①：點A關(guān)于直線4的對稱點B的坐標為（2,-1）；

條件②：點2的坐標為（2,-1）,直線4過點（2,1）且與直線AB垂直；

條件③：點C的坐標為（2,3）,直線4過點（2,1）且與直線AC平行.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

21.（12分）己知圓C經(jīng)過坐標原點O,圓心在x軸正半軸上，且與直線3x+4y-8=0相切.

(I)求圓C的標準方程；

(2)直線/:y=fcc+2與圓C交于A,B兩點.

①求k的取值范圍；

②證明：直線0A與直線0B的斜率之和為定值.

22.(12分)如圖，在四棱錐P-A58中，底面ABCD是邊長為2的菱形，為等邊三角形,平面

平面ABCQ,PBLBC.

(1)求點A到平面PBC的距離；

/on

(2)E為線段PC上一點，若直線AE與平面4BCC所成的角的正弦值為丫一，求平面AOE與平面A8C￡)

夾角的余弦值.

高二數(shù)學(xué)A參考答案

1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.D8.A

9.AB10.BCD11.AB12.BC

13.114.^515.x-4y+17=016.2x-3y-l=0.

17.(1)四邊形ABC。為菱形，且A￡>=5￡>=。。，BC中點為G,所以DG_L3C.

因為AZ)〃5C,所以。G_LA￡),

因為&5_L平面ABC。，￡>Gu平面ABC。，所以Z)G_LE￡>.

又ED「AD=D,ED,A￡>u平面AOE,

所以r)G_L平面AOE；

(2)設(shè)B。交AC于點O,取E尸中點〃，連接?！?，所以O(shè)〃〃E￡>,底面ABC。.

以。為原點，以。4,OB,。”分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

因為AD=BD=ED=2,所以O(shè)A=OC=G,

所以A（g,O,O）,C（-^,0,0）,3（0,1,0）,尸（o,l,l），。（0,-1,0），E（0,-l,2）,

所以E4=（豆,一1,一1）,￡4=（6

,tn-FA=0JVSx-y-z=0

設(shè)平面￡雨的一個法向量為/〃=（x,y,z）,則〈=＞

[gx+y-2z=0

“￡4=0

令x=G得加=（后1,2）；

8f=（0,0,1）,8。=（一6,—1,0）,平面8FC的一個法向量為〃=（a,b,c）,

fn-BF-0c-0

則〈二＞L,令4=百得〃=（G,—3,0）;

n-BC=0-s]3a-b=0'）

3—3+0

所以cos〈防,”〉=0,

V8xV12

TT

所以平面AFE與平面BFC的夾角的大小為一.

2

1+1=^^=一2,k=^-=-

18.解：（1）kAC

AB-1+52-2+1m-2+53

:?心B"BC=-1，；?AB'BC，...△ABC為直角三角形

（2）因為心=,’，所以，AC邊上高線所在直線的斜率為-2

4—-2一-（＜-5"）、34

3

，直線的方程是y-l=11（x+l）,即3x+4y—l=0

19.（1）直線/:（2加+1）》+（，〃+1）y一7根-4=0化為（2%+y一7）加+兀+y-4=0,

2x+y-1=0x=3

則＜?解得V,所以直線/恒過定點M（3,l）,

x+y-4=0y=i

圓心C（l,2）,半徑r=5,又因|。田=歷1=石＜5,

所以點M（3,l）在圓C內(nèi)，所以不論加取什么實數(shù)，直線/與圓恒交于兩點；

（2）當直線/所過的定點為弦的中點，即CN_L/時，直線/被圓截得的弦長最短,

最短弦長為262_巾『=4亞,勺M=2二4=一!，所以直線/的斜率為2,

1-32

27n+l_口3

n即n-------=2，解得m=——,

m+14

所以直線/的方程為2x—y—5=0.

20.（1）選擇條件①:

因為點A關(guān)于直線4的對稱點B的坐標為（2,—1）,所以4是線段AB的垂直平分線.

因為怎B=上!■=-：!，所以直線4的斜率為1,又線段的中點坐標為（1,0）,

2—0

所以直線4的方程為y=x—l,即x—y—l=0.

選擇條件②：

因為心B=±^=—1，直線4與直線AB垂直，所以直線，的斜率為1,

2—0

又直線4過點（2,1）,所以直線4的方程為y—l=x—2,即x-y—l=0.

選擇條件③，

因為心c=——=1，直線4與直線AC平行，所以直線人的斜率為1,

又直線4過點（2,1）,所以直線4的方程為y—l=x—2,即x—y—1=0.

X—y—]=0%=4

（2）\，一，解得4■，故小乙的交點坐標為（4,3）,

x-2y+2=0[y=3

因為A（（）,l）在直線，2：x-2y+2=0±.,設(shè)A（0,l）關(guān)于4對稱的點為M（x,y）,

■=7

A,x=2

則〈X解得W

土上-1=0

122

直線4關(guān)于直線4對稱的直線經(jīng)過點（2,—1）,（4,3）,代入兩點式方程得含■=言，即2x-y-5=0,

所以人：x—2y+2=0關(guān)于直線4的對稱直線的方程為2x—y—5=0.

21.（1）由題意，設(shè)圓心為C（a,0）（a>0）,因為圓C過原點，所以半徑r=a,

又圓C與直線3x+4y-8=0相切，所以圓心C到直線的距離d=也#=ana=1（負值舍去）,

所以圓C的標準方程為：(x—l『+y2=l.

(2)(i)將直線/代入圓的方程可得：(攵2+])x2+(4%一2)X+4=0,因為有兩個交點,

所以A=(4Z—2『一16(r+即氏的取值范圍是‘oo,

4k-2

(ii)設(shè)3(X2，%)，由根與系數(shù)的關(guān)系：＜

4

%+x,=———

12k2+l

_24^-2

bi,,y.y,kx,+2Ax,+22(x,+x)爐+1,

所以女必+人神="+也=」一+」-=-^~2乂+2%=——尸工+2左=1.

%x2%]x2x{x24

k2+l

即直線0A,OB斜率之和為定值.

22.(1)取A。中點。，連接OB,OP.

?.?△乃山為等邊三角形，；.。^，")，04=1,。P=百.

又?平面Q4￡)J_平面ABCZ),平面PAO平面ABCD=A￡),

OPc=平面PAD,：.OPJ-平面ABC.

又OBu平面ABCD,：.OPLOB.

VPBLBC,/.BC//AD,：.PB±AD.

又?.?OP_LA￡>,OPu平面P08,

PBu平面POB,OPPB=P,：.AD±平面POB.

又：OBu平面POB,