2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)練-5三角形

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練一一5三角形

選擇題（共8小題）

1.（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,B兩點都在小方格的頂點上，點

C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

一副三角板如圖放置，則/I的度數(shù)為（）

B.60°C.65°D.75°

3.（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則/a的大小為（）

4.（2022?東臺市模擬）如圖，點￡、/在AC上，AD=BC,DF=BE,要使△AOP之△CBE,

還需要添加一個條件是（）

A.AD//BCB.DF//BEC.ZA=ZCD./D=NB

5.（2014?鹽都區(qū)二模）如圖，AABC,AB^AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,則

/OEF的度數(shù)是（）

A

D

BRC

A.75°B.70°C.65°D.60°

6.（2021?東臺市模擬）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是（）

△

A.105°B.75°C.110°D.120°

7.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在直角△ABC中，ZCAB=90°,ZABC=70°,AD是/

C48的平分線，交邊BC于點。，過點C作△AC。中A。邊上的高線CE,則NEC。的

8.（2021?亭湖區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分線

交AB于點。，垂足為E,連接C。，則的長為（）

二.填空題（共9小題）

9.（2022?鹽城一模）如圖，己知RtZXABC中，NABC=90°,AB=BC=4,過點A作A。

LAC交AB的平行線CO與點。，尸為AC上一動點，E為。F中點，連接BE,則BE的

最小值是

DC

10.（2022?東臺市模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方

式放置，則Na=

11.（2022?射陽縣一模）如圖，點A,B,C,。在。。上，OA1BC,垂足為E.若NAZJC

12.（2022?鹽城一模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°，點。是43的中點，過點。

作。E_LBC,垂足為點E,連接CZ）,若CO=5,BE=4,貝！IAC=.

13.（2022?建湖縣一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線分別交

AB.BC于點D、E,若AC=5cm,BC=12cm,則△ACD的周長為cm.

c

14.（2022?建湖縣一模）如圖，AE//DF,AE=DF.添加下列條件中的一個：①AB=C￡?；

②EC=BF；③NE=/F；?EC//BF.其中能證明△ACE0/XOBF的是.（只

填序號）

15.（2022?濱?？h模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則/BAC+NCZ）E=（點A,

B,C,D,E是網(wǎng)格線交點）.

16.（2021?建湖縣二模）若一條長為32cm的細(xì)線能圍成一邊長等于8cm的等腰三角形，則

該等腰三角形的腰長為cm.

17.（2021?建湖縣一模）如圖，△ABC中，8。平分/ABC,CDLBD,垂足為。，E為AC

中點.若AB=10,BC=6,則。E的長為.

18.（2022?建湖縣二模）已知：如圖，AB=DC,AC=DB,AC和8。相交于點。.點M是

的中點，連接0M.

(1)求證：AABC絲LDCB；

(2)求N3M。的度數(shù).

19.(2022?建湖縣二模)［問題情境］小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出

了一個圖形：

如圖1,點C是線段上一點，分別以AC、AB為底邊在線段A8的同側(cè)作等腰三角形

ACP、等腰三角形AB。，PC、AQ相交于點D當(dāng)尸、。、2在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：

NB4Q=NCPB.請幫他解釋其中的道理；

［問題探究］

如圖2,在上述情境下中的條件下，過點C作CE〃A尸交尸8于點E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的長.

［類比應(yīng)用］

如圖3,ZVIBC是某村的一個三角形魚塘，點。、E分別在邊43、8C上，AE,CD的交

點廠為魚塘的釣魚臺，測量知道NCAO=NC/M=67.5°,NCEA=2NB,AD2^(40000

-20000V2)m2,且。B=2AO.直接寫出C尸的長為m.

20.(2022?鹽城一模)【問題背景】

在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學(xué)九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點.點、B、C、D、E是否在以

點M為圓心的同一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若BD、CE的交點為點O,則點A、。、。、E四

點也在同一個圓上.

(1)請對教材原題或小軍提出的問題進(jìn)行解答.(選擇一個解答即可)

A

【直接應(yīng)用】

當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三

角形的三條高所在直線交于同■點，可通過上面的結(jié)論加以解決.

（2）如圖3,△ABC的兩條高8。、CE相交于點0,連接A0并延長交于點尺

求證：AF為△A8C的邊8c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：

（3）在（2）的條件下連接DE、EF、FD（如圖4）,設(shè)/。￡/=a,則/A08的度數(shù)

為.（用含a的式子表示）

21.（2022?建湖縣一模）如圖，點。、E分別為△ABC的邊AC、的中點，連接。E.

求證：

(1)DE//AB-,

1

(2)DE=^AB.

E

AB

22.(2022?建湖縣一模)如圖，等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC^36°,以C為旋轉(zhuǎn)中心,

順時針旋轉(zhuǎn)△ABC到位置,使點A落在BC邊的延長線上的E處,連接和BD.

(1)求證：AADC2ABCD；

(2)請判斷AABE的形狀，并證明你的結(jié)論.

23.(2021?鹽城二模)如圖，A8是。。的直徑，點。、E在。。上，連接AE、ED、DA,

連接BD并延長至點C,使得/DAC=ZAED.

(1)求證：AC是OO的切線；

(2)若點E是防的中點，AE與BC交于點R

①求證：CA=CF-,

②若O。的半徑為3,BF=2,求AC的長.

24.(2021?濱?？h一模)如圖，在△ABC中，NB=NC,過BC的中點。作。E_L4B,DF

LAC,垂足分別為點E、F.

(1)求證：DE=DF-,

(2)若NBDE=55°,求NBAC的度數(shù).

2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)專題練一一5三角形

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1,A,8兩點都在小方格的頂點上，點

C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，C點與尸、。、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形,

，、

,、

，、

/、

;________目―--

，—1

、

1

1

L二—一1

1

11

\t

\?

\/

\/

\/

、、?Z

-------

故選：C.

2.（2022?鹽城一模）一副三角板如圖放置,則N1的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.65°D.75°

【解答】解：???三角板是一副，

：.ZECD=45°,ZADC=60°.

???ZCFZ)=180°-ZECD-ZADC

=180°-45°-60°

=75°.

AZ1=75°.

故選：D.

3.（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則Na的大小為（）

A.105°B.75°C.65°D.55°

【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)可知：Za=30°+45°=75°,

故選：B.

4.（2022?東臺市模擬）如圖，點E、歹在AC上，AD=BC,DF=二BE,要使△AO尸也△C3E,

還需要添加一個條件是（）

?

BC

A.AD//BCB.DF//BEC.NA=NCD.ZD=ZB

【角軍答】解：/D=/B,

理由是：???在△A0b和△C3E中

AD=BC

Z-D=乙B,

、DF=BE

：.AADF^△CBE（SAS）,

即選項D正確;

具備選項A、選項5,選項C的條件都不能推出兩三角形全等,

故選：D.

5.（2014?鹽都區(qū)二模）如圖，△ABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,則

跖的度數(shù)是（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【解答】解：?.?A3=AC,

AZB=ZC,

在△QBE和△￡0月中，

BD=EC

Z-B—Z-C,

、EB=CF

:.ADBEmAECF(SAS),

J/EFC=/DEB,

VZA=50°,

AZC=(180°-50°)4-2=65°,

，/CFE+NFEC=180°-65°=115°,

：.ZDEB+ZFEC=n5°,

：.ZDEF=180°-115°=65°,

故選：C.

6.（2021?東臺市模擬）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是（）

B.75°C.110°D.120°

【解答】解：由題意得Nl=90°-60°=30°,

60。

八45。0

VZa=45°+Z1,

???Na=450+30°=75°,

故選:B.

7.（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在直角△ABC中，NCA8=90°,ZABC=70°,AD是N

C4B的平分線，交邊BC于點。，過點C作△ACD中AZ）邊上的高線CE,則NEC。的

【解答】解：???NCAB=90°,是NC48的角平分線，

1

：.ZCAD=ZBAD=^ZCAB=45°,

VCE±AZ）,

：.ZECA=ZCEA-ZCAE=45°,

9：ZBCA=ZCAB-ZB=20°,

：.ZECD=ZACE-ZBCA=25°,

故選：C.

8.（2021?亭湖區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分線

交AB于點D,垂足為E,連接CD,則CD的長為（）

【解答】解：?.?A8=10,AC=8,BC=6,

:.BC1+AC2=AB2,

△ABC是直角三角形，

是AC的垂直平分線，

：.AE=EC=4,DE//BC,且線段DE是△ABC的中位線,

:.DE=3,

：.AD=DC^y/AE2+DE2=V32+42=5.

故選：D.

二.填空題（共9小題）

9.（2022?鹽城一模）如圖，已知Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=BC=4,過點A作AD

，AC交AB的平行線CD與點。，尸為AC上一動點,E為。尸中點，連接8E,則BE的

最小值是_^V2_.

DC

AB

【解答】解：連接AE,如圖，

DC

A6

VZABC=90°,AB=BC=4,

：.ZCAB=ZACB=45°,

9：CD//AB,

：.ZDCA=ZCAB=45°.

VDA±Z）C,E為DF中點,

1

：.AE=*DF=EF,

：.ZEAF=ZEFA9

丁廠為AC上一動點，

：.ZEFA^ZACDf

：.ZEFA^45°.

：.ZEAF^45°,

：.ZEAB=ZCAB+ZEAF^9Q0.

...當(dāng)N￡AB=90°時，BE取得最小值，

當(dāng)/EAB=90°時，/與C重合，此時AE=BA=4,

：.BE=y/AE2+BA2=4V2.

故答案為：4V2.

10.（2022?東臺市模擬）在“三角尺拼角”實驗中，小聰同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方

式放置，則/a=15。.

【解答】解：由三角形的外角的性質(zhì)可知，Na=60°-45°=15°,

故答案為：15.

11.（2022?射陽縣一模）如圖，點A,B,C,。在OO上，OA_LBC,垂足為E.若NAOC

'：OA±BC,OA過圓心。，BC=4W，

：.ZOEC=90°,CE=BE=2-43,

VZADC=30°,

AZAOC=2ZADC=60°,

CP

???sinNAOC=浣，

?._2/3

??sinoU—0Q,

解得：OC=4,

VZBCO=90°-60°=30°,

1

：.OE=^OC^2,

；.AE=4-2=2,

故答案為：2.

12.（2022?鹽城一模）如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°，點。是AB的中點，過點。

作。E_L8C,垂足為點E,連接C。，若CO=5,BE=4,貝I]AC=6.

【解答】解：'：ZACB=90°,DELBC,

J.DE//AC,

:點。是A8的中點，

是8C的中點，AB=2CD=10,

：.BC=2BE=S,

：.AC=yjAB2-BC2=6,

故答案為6.

13.（2022?建湖縣一模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分線分別交

AB.BC于點D、E,若AC=5c〃z,BC=12cm,則的周長為18cm.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC^5cm,BC=12cm,

.'.AB=yjAC2+BC2=V52+122=13(cm),

是8c的垂直平分線，

:.CD=BD,

.?.△AC。的周長為：AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18(cm),

故答案為：18.

14.(2022?建湖縣一模)如圖，AE//DF,AE=DF.添加下列條件中的一個：①AB=CD；

②EC=BF；③/E=/F；?EC//BF.其中能證明△ACE四△OB尸的是①③④.(只

填序號)

ZA=ZD,

：.AB+BC^DC+BC,

即AC=DB,

AE=DF,NA=NDAC=。8符合全等三角形的判定定理SAS,能推出

故①正確；

②根據(jù)AE=￡）RNA=/￡＞和￡C=8廠不能推出△ACE0△DBF,故②錯誤；

?ZA=ZD,AE=DF,/E=/F,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ACEg

△DBF,故③正確；

@'：EC//BF,

:./ECA=NFBD,

ZECA=ZFBD,ZA=ZD,AE=DF,符合全等三角形的判定定理A4S,能推出AACE

烏△DBF,故④正確；

即正確的有①③④，

故答案為：①③④.

15.（2022?濱海縣模擬）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，貝i]NBAC+/CZ）E=45°（點

A,B,C,D,E是網(wǎng)格線交點）.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長是1,連接A。,

"."AD=V32+I2=V10,CD=Vl2+32=V10,AC=V42+22=V20,

：.AD=CD,AD2+CD2^AC2,

：.ZA￡)C=90°,

即△AOC是等腰直角三角形,

：.ZDAC=ZDCA=45°,

,:AB〃DE,

：.ZBAC+Z￡>AC+ZCZ）￡=180°,

AZBAC+ZCDE=45°,

故答案為：45°.

16.（2021?建湖縣二模）若一條長為32c根的細(xì)線能圍成一邊長等于8cm的等腰三角形，則

該等腰三角形的腰長為12cm.

【解答】解：若腰長為8。小，則此三角形的另一邊長為32-8-8=16（cm）,

而8+8=16,無法構(gòu)成三角形，

此情形舍去；

若底邊為8c?i,則腰長為（32-8）+2=12（cm）,

此時12+12>8,12+8>8,可以構(gòu)成三角形.

故答案為：12.

17.（2021?建湖縣一模）如圖，ZkABC中，80平分/ABC,CD±BD,垂足為。，E為AC

中點.若AB=10,BC=6,則。E的長為2

D

B----------------C

【解答】解：延長CD交A3于凡

在ABDC和△50尸中，

'NDBC=NDBF

BD=BD，

/BDC=乙BDF=90°

:ABDC名ABDF(ASA),

：.BF=BC=6,CD=DF,

：.AF=AB-BF=4,

?；CD=DF,CE=EA,

1

：.DE=5A尸=2,

18.（2022?建湖縣二模）已知：如圖，AB=DC,AC=DB,AC和相交于點。點M是

的中點，連接OM.

（1）求證：△A8C也△QC&

【解答】（1）證明：在△A8C和△0C3中,

AB=DC

AC=DB,

CB=BC

:.LABC絲ADCBCSSS).

(2)解：由(1)得：NOBC=NOCB,

...△BOC是等腰三角形.

:點M是8C的中點，

J.OMLBC,

：.ZBMO^90°.

19.(2022?建湖縣二模)［問題情境］小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出

了一個圖形：

如圖1,點C是線段上?點，分別以AC、43為底邊在線段AB的同側(cè)作等腰三角形

ACP.等腰三角形AB。，PC、AQ相交于點D當(dāng)P、。、2在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn):

NB4Q=NCP艮請幫他解釋其中的道理；

［問題探究］

如圖2,在上述情境下中的條件下，過點C作CE//AP交PB于點E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的長.

［類比應(yīng)用］

如圖3,AABC是某村的一個三角形魚塘，點。、E分別在邊AB、BC上，AE,CD的交

點尸為魚塘的釣魚臺，測量知道NCAO=NC/M=67.5°,NCEA=2/B,AD2=(40000

一,200A/2

-20000V2)機(jī)2,且。B=2AD直接寫出CF的長為m.

圖1圖2圖3

【解答】解：（1）-：AP=PC,AQ=BQ,

：.ZPAC=ZPCA,ZB=ZQAB,

■:NPCA=/B+/CPB,ZPAC=APAQ+AQAB,

：.ZPAQ=ZCPB；

（2）由（1）可知，ZB\Q=ZCPB,

：.ZFAD=ZCPEf

?：PD=2CD,PC=9,

2

AB4=PC=9,PD=$C=6,

9：CE//PA,

：.NAPD=/PCE,

在△B4。和△門￡1中，

fZPAD=NCPE

'AP=PC，

^APD=(PCE

：.APAD^/\CPE(ASA),

：.CE=PD=6；

(3)過點。作OHLAC于點H,

ZCAD=ZCDA=61.5°,

：.AC=CD,ZACD=180°-ZCAD=ZCDA=45°,

在RtACDH中,sinZACD=罌=孝=5，

/.CD=42DH,

設(shè)DH=k,則AC=CZ)=V^t,CH=k,AH=AC-CH=(V2-1)k,

在Rt^AQ”中，AD1=AH2+DH2,

/.40000-20000V2=(V2-l)2fc2,

解得,左=100,

/.AC=100V2(m),

過點D作QG〃AC交3C于G,

圖3

??.△DGBs^ACB,

.DGDB2

"AC~AB~

.DG2

e，100V2-3’

.八一200-（、

??D（J—（機(jī)），

由［問題探究］可知△必。絲△“￡1,

...b=OG=孚企（機(jī)），

20.（2022?鹽城一模）【問題背景】

在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學(xué)九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD、CE是AABC的高，M是8C的中點.點8、C、D、E是否在以

點M為圓心的同一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若BD、CE的交點為點O,則點A、。、。、E四

點也在同一個圓上.

（1）請對教材原題或小軍提出的問題進(jìn)行解答.（選擇一個解答即可）

當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三

角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結(jié)論加以解決.

（2）如圖3,AABC的兩條高8。、CE相交于點O,連接AO并延長交8C于點E

求證：AF為△A8C的邊8C上的高.

B

圖3圖4

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：

（3）在（2）的條件下連接。E、EF、FD（如圖4）,設(shè)/。EF=a,則乙4。8的度數(shù)為90°

1

+萬a.（用含a的式子表示）

【解答】解：（1）選擇教材原題，

點8、C、。、E是否在以點〃為圓心的同一個圓上.

如圖，連接ME、MD,

,:BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點，

：.ME=MB=MC=MD,

...點8、C、D、E是否在以點M為圓心的同一個圓上.

（2）如圖，連接DE,由點8、C、。、E四點共圓得

由點A、D、0、E四點共圓得

:.NECB=NBAF,

,：ZBEC=9Q°,

：.ZECB+ZABF^9Q°,

：.ZBAF+ZABF^9Q°,

：.ZBFA^90°,

：.AF為LABC的邊8C上的高.

（3）如圖，?；NBEO=/BFO=90°,

...點8、F、0、E在以點N為圓心的同一個圓上，

：.ZFBO=ZFEO,

:由（1）證得點3、C、D、E在同一個圓上，

：.ZFBO=ZCED,

：.ZFEO=ZCED,

同理可證：/EFO=/AFD,/EDO=/FDO,

.?.點。是△DEF的內(nèi)心.

1

/.ZAOB=9Q°+ja.

21.（2022?建湖縣一模）如圖，點。、E分別為△ABC的邊AC、8c的中點，連接。E.

求證：

⑴DE//AB-,

【解答】證明：（1）延長DE至點凡使EF=DE,連接8R

B

???點石為的中點，

CE=BE,

?；/CED=NBEF,

:?△CDEWXBFE(SAS),

:?CD=FB,ZC=ZFBC,

：.BF//AC,

丁點。為AC的中點，

JCD=ADf

：.AD=BF,

???四邊形ABFD是平行四邊形,

：.DE//AB；

（2）由（1）知：四邊形45尸。是平行四邊形,

：.DF=AB.

■:DE=EF,

1

：.DE=^DF,

1

：.DE="B.

22.（2022?建湖縣一模）如圖，等腰△ABC中，4B=AC,ZBAC=36°,以C為旋轉(zhuǎn)中心,

順時針旋轉(zhuǎn)AABC到△OCE位置,使點A落在BC邊的延長線上的E處，連接AD和BD.

（1）求證：△AOC注△BCD；

（2）請判斷△ABE的形狀，并證明你的結(jié)論.

【解答】解：（1）證明：：等腰△ABC中，AB=AC,N2AC=36°,

A