2023-2024學(xué)年上海市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題五（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

?.在卜1的二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為.

【正確答案】70

【分析1寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得到當(dāng)，=0,2,4,6,8時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為正，求

出各項(xiàng)，得到系數(shù)最大的項(xiàng).

【詳解1f?-??的二項(xiàng)展開(kāi)式為4M=c^-r(-χ-')r≈(-ι)rq√-2r,

顯然當(dāng)r=0,2,4,6,8時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為正，當(dāng)r=l,3,5,7時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)為負(fù),

24t)6

其中7；=Cy=x?τ3=(-1)CX4=28X,7;=(-1)4CM=70,T1=(-1)=28XT,

7;=(-l)8φ^8=x^8,

故系數(shù)最大的項(xiàng)為I=70.

故70

2.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為19乃和36萬(wàn)，球的半徑為10,則這兩個(gè)平行截面之

間的距離為.

【正確答案】1或17

【分析】根據(jù)球的兩個(gè)平行截面的面積分別為19乃和36萬(wàn)，分別求得兩個(gè)平行截面的半徑和

球心到截面的距離，再分截面圓在球心的同側(cè)和異側(cè)求解.

【詳解】解：因?yàn)榍虻膬蓚€(gè)平行截面的面積分別為19%和36%，

所以球的兩個(gè)平行截面的半徑分別為J歷和6,

則球心到截面O∣的距離為IoaJ=^1O2-(√19)2=9,

22

球心到截面O2的距離為IOOj=√10-6=8,

當(dāng)截面圓在球心的同側(cè)時(shí)，如圖所示:

這兩個(gè)平行截面之間的距離為IaO2∣=9-8=1

當(dāng)截面圓在球心的異側(cè)時(shí)，如圖所示：

這兩個(gè)平行截面之間的距離為IaaI=9+8=17,

故1或17

3.有8種不同型號(hào)的手機(jī)供4位顧客選購(gòu)，每人只購(gòu)一臺(tái)，則共有種不同的選法.

【正確答案】4096

【分析】按分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.

【詳解】由已知得，每位顧客都有8種選法，

所以共有8χ8χ8χ8=84=4096種方法，

故4096

4.現(xiàn)有6位教師要帶4個(gè)班級(jí)外出參加志愿者服務(wù)，要求每個(gè)班級(jí)至多兩位老師帶隊(duì)，且

教師甲、乙不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案共有種.

【正確答案】432

【分析】因甲、乙不能單獨(dú)帶隊(duì)，故分甲乙一起帶隊(duì)和甲、乙分別于另外一位老師一起帶隊(duì)

兩種情況進(jìn)行分類計(jì)算即可.

【詳解】由于每個(gè)班級(jí)至多兩位老師帶隊(duì)，且教師甲、乙不能單獨(dú)帶隊(duì)，

所以分以下兩類情況：

①甲乙一起帶隊(duì)，則需要把其余的四位老師分成三組，共有C：種分法，再將四組老師分到

4個(gè)班級(jí)共有A：種分法;

即甲乙同隊(duì)共又C；A：=144種；

②甲、乙分別于另外一位老師一起帶隊(duì)，先將其他四位老師分到4個(gè)班級(jí)共有A：種分法,

再將甲、乙分別分到兩個(gè)不同的班級(jí)共有A；種分法；

即甲、乙不同隊(duì)共有A：共=288；

綜上可知，不同的帶隊(duì)方案共有144+288=432種.

故432

5.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)16080260200740560

好評(píng)率0.40.30.20.250.30.15

(好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值)從這六類電影中隨機(jī)

選取一部電影，則估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率為.

【正確答案】言94##0.752

【分析】直接查出總電影數(shù)和獲獎(jiǎng)的電影數(shù)，然后根據(jù)古典概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】根據(jù)已知條件，一共有160+80+260+200+740+560=2000部電影，

其中獲得好評(píng)的電影共有160x0.4+80x0.3+260x0.2+200x0.25+740x0.3+560x0.15=496.

故選取一部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率為I-黑406=黑ISfU=?94.

ZlXJuZUvU1ZJ

,94

故7j茂

6.4$。除以17的余數(shù)為.

【正確答案】16

【分析】由題得=(17-1)25,根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)解決即可.

【詳解】由題知，

502525O241I52I240M

4=(17-1)=?17(-1)÷?17(-1)+CJ517(-1)+....+C?17(-1)+C^17(-1),

因?yàn)?7"是17的倍數(shù)，只有最后一項(xiàng)-1不能被17整除，

所以T除以17的余數(shù)為16,

所以4‘。除以17的余數(shù)為：16

故16

7.8個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排,要求女生不排在兩端,則4個(gè)女生排在一起的概率為.

7

【正確答案】—

450

【分析】根據(jù)排列組合計(jì)算排法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】8個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，則排法總數(shù)為A；；,

女生排在兩端的情況，則排法數(shù)為即女生不排在兩端的排法數(shù)為A：；-

女生排在一起，不排在兩端的排法數(shù)為A：A：C；,

則4個(gè)女生排在一起的概率為

A；A_4!x8!×7_________4!×7__________7

Aq-12!-4×3×10!^12xllxl0x9-4x3xl0x9^450，

7

故答案為屈

8.某高中已經(jīng)從高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)中各挑選出4男5女，現(xiàn)從這27人中選出一人

評(píng)選區(qū)三好學(xué)生，則此人是男生或是高二年級(jí)學(xué)生的概率是.

17

【正確答案】??

【分析】利用古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】選出的27人中有12名男生，有9名高二學(xué)生，其中此人是男生或高二年級(jí)學(xué)生的

人數(shù)為17人，

此人是男生或是高二年級(jí)學(xué)生的概率是1首7，

17

故答案為

27

9.甲乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽，采用五局三勝制（即5局內(nèi)誰(shuí)先贏3局就算勝出并停止比

賽），已知每局甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率是,，且各局比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概

4

率為.

53

【正確答案】?

【分析】分別求出比賽場(chǎng)數(shù)為3,4,5時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率，即可得出答案.

【詳解】設(shè)甲隊(duì)獲勝時(shí)進(jìn)行了X場(chǎng)比賽，X=3,4,5,

127

X—=------

P-*］冏4512

IQ77

故最終甲隊(duì)獲勝的概率為?P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=χ+^+^=Q

班53

故元

10.某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的

概率為喧3，且女生人數(shù)超過(guò)1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的

左右相對(duì)順序固定，則共有種不同的站隊(duì)方法.

【正確答案】25200

【分析】由已知得10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.

【詳解】設(shè)10名學(xué)生中，有女生X人，男生(Io-X)人，

(K)一Λ?)(9一χ)

則10名學(xué)生中選取3人，恰有1名女生的概率P=CICrtjX2=3,

'C；o12010

整理得：x(10-x)(9-x)=72,BP√-19X2+90X-72=0

因式分解可得：(了一68一1心—12)=0,

解得：x=6>l或x=l(舍去)或久=12(舍去)

所以10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，

將6名女生排成一排有A：種方法，再將4名男生插到7個(gè)空中有A：A；種方法,

因?yàn)槟猩淖笥蚁鄬?duì)順序固定，而4名男生排成一排有A：種方法,

,,-A：A；6×5×4×3×2×1×7×6×5×4

所rr以一共有黃=------------------------=25200,

故25200

II.已知球。的表面積為676乃，點(diǎn)A、B、C在球。的表面上，且4?=7,AC=S,

ZBAC=120°,則球心O到平面ABC的距離為.

【正確答案】電亙

【分析】球心。到平面A8C的距離即為球心。到A8C的外心的距離，由余弦定理求得8C,

再由正弦定理求得ABC外接圓半徑，即可最后由勾股定理的所求距離.

【詳解】球心。在平面A8C的投影為。一則球心。到平面ABC的距離為。。1,

球。的表面積為6761，則球。的半徑r滿足π/=676π,解得尸=26,B∣JOA=OB=OC=26,

則QA=O∣B=O∣C=歹丁麗7，即0∣為一ABC的外心，

VAB=I,AC=8,NBAC=I20。，由余弦定理得BC=J7?+8?-2倉(cāng)58?cosl20=13,由

正弦定理得，ABC外接圓半徑OA=L-?-=M,

2sin1203

電亙，故球心0到平面ABC的距離為M1

故OoZOA2-OA2

13√33

B

12.用一根長(zhǎng)為54的鐵絲圍成正三角形框架，其頂點(diǎn)為A、B、C,將半徑為6的球放置

在這個(gè)框架上（如圖），若M是球上任意一點(diǎn)，則四面體體積的最大值是.

【正確答案】243G

【分析】設(shè).AfiC的內(nèi)切圓心為。1,球心為0,由幾何關(guān)系求出。。，即可求出〃到底面

ABC的高八的最大值，即可求體積的最大值.

【詳解】正；MC的邊長(zhǎng)為18,設(shè)ABC的內(nèi)切圓心為。I,半徑為"，則

r=l?√18Γ^9Γ=3Λ^,

3

設(shè)球心為。，則OOl=,則M到底面ABC的高/?的最大值為3+6=9.

故四面體M43C體積的最大值為:倉(cāng)鬟18創(chuàng)969=243√3.

故2436

二、單選題

13.在下列各事件中，發(fā)生可能性最大的是（）

A.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚正面朝上

B.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)大于2

C.有1000張，其中50張有獎(jiǎng)，從中隨機(jī)買1張中獎(jiǎng)

D.一個(gè)袋子中有20個(gè)紅球8個(gè)白球，從中摸出1個(gè)球是紅球

【正確答案】A

【分析】根據(jù)概率的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，比較大小即可得解.

【詳解】對(duì)于A,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果有（正正），（正反），（反正），（反

反），所以至少有一枚正面朝上的概率P=K

4

對(duì)于B,拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,點(diǎn)數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,點(diǎn)數(shù)大于2的概率為尸=：4=；2；

63

對(duì)于C,有Iooo張，其中50張有獎(jiǎng)，從中隨機(jī)買1張中獎(jiǎng)的概率。=怨=±；

1OOO2U

205

對(duì)于D,袋子中共有28個(gè)球，紅球有20個(gè)，摸出1個(gè)是紅球的概率P=T=三；

3521

又故發(fā)生可能性最大的是A；

故選:A

14.已知尸(AB)=I∣,∕,(A)=pP(B)=∣,則事件A與8的關(guān)系是()

A.A與8互斥不對(duì)立B.A與8對(duì)立

C.A與8相互獨(dú)立D.A與8既互斥又獨(dú)立

【正確答案】C

【分析】利用尸(Rq計(jì)算出P(A)=",可得到P(A)+P(B)=(wP(AB)則能得到A與

B不互斥，不對(duì)立；再利用P(AB)=P(A)+P(8)-P(AI8)算出「(ACB)弋即可得到

答案

【詳解】由P(Rq可得尸(A)=I-P(可=Iq=",

因?yàn)镻(A)+P(3)="wP(AB),則A與B不互斥，不對(duì)立，

8

由P(4_B)=P(Λ)+P(β)-P(A3)可得尸(ACB)與，

T1

因?yàn)镻(A)XP(B)=成=P(4c8),所以A與B相互獨(dú)立

故選：C

15.已知(l+x)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第5項(xiàng)與第11項(xiàng)的系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A.216B.2l5C.2'4D.213

【正確答案】C

【分析】利用二項(xiàng)式定理求得(l+x)”的展開(kāi)通項(xiàng)，從而利用心與。的系數(shù)相等得到關(guān)于〃的

方程，進(jìn)而求得〃的值，由此得解.

【詳解】因?yàn)?l+x)"的展開(kāi)通項(xiàng)為幾I=Clix*=C**

又因?yàn)榈?項(xiàng)與第11項(xiàng)的系數(shù)相等，所以c：=C丁，

由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知c：°=CL,則C：=C：T°,故〃=14,

所以(l+x)”的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2"=2"?

故選：C.

,

16.已知(5x-2)7=/+平+出/+-+a1x,則⑷+同+同++∣%I=()

A.128B.2187C.78125D.

【正確答案】D

【分析】由展開(kāi)式通項(xiàng)公式可得系數(shù)%、電、%、4小于O,系數(shù)4、%、%、%大于0，由賦

值法令x=-1,所求值即為-[5χ(-l)-2]7.

【詳解】(5X-2)7的展開(kāi)式中第3+1項(xiàng)為小=G(5X)E(-2>=C5"(-2)"y,

故系數(shù)%γ=a57Y(-2)",

即當(dāng)女為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)4、/、/、4小于0，當(dāng)女為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)4、%、%、%大于0.

∣?∣+∣αl∣+∣α2∣++∣α7∣=-00+α∣-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-[5x(-])-2了=823543.

故選：D

三、解答題

17.如圖所示，已知一個(gè)半徑為6的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形ABC,將剩余部分繞著

直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，其中點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)，求該幾何體的表面

積和體積.

A

B

【正確答案】表面積為(144+720)不，體積為(48-24夜)乃

【分析】作CO，相，三角形ABC是等腰三角形，得到。為圓心，分別求得圓錐40和圓錐

8。的底面半徑，高和母線長(zhǎng)求解.

【詳解】解：作CoJ_AB,如圖所示：

B

因?yàn)槿切蜛SC是等腰三角形,

所以。為圓心，

因?yàn)閞=6,所以AC=BC=60,C0=6,

所以?tftΛ(χ)!∣j=S圓錐BO(B="X6X6夜=36Λ∕2Λ^,

所以S幾何體=S球+Sl0M側(cè)+S圓錐5例=4萬(wàn)X6?+2X36岳=(144+72√Σ)%；

則嗡黜o=%ι錐BO=]7fx6χ6=12Λ∕ΣTΓ,

所以%何體=∕-(K≡w+%做。)=3外62-2、12夜萬(wàn)=(48-24&卜.

18.如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm,

圓柱筒高為3cm.

F*------8cm-------*1

(1)求這種“浮球”的體積；

(2)要在這樣的3000個(gè)“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠

多少克？

【正確答案】⑴華πcπ√

(2)26400?？?/p>

【分析】(1)由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；

(2)由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解出一個(gè)的表面積,然后乘以3000得總面積,

按照規(guī)定再乘以0.1即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)由題意得該幾何體由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，

所以體積為一個(gè)球體體積和一個(gè)圓柱體積之和，

449S6

由球體的體積為：^=→Λ,=jπ×43=^πcm?

223

圓柱體積為：V2=πR?h=π×4×3=48πcm,

所以浮球的體積為W=K+%=亍兀+48π=F-πcm3

222

（2）上下半球的表面積：51=4πΛ=4π×4=64πcm,

圓柱側(cè)面積：5,=2πRh=2π×4×3=24πcm2,

所以，1個(gè)浮球的表面積為S=64π+24τr=88τtcm2,

3000個(gè)浮球的表面積為：3000×88τt=264000πcm2,

因此每平方厘米需要涂膠0.1克，

共需膠2M000πX0.1=26400π克.

19.已知（五+）］（〃為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中.

⑴若C；：+C：+C：+=256,求所有項(xiàng)的系數(shù)之和；

⑵若C；：+C；+C：=821,求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；

（3）若〃=30,求系數(shù)最大的項(xiàng).

【分析】（1）由題意求出n=9,令（扳+卡）中X=L即可得出答案?

（2）求出〃=40,寫出［五+））的通項(xiàng)，要使展開(kāi)式為有理項(xiàng)，則10-1eZ,求解

即可;

（3）設(shè)二項(xiàng)式展開(kāi)式第「+1項(xiàng)的系數(shù)最大，求出（也+土）的通項(xiàng)，則

解不等式即可得出答案.

【詳解】（1）因?yàn)閏,+c,+c+c++c：=2",

而c：+C+c：+=c,+c+c+=2"T,

所以2"T=256=〃=9.

所以令（扳+土）中x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為

(2)若C；+C+C：=821,則1+"+"(7)=821,

("-40)("+41)=0,解得.〃=40

的通項(xiàng)為：小=CiM『［壺）=CuJMI

其中∕?e{0,l,2,3,,40},要使展開(kāi)式為有理項(xiàng),

3

則10—士r∈Z,IjIiJr=0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,

4

故展開(kāi)式中的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為11.

(3)若"=30,―廣閨=咱詈,

則設(shè)二項(xiàng)式展開(kāi)式第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,

3。(IY>―迎—flY

r!(30-r)!Uj^(r-l)!(31-r)!UJ

3。(IY>___?θ]__

r!(30-沙12)-(r+l)!(29-r)!t,2j

2r31-r,解得.g≤?≤g

化簡(jiǎn)得：z

11

-------≥----------

30-r^2(r+l)

因?yàn)閞eZ,貝b=10,所以系數(shù)最大的項(xiàng)為Zl=

20.如圖，在正三棱柱ABC-A用￡中，底面ABC的面積為46，側(cè)面積為60,。是AB的

中點(diǎn).

（1）求異面直線C。與AC所成的角的大小:

（2）求直線CQ與平面ACGA所成的角的大小.

【正確答案】（l）arccos3短；

37

⑵arcsin如?

37

【分析】（1）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，取直線的方向向量，可得答案.

（2）根據(jù)（1）的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，可得答案.

【詳解】（1）在正三棱柱"C-A4G中，S.c=；A—sin60=4B解得AB=4,

由側(cè)面積為60,則3AB?AA=60,解得M=5,

取A耳中點(diǎn)"，連接C。,。。，而。是AB為中點(diǎn)，則CO?LAB,OE√∕A4,,

又A41，平面45C,Cf）U平面A8C,有AA_LCZ）,因此。RLCD,OB,OC,CR兩兩垂

直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C∣(θ,2√5,5),O(0,0,0),A(-2,0,0),c(θ,2√3,θ),

即。G=(0,2√i,5),AC=(2,2√3,θ),異面直線G。與AC所成的角，,

則cosHcos(DC1,ΛC)∣=-C=-U2—=季，θ=arccos也，

\/∣DClHACl歷x43737

故異面直線G。與AC所成的角為arccos嚕.

(2)由(1)知，CC1=(0,0,5),令平面ACGA的法向量"=(χ,y,z),

n?AC=2x+2>∕3y=0L

則，令y=ι,得〃=(-百,1,0),令直線G。與平面ACGA所成的角

∕z?CC1=5Z=O

為α,

rπι,.,/nr,?,?n-DCl?2√3√∏l.√ΓH

貝"s.nα=|cos(%DCi)?===F'arcsm?,

所以直線CQ與平面ACGA所成的角的大小為arcsin?.

37

21.如圖，四棱錐尸一ABCD的底面是矩形，A4_L平面ABCr>,。為BC的中點(diǎn)，且AB=2,

AD=4,PA=3.

⑴求點(diǎn)A到平面PQO的距離;

(2)求二面角A-PZ)-0的大小;

(3)已知E為PD的中點(diǎn)，若一只螞蟻從8點(diǎn)出發(fā)，沿著四棱錐的表面爬行，求這只螞蟻爬到

點(diǎn)E的最短距離(結(jié)果精確到0.01).

【正確答案】(l)g叵

17

”、3庖

⑷arccos-------

34

(3)3.61

【分析】(1)應(yīng)用等體積法可求點(diǎn)到平面距離;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,空間向量法求出二面角平面角;

(3)分三種情況進(jìn)行求側(cè)面展開(kāi)圖求距離最小；

【詳解】(1)連接4Q,

v

因?yàn)椤蘳=匕＞-MO,又因?yàn)槠矫鍭SC￡),所以;S咿也=∣Saqd×PA.

因?yàn)?8=2,AD=4,必=3,底面ABa)是矩形，

所以PQ=折,QO=2√Σ,尸。=5,所以尸。+QQ2=P0?,

貝IJSPQD=；X歷×2y∕2=?∣34,Sλqd=1×4×2=4

所以:$「8?%=:548'%即:陰/4=：乂4乂3,即得4=七=噂.

????√3417

(2)如圖建系,A(0,0,0),P(0,0,3),0(0,4,0),Q(2,2,0)

設(shè)平面APD的法向量為〃=(1,0,0),設(shè)平面P。。的法向量為加=(X,y,z)

PO=(0,4,-3)3=(-2,2,0)

x=3

mPD=G4y-3z=0

可得,即y=3,所以"7=(3,3,4)

m?QD=O-2x÷2γ=0,

z=4

設(shè)二面角A-PZ)-0的平面角為0

該螞蟻可能沿著.PBC和APDC到達(dá)E點(diǎn)，故將PBe和△「￡)C展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi),設(shè)

NBPC=y,NCPD=β,

因?yàn)椤?=屈,PE=I,BC=4,CD=2,PC=厲，

所以尸產(chǎn)+sc?=PC?,PD2+CD1=PC2,

所以CoSy=翌