《高等數(shù)學(xué)(A)I》期末試卷及答案五

《高等數(shù)學(xué)(A)I》期末試卷及答案五

一、在各題的下劃線處填上正確的答案(每小題3分,共36分)

1.下面各式中下片馥的是

(A)lim(1+x)t=e(B)lim(l-2x)t=e-2

X-?+O0x->0

(r\sin2x

15hrm--------=2(D)limxsin—=1

A->0xX->-KOX

2.當(dāng)x.o時(shí)，下面四個(gè)中正確的是

(A)1-cos2x?X2(B)1-e-x-x

(C)+tanx--71+sinx?%3(D)ln(l-2x)?2x

3.函數(shù)f(x)=_L_的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)

1—0X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

4.設(shè)/(%)為可導(dǎo)函數(shù)，且y=/(ex)lnx+「e.r2公，則辦=

(A)ex\nxff(ex)+"(B)[e^Inx/"(ex)+J

xx

(C)exInxf'?)+,、')+e/(D)9Inx/(e*)+'""+e"]dx

xx

5.設(shè)/(x)的一個(gè)原函數(shù)為Inx,則＜(x)=

(A)1(B)xlnx(0z!(D)

XX2

6.下列廣義積分收斂的是

⑻+x

(B)1dx(C)J+°°sin"r\e2.dx

0yfxo0

sinax

x<0

x

7.已知y—<1x=0是連續(xù)函數(shù),則(a,b)=

〃ln(l-4x)

x>0

2x

8.設(shè)y=/(無(wú))由方程ey+xy=e確定，貝U/"(0)=

9.曲線y=ox3+0x2+1有拐點(diǎn)(1,3),則(a,b)二

10?定積分12°/K"1-COS2xdx=

0

11.定積分土+3COS3J公二

F11+冗2）

2

12.懸鏈線y=￡*上介于x=-l與x=l的一段弧的長(zhǎng)度

2--------------

二、解答下列各題（每小題6分，共36分）

fAInsintdt

1.求極限limU__

工（71—2%）3

A->

2

2.設(shè)函數(shù)y=/（x）由參數(shù)方程卜=皿標(biāo)確定，/為參數(shù)，求土匕

[y=arctantdm

3.求不定積分J一小

J1+X2

4.求定積分/小三公

tX2

5.已知e"為了"）的一個(gè)原函數(shù)，求Jx2/（x）dx

6.已知y=J*__!___dt，求y（n）

of2+5f+6

三、解答下列各題（每小題9分，共18分）

1.列表給出函數(shù)y=l+Ql二的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

（X+3）2

2.（1）求拋物線x=y2與直線x=），+2所圍成圖形的面積；

（2）^ty=sinx,（0<x<7i）-^X軸圍成圖形繞y=i旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.

四、證明題（每小題5分，共10分）

1.證明：若“X）是連續(xù)的奇函數(shù)，則①（X）J"⑺力是偶函數(shù).

0

2.證明：當(dāng)x>4時(shí)2d2.

一、在各題的下劃線處填上正確的答案（每小題3分，共36分）

1.(A)2.(B)3.(C)4.(B)5.(C)6.(B)

7.(1,-0.5)8.e.29.(T,3)10.402211.412.

二、解答下列各題(每小題6分，共36分)

COSX

1.解：原式=lim一吧吧=]而而吧5=]im咄」

?！?(71—2X)2笈24(TC—2X)124(TC—2x)工4848

,V—>2.v—>2A—>2A—>2

x=Jn(l+%2)dx------dt

2.解：卜二始后方01+12

=><

arctan]

y=ty-arctantdy=._dt

l+￡2

l+t2l+f2

3,解：原式=11J?小Ji，：。1九丫川）

2J1+X22Jl+%2

=J[（X2+l）"x2+l）-山（X2+1）4（X2+1）;（X2+1）；+C

說明：本題用三角函數(shù)換元和分部積分都可以做！

4.解：原式句;且cos041Tini%。

區(qū)sin201sin20

44

2f_=[-cot0-0]:=1--

區(qū)lsin2。）工4

44

說明：本題用分部積分也可以做！

5.解：記尸(1)=ex?=>Fr(x)=f(x)

/x2f(x)dx=[x2F'(x)dx=心/(1)-jF(x)dx2=x2ex2一J0x2公2=工20解一eX2+C

6.解：y=J\__!___dr=>y'=____!____=_____!_____=1-1.

o/2+5，+6"X2+5X+6(x+2)(x4-3)x+2x+3

又㈡⑹…不？

\x+a)(X+Q)〃+I

11

J1^7+2尸；―"(x+(2〃)-.1')!17+(3J一”心(71+(3〃)7T)!

故y(?)=(-1)?-|..(z;-1)!-(-1)?-1ST”

(A-+2)?(X+3)”

三、解答下列各題(每小題9分，共18分)

1.解：y=l+*_=l+工—生3,定義域?yàn)閤聲-3的全體實(shí)數(shù)

-(x+3)2X+30+3)2

,-3636x636(3-工)”36x236x1872(x-6)

y-------+-------=--------,y--------—-------=--------

(X+3)2(X+3)3(工+3)3(X+3)3(X+3)4(1+3)4

X(-8,一3)(-3.3)3(3.6)6(6,+8)

y'—+0———

y''————0+

y單減凹單增凹極大值4單減凹拐點(diǎn)(6,11/3)單減凸

2.解：(第1小題4分，第2小題5分)

(1)求兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)(1,-1),(4,2),選y為積分變量

S=f2(j+2-y2)dy=—

-i2

149

若選X為積分變量,5=f[7x-(-Vx)]Jj+f[5/x-(%-2)]Jy=.

o12

(2)該旋轉(zhuǎn)體體積可以看成兩個(gè)體積的差(畫圖顯然)

四、證明下列各題(每小題5分，共10分)

(1)證明：因?yàn)镴”)是連續(xù)的奇函數(shù)，所以-f(x)，

①(_x)=J-"Q)力J"(—")d(—M)=J")疝

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