高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)最拿分考點(diǎn)系列考點(diǎn)2解三角形試題

專題2解三角形

考點(diǎn)了解A掌握b靈活運(yùn)用c

正弦定理、余弦定理B

解三角形B

通過研究近4年全國(guó)高考試卷，高考中解三角形試題主要以中檔題出

現(xiàn)，通過研究近幾年全國(guó)高考試卷，題目設(shè)置上如果沒有解答題，會(huì)

有1-2個(gè)選填題；分值為10-12分。

解三角形在高考中占據(jù)重要地位，通過分析近幾年高考情況，考察特

點(diǎn)如下表：

考什么怎么考題型與難度

①考察利用止、余弦定理求邊、角與

面積；題型：三種題型

②考察利用正、余弦定理判斷三角形均可出現(xiàn)

1.正、余弦定理

形狀；難度：根底題或

③考察利用正、余弦定理解決一些中檔題

現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題.

2.止、余弦定埋

與三角函數(shù)、平主要考察正、余弦定理及三角函數(shù)圖題型：解答題

面向量交匯問象、性質(zhì)與平面向量綜合應(yīng)用難度：中檔題

題

解三角形作為高中數(shù)學(xué)一個(gè)模塊，與三角函數(shù)、向量都有天然聯(lián)系,

同時(shí)在相關(guān)學(xué)科中也有著廣泛應(yīng)用。

第1頁(yè)

高考中選填題以考察正余弦定理及面積公式根本運(yùn)用，為中低檔題。

解答題以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為

手段來(lái)考察三角形問題.具體解題時(shí)，除了熟練使用正、余弦定理外,

也要根據(jù)條件合理選用三角函數(shù)公式，到達(dá)化簡(jiǎn)問題目.解三角形問

題實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.復(fù)習(xí)中注意對(duì)正余弦定理及公

式變形與運(yùn)算能力訓(xùn)練，同時(shí)讓學(xué)生感悟解題中所蘊(yùn)含方程思想、函

數(shù)思想、分類與轉(zhuǎn)化思想、建模能力。

復(fù)習(xí)教學(xué)中提出以下建議；教學(xué)中應(yīng)注意“四化”，知識(shí)理解“深

化”、考試題型“類化"、通性通法"強(qiáng)化"、解題思維“優(yōu)化”。

高考復(fù)習(xí)內(nèi)容四查：查考綱把握方向、查考題明辨重點(diǎn)、查課本回歸

根底、查學(xué)情對(duì)癥下藥。數(shù)學(xué)教學(xué)與高考復(fù)習(xí)要求四通：對(duì)學(xué)生點(diǎn)，

心有靈犀一點(diǎn)通；讓學(xué)生悟，融會(huì)貫穿；讓學(xué)生做，觸類旁通；讓學(xué)

生考，無(wú)師自通。

典例【2021課標(biāo)n理17】AA5C內(nèi)角4B、C所對(duì)邊分別為a,b,c，,

〔1〕求cos8；

〔2〕假設(shè)a+c=6,AA5C面積為2,求b。

【答案】(1)；⑵。=2。

⑵由得，故s=LacsmB=±ac°

△ABC217

又S=2,那么。由余弦定理及a+c=6得：

△ABC

2

匕2=口2+c2-2accosB=(a+c)-2ac(l+cosB)=36-2x?x(l+”]=4。所以

2I17J

b=2o

【精準(zhǔn)解讀】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題第

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一題，主要利用正、余弦定理、三角形面積公式。同時(shí)也與三角函數(shù),

三角恒等變形、向量、不等式等綜合。解題時(shí)要靈活利用三角形邊角

關(guān)系進(jìn)展“邊轉(zhuǎn)角”"角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意a+c,ac,a2+C2三者關(guān)系。

因?yàn)轭}小巧，為考生易等分點(diǎn)。

1.(2021高考北京理12】在wc中，a=4，b=59c=6，那么sin2A

sinC

【答案】1

【解析】

XX

【精準(zhǔn)解讀】此題考察了三角恒等變換，正余定理解三角形。在解決

三角形問題中，因?yàn)闂l件與問題中既有邊又有角，容易與正弦定理、

余弦定理聯(lián)系起來(lái)處理。

2.【2021課標(biāo)3理17】^ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,

C.sinA+/cosA=0，a=2〃,b=2?

⑴求C；

〔2〕設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADj_AC,求4ABD面積.

【答案】⑴c=4；⑵0

【解析】分析：⑴由題意首先求得，然后利用余弦定理列方程，邊

長(zhǎng)取方程正實(shí)數(shù)根可得c=4；

⑵利用題意首先求得4ABD面積與4ACD面積比值，然后結(jié)合

△ABC面積可求得4ABD面積為/.

【精準(zhǔn)解讀】此題考察了余弦定理解三角形；三角形面積公式。在解

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決三角形問題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容?/p>

與正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來(lái).正、余弦定理在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意靈

活性，兩角與一邊，該三角形是確定，其解是唯一；兩邊與一邊對(duì)角,

該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值有界性與大邊對(duì)大角定

理進(jìn)展判斷.

3.【2021課標(biāo)1理17】AABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,

c,△ABC面積為

〔1〕求sinBsinC;

〔2〕假設(shè)6cosBcosC=1,a=3,求^ABC周長(zhǎng).

【解析】分析：〔1〕由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將

邊化成角，

從而得出sinBsinC值；〔2〕由與計(jì)算出，

從而求出角A,根據(jù)題設(shè)與余弦定理可以求出爐與"c值，從而求出

△A5C周長(zhǎng)為3+屈.

解析：〔1〕由題設(shè)得，即.

由正弦定理得?故.

【精準(zhǔn)解讀】處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給條件，當(dāng)題

設(shè)中給定三角形面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊關(guān)系

轉(zhuǎn)化為角關(guān)系，有時(shí)需將角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系；求解周長(zhǎng)問題時(shí)要注

意a+c,ac,a2+C2三者關(guān)系，需有整體思想。

【實(shí)戰(zhàn)演練】〔共1。。分〕

一、選擇題〔共4題，每題5分〕

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1.【2021課標(biāo)1文11]AABC內(nèi)角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、

C.sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,C=4,那么C=

A.±B.fC.2E

1264

D.2

3

【答案】B

【解析】由題息sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0得

即sinc(sinA+cosA)=Osincsin(A+：)=0,所以?

由正弦定理得，即，得，應(yīng)選B.

2.【2021福建莆田一中高三模擬】在AABC中，角角A,8,C對(duì)邊分別

為a,b,c,假設(shè)〃2—。2=且

sinC=2^sinB,那么A等于〔〕

A.三B.C.三

石4T

D.竺

3

【答案】A

3.【2021江西南昌模擬】在AA5c中，角A,B,C對(duì)邊分別為見叱，假

設(shè)(22+62=2017C2,

那么II

A.B.C.D.

1008

【答案】C

【解析】../BC中，..02+02=2017c2,故由正弦定理可得

sin2A+sin^B=2017sin2c?

再由余弦定理可得Q2+Z?2-C22016c22016s，2c

2ab2abIsinAsinB

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/.sinAsinBcosC=1008sin2C.

tanCtanCsinCcosAsinCcosBsinCsinBcosA+sinAsinCcosB

.*+----=---------+---------二---------------------------

tanAtanBcosCsinAcosCsinBsinAsinBcosC

sinC'Sin(A+B)sin2c1應(yīng)選C

-1008s沅2c-i008^C-i008，?

4.[2021新課標(biāo)2理4】鈍角三角形ABC面積是J_,AB=1,

2

BC=e,那么AC=()

A.5B.1C.2

D.1

【答案】B

【解析】由面積公式得:，解得，所以5=45或3=135,當(dāng)6=45時(shí),

由余弦定理得：AC2=1+2-272cos45=1,所以AC=1,又因?yàn)锳B=1,

BC=0,所以此時(shí)

△ABC為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以5=135,由余弦定

理得：

AC2=1+2-272COS135=5,所以AC=6,應(yīng)選B.

二、填空題〔共6題，每題5分〕

5.【2021全國(guó)1文16］如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A與另一座山

山頂CA點(diǎn)測(cè)得M

點(diǎn)仰角/M42V=60。，。點(diǎn)仰角NC43=45。以及NM4c=75。；從C點(diǎn)測(cè)

得NMC4=60。.

山高3。=100機(jī)，那么山高肱V=m.

【答案】150

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【解析】根據(jù)題意，在AA3C中，ZCAB=45o,ZABC=9Oo,5C=100,易

得：4。=1000；在4^。中，/肱40=75。,41104=600,4。=100戶，易得：

ZAMC=45o,由正弦定理可解得：_=—人”，即：

sinZAMCsinZACM

AM=10(^x^-=10073^AMN中，

\/22

~T

ZMAN=fQo,ZMNA=9Qo,AM=100y/3,易得：MN=150m-

6.【2021高考新課標(biāo)2理13】AABC內(nèi)角A,民c對(duì)邊分別為a,"c,

假設(shè)，，a=l,那么b=.

【答案】！

13

7.[2021大連模擬】在AABC中，a也C分別為內(nèi)角A,B,C對(duì)邊，假

設(shè)2sinB=sinA+sinC,,

且S=6,那么b=.

MfiC----------------------

【答案】4

【解析】利用正弦定理可得：2b-a+c,①

由余弦定理可得：匕2=Q2+C2-2acX2.=(〃+C)-%,②

55

由，得siiLB=±「.S=Lacx—=69③，由①②③得，6=4。

5AABC25

842021課標(biāo)I理16]〃也。分別為AA5C三個(gè)內(nèi)角A民。對(duì)邊，a=2,

且G+b\sinA-sin5)=(c-Z?)sinC，那么AABC面積最大值為

【答案】p

【解析】由〃=2,且(2+b}sinA-sin5)=(c-b)sinC，故

(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC9又根據(jù)正弦定理，得(a+b)(a-6)=(c-b)c，

第7頁(yè)

化問用,b2+c2-a2=bc,故，

所以A=6Oo,又b2+c2-bc=42be,故?

9.【2021河北邢臺(tái)市二中月考】在小鉆。中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別是

a,b,c,假設(shè)，且a+c=2,那么AABC周長(zhǎng)取值范圍是___________?

【答案】(3,4)

10.[2021江西師大附中模擬】設(shè)銳角△ABC三內(nèi)角A,8,C所對(duì)邊邊

長(zhǎng)分別為a也c,且a=l,B=2A,那么b取值范圍為—?

【答案】m

【解析】由于為銳角三角形，所以0<A<5,?0<B<!L,ZL<A+B<7t,

222

即有0<A<匕?0<2A<5，3A<兀，解之得，

222

而由題意，得b=2cosA，所以/<b</

三、解答題〔共5題，每題10分〕

11.【2021河北石家莊一中模擬】在AABC中，a,b,c分別是角

A,B,C對(duì)邊，

3(b2+C2)=3a2+2bc.

⑴假設(shè)sinB=ocosC,求tanC大?。?/p>

(2)假設(shè)a=2,AABC面積S=比，且b>c,求b,c.

2

【答案】(1)tanC=0；⑵.

【解析】⑴.-3C2+c23<22+2bc,,r.cosA=1,sinA=?立_,.

,33

⑵，，，①

,：a=2,由余弦定理可得，

第8頁(yè)

/.Z72+C2=5,②..?聯(lián)立①②可得.

12.[2021高考新課標(biāo)2理17】AABC中，。是3C上點(diǎn)，AD平分

ABAC,AA5D面積是AADC面

積2倍.

⑴求；

(可假設(shè)仞之，，求班)與AC長(zhǎng).

【答案】(i)L(n)i.

2

【解析】(I)S=LAB-ADsinZBAD,S=LAC-ADsinZCAD,

SABD2AA￡)C2

因?yàn)镾=2s,ABAD=ACAD,所以AB=2AC?

MBDAADC

由正弦定理可得.

(n)因?yàn)閟:s=BD：DC,所以BD=O,在AAfi。與AADC中，

AABDAADC

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，

"2+2AC2=34。2+5。2+2。。2=6?由(I)知AB=2AC,所以AC=>

13.[2021山東、湖北局部重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研】在中，角A,dC所

對(duì)邊分別為a,b,c.點(diǎn)(b,a)在直線xsinfi+y(sinA-sinfi)=csinC上.

⑴求角C大小；⑵假設(shè)c=0,求AABC面積最大值.

【答案】〔1〕1〔2〕泗

34

[解析】〔1〕因?yàn)辄c(diǎn)(b,a)在直線xsinB+y(sinA-sinfi)=csinC上，

所以bsinB+a(sinA-sinB)=csinC?由正弦定理得仍+〃(a-b)=cc，

PH77「Z?2+Q2—C211)兀

網(wǎng)JZ72+〃2—。2=abcosC=----------=—