上海市靜安區(qū)2023屆高三年級上冊一模數(shù)學試題（解析版）

2022學年靜安區(qū)高三第一學期期末數(shù)學學科練習卷

考生注意：

L試卷共4頁，另有答題紙2頁.

2.所有作答必須在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域完成，不得錯位，在試卷或者草稿紙上作

答一律無效.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號位置直接填寫結(jié)果.

(ft、

y=tan2—

1.函數(shù).I4J的定義域是.

【解析】

3x-----w—+€Z

【分析】由42可得答案.

3x-----w-+無n?無cZr*—4-

【詳解】42，則43,Z.

故答案為:

-1+2GI

2.已知復(fù)數(shù)o-i(I為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】I2>

【解析】

【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運算計算出二，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得出相應(yīng)點的坐標，列方程組求解即可.

-l+]m_(T+2a)(a+i)_?a+(^]?l)i+2aJ

【詳解】a+\"7+1a*+l,

—%2a2—1

復(fù)數(shù):在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為+1

■So2a3—1

在第二象限,

由已知,I+1a+1J

7an

^^->0a)旦

。+1，解得2

（事]

—-^

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是I-）.

故答案為：V-7.

3.若直線'+1'+3=°與直線＞+巾.「+10=°平行，則這兩條直線間的距離是一

【答案】5##1

【解析】

【分析】運用兩直線平行求得加的值，再運用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】由直線、+N'+3=°與直線丁+可,+1°=°平行，

可知巾-2x2=0,即明=4,

故直線？*+僧J'+1°=°為？|+4丁+1°=°,

直線X+>+3=0變形得?x+4》+6=0,

d=￡l=*

故這兩條直線間的距離為J丁+4,5,

275

故答案為：-5".

4.16-17歲未成年人的體重的主要百分位數(shù)表（單位：kg）.

P1P5P10P25P50P75P90P95P99

男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5

女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6

表中數(shù)據(jù)來源：《中國未成年人人體尺寸》（標準號：GB/T26158-2010）

小王同學今年17歲，她的體重50kg,她所在城市女性同齡人約有4.2萬人.估計小王同學所在的城市有

萬女性同齡人的體重一定高于她的體重.（單位：萬人，結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】2.1

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由圖表可知，該城市女性同齡人高于小王的50百分位數(shù)，由百分位數(shù)的定義計算可

得答案.

【詳解】根據(jù)題意，小王同學今年17歲，她的體重50kg,

由圖表可知，小王體重的百分位數(shù)是50,

4.2x—=2.1

所以體重一定高于她的體重的人數(shù)有100（萬）

故答案為：21

5.已知函數(shù)/⑴=e”cos2x-e'，則函數(shù)了巾的導(dǎo)數(shù)f（》）=.

【答案】e*cos2x-2e*sin2x

【解析】

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和四則運算法則計算即可.

［詳解］/'（幻二61cos21-26（51112x

故答案為：elcos2.v-2e*sinZ.T.

6.現(xiàn)有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9（單位：cm）,從中任取3根，能搭成一個三角形的概率

是.

3

【答案】0.3##10

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可.

【詳解】從5根木棍中任取3個共有戲=O=山種，符合條件有（5,5.71,（3.7.91,，5,7.913種，

能搭成一個三角形的概率10；

-

故答案為：io.

7.有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均勻，則它的內(nèi)直徑為

cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【答案】4.5

【解析】

【分析】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為二八，表示空心鋼球的體積，由條件列方程求，即可.

4r5丫4,1,

—.n----nrcm

【詳解】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為‘"cm,則空心鋼球的體積為（“3

」，

因為空心鋼球的質(zhì)量為140.2g,鋼的密度是7.9g/cm3,

之⑶［"x79=1402r，r5Y_1402x3

所以U」，所以79X4K,

解得；一；5,所以

故答案為：45.

8.A,月分別是事件A、B的對立事件，如果A、E兩個事件獨立,那么以下四個概率等式一定成立的

是_____________.（填寫所有成立的等式序號）

①尸=

^P\2r\B\=P\2\P\B\

③"萬cg|=[l-p4][l—RS）]

④尸（才ug）=P（不+尸（國

【答案】②③

【解析】

【分析】根據(jù)事件的獨立性定義判斷即可.

【詳解】①尸（dUB）=F（0+P（3）-P|M,故①不一定成立；

②③由事件的獨立性定義可得N與B,N與豆相互獨立，所以0加小尸01。⑶，

p（^ni）=p（7）np（i）=[i-p（Ai][i-p（5i]故②③正確；

④戶口U耳=尸（彳）+?⑶?？而I故④不一定成立.

故答案為：②③.

9.2022年11月27日上午7點，時隔兩年再度回歸的上海馬拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途經(jīng)黃

浦、靜安和徐匯三區(qū).數(shù)千名志愿者為1.8萬名跑者提供了良好的志愿服務(wù).現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫

組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有

種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

【答案】240

【解析】

【分析】先將5名志愿者分成四組，然后再分配到四個地方即可.

【詳解】將5名志愿者分成四組，且每組至少1名志愿者有種情況，所以不同的分配方法有

C；A；=240

故答案為：240.

A/=L|1<^<256）hi】。-Y）川

10.已知全集為實數(shù)集R,集合I】6J,"JF,則

拓cN=.

[答案]（-OD---）U（5-+CD）

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到“，,然后求交集即可.

1.7*S、56

【詳解】不等式16可整理為所以-442x48,解得-23x04,所以

M=（x卜2y4}屈={x[x<-2或x>4）

不等式所以x*-4x>5,即i.L5HA+1）>0,解

得I<-1或x>5,所以"=卜卜<一1或x>5）,MnN=（~?,->Ul5,"K?i

故答案為：（9055”I.

11.在空間直角坐標系U二中，點尸“TEI關(guān)于坐標平面-的對稱點尸在第卦限；若點

Q的坐標為I&-L5）,則向量網(wǎng)與向量而夾角的余弦值是.

叵

【答案】①.五②.9

【解析】

【分析】根據(jù)坐標平面對稱先求出尸’的坐標，根據(jù)卦限在空間中的位置可以得出結(jié)果；

利用空間坐標直接求出夾角的余弦值即可得出答案.

【詳解】點尸346）關(guān)于坐標平面'K的對稱點p為1T.-6）,根據(jù)卦限在空間中的位置，所以點尸

在第五卦限.

_「皿低,兩）=/」=正

由已知可得只2=QT「l）,PP'-（0.0,-l2）,所以\/6X1二9

73

故答案為：五；9

12.已知函數(shù)3'若函數(shù).，（門只有一個零點、，則實數(shù)"的取值范圍為.

【答案】SY）U（￡2）

【解析】

【分析】對a分類討論：；；=°,口>0和分別求出對應(yīng)情況下的實根情況列不等式，即可求解.

【詳解】函數(shù)〃"=31"的導(dǎo)函數(shù)為「（仙30*』.

什士理

當a=0時，令."工）=°,解得：’3,所以函數(shù)有兩個零點，不符合題意.

當a>0時，要使函數(shù)只有一個零點】，只需"的極大值小于0或"的極小值大于0.

令Cx）=3a—,解得：或"了?

列表：

X（0。）0。,二

ka)a

/,（X）+0-0+

單增極大值單減極小值單增

匚二1、|上叱》/升/（0）=4.01-303+2>0才補八口而上

所以極大值-不符合題意.

+2=——j-+2>0f-

所以極小值a,解得：a>yj：

當a<。時，要使函數(shù)"只有一個零點i,只需?"極大值小于o或?門門的極小值大于0.

令⑴f61=0,解得：x=0或J1".

列表:

X09+0)

a住。）

-0+0-

“X)單減極小值單增極大值單減

所以極大值〃01Td°不符合題意.

/仔）=。仁，3仔丫+2=-二+2>0

所以極小值Wa,解得：a<-V2.

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為（~?--6UI,他）|.

故答案為：

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5

分）每題有且僅有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號位置將代表正確選項的小方格

涂黑.

13.己知數(shù)列;4；是等差數(shù)列，%+為￡=48,,則%（）

A.120B.96C.72D.48

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標性質(zhì)計算可得結(jié)果.

【詳解】因為是等差數(shù)列，

所以％=48,即小=24

所以%+%+。日=+工=5at=5*24=120

故選：A

14.若實數(shù)x,y滿足X'+4J：-P=3,則（）成立.

A.PN1B.X、4』S4

c.v+2.r>-J?Dx+2.r<J?

【答案】B

【解析】

【分析】運用基本不等式，對條件代數(shù)式變形，逐項求解.

【詳解】由「+一寸=3和基本不等式、'+4.v'NRY7.4=4卜丁|（當F=4/時等號成

立），

3

.『+4/-?，=3之4同-？當甲,次時，有心1，當y<0時，A錯誤；

由“，忖1（當工》同號時等號成立）得：

4x）'<4M|Wx'+4p「&，>----^―./+4j*-.=3N尸+4也

P+4yls4,B正確；

v:+Ay3-xy'=（i+2y）3-5n1=3=3+5943+5=8（當/=4,一時等號成立）

-272<x+2r<272,c,D錯誤；

故選：B.

(JX,

3x+戶Jr

d;?->J-

15.在I的二項展開式中，J'A稱為二項展開式的第r+1項,其中尸0,1,2,

/J'X"

3'+戶

3,...,n.下列關(guān)于I）的命題中，不正確的一項是（）

U

A.若則二項展開式中系數(shù)最大的項是C54、”.

0

B.已知I>0,若"=9,則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)1的取值范圍是

C.若”=10,則二項展開式中的常數(shù)項是<。丁.

D.若"=27,則二項展開式中\(zhòng)兇事指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項.

【答案】D

【解析】

【分析】A選項：根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據(jù)題意列不等式，然后分

】o3=o

和、>1兩種情況解不等式即可；c選項：令3,解方程即可；D選項：令3,解不

等式即可.

—<r〈一

【詳解】A選項：令I(lǐng)GP'，解得4.1,所以「=2,所以A正確；

aIT:<4

B選項：空2三空2,整理可得.~3,當0<、二1時，不等式恒成立；當x>l時，解得

0<x

⑴，所以,故B正確;

10--r=0

C選項：令3,解得r=6,所以常數(shù)項為J。'=G。'，故C正確；

刀一r〉?l

D選項：令-3…，解得5,所以r可取m，27,共11項，故D錯.

故選：D.

16.“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學成

就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學巨著，對后世數(shù)學研究產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響.書中有如下問題：

“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面

的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則

這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺.

陽馬

心——B

A.4B.--c.138/rD.1287T

【答案】C

【分析】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，然后求外接球表面積即可.

如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，所以外接球的半徑為

"+_>/138

-，外接球的表面積S=4冗R'=138開.

故選：c.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必

要的步驟.

17.已知數(shù)列10J滿足：'%=1,=對一切正整數(shù)〃成立.

(1)證明：數(shù)列｛4?「％｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列的前〃項之和.

【答案】(1)證明見解析

e4"”1

瓦=—

(2)18318

【解析】

【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式求解出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和即可得到結(jié)

果.

【小問1詳解】

1,1

q=a,=1^2-n.=—

證明：2,A2,

1.?a.#a+4fl?=5a.u,對一切正整數(shù)〃成立，”eN,

即"一。.數(shù)列｛與“一、｝是以3"為首項，4為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

a..、-a--*21

由(1)知,

;.a.=("。、,)+(4-a.J++(a-a)+a=［：?+>+'+

q47+；=;(尸+】)

a-1(2+1)-1

當〃=1時，3.［滿足上式，

=-(2a-,+l)(?eN，)

綜上所述，43

⑴s…機」_L

設(shè)數(shù)列‘4’的前乙,項之和為，，則31-4=31818318.

18.平面向量而=Gsinx.co/x).5=(8SK_JJ),函數(shù)卜=-"“)=6n+~.

(1)求函數(shù)y=f的最小正周期；

xe[O.-],,

(2)若二，求產(chǎn)'的值域；

(3)在中，內(nèi)角48、c的對邊分別為＜7、5、c,已知a=1.?=",求

△4SC的面積.

【答案】(1)五

343

⑶2

【解析】

/(x)=V^sinf2x--

【分析】(1)利用數(shù)量積、二倍角公式和輔助角公式化簡得到'’V6),然后求最小正

周期即可；

(2)利用換元法和三角函數(shù)單調(diào)性求值域即可；

(3)利用余弦定理得到J然后利用三角形面積公式求面積即可.

【小問1詳解】

mn—3smxcosx--J3cosx=-sin2.r—小—cosJx——=-cJ3sinl（_、x-加y1——

/(x)=V3sm|2x--|

所以I6人

最小正周期為力.

【小問2詳解】

5兀

H=2x--xeu-v—

設(shè)6,L~」，不，

_nn'n1開］，兀［1.5^1./r,

揚啖在［6’2」上嚴格增,在L2—袁ksin—=—sin—=1

6」上嚴格減，、6）62,2，所

以J'=『7的值域為L-J.

【小問3詳解】

“)=6即加，

5=—

因為B為三角形內(nèi)角，所以3.

口4+c-1

COSD=-------------------=—1

2x?xc2,即廠-幺-3=0,解得。=3.

1……

所以△SBC的面積為？22.

19.如圖所示，在矩形ABC。中，，48=4,從二-1,E是CO的中點，。為AE的中點，以AE為折痕將

_/［二,2向上折起，使。點折到尸點，且尸「一六二’.

(1)求證：尸。上面A8CE；

(2)求AC與面尸48所成角d的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

x/5o^

(2)15.

【解析】

【分析】(1)取月「的中點尸，連”，PF,證明OFJ>BC,BCLPF,得到BC上面尸紗，從

而證明3(7_1_尸0,然后可得POU面45CE；

(2)作。G//5C交46于G,則，。3_L。尸，然后以點。為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量

求解即可.

【小問1詳解】

由題意，可得H4=EE,OA=OE,則尸。_L/E,

取BC的中點凡連。尸，R?,可得0FAB,所以。尸18C,

因為尸B=FC,BC1.PF,且尸90。尸=尸，所以平面尸。尸,

又因為尸。u平面月。尸，所以EC_LP°.

又由BC與AE為相交直線，所以尸平面上3「任.

【小問2詳解】

c

.r

作。G,“8。交,45'于3,則。G?L。尸

如圖建立空間直角坐標系，

則闿,TO)J(UO)C(T3O)/(O,O0),1?=(T4O),Q=(VL0),而=(O4O),

nXP=r+y+>/5^=0

設(shè)平面P45的法向量為方二n；二〕，則I小心.”工0,所以可取彳=("0.D,

qI/--JHXl2仃V^O

所以4C與面尸A5所成角6的正弦值1'〃R5.615.

x3+)，_1G

20.已知橢圓「：7V=1(a>b>0)的離心率為3,它的上頂點為A,左、右焦點分別為

尸?J0I,月工?山(常數(shù)c>0),直線"，他分別交橢圓「于點s,C.C為坐標原點.

(1)求證：直線3。平分線段工0；

(2)如圖，設(shè)橢圓廠外一點P在直線30上，點尸的橫坐標為常數(shù)內(nèi)(m>a),過戶的動直線,與橢

MPMQ

圓「交于兩個不同點時、N,在線段上取點°,滿足尸"G'J，試證明點。在直線

Jmv+-61=0j_

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

c-J3

【分析】(1)由離心率一。一3,將。，b均用c表示，求出直線"'的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得

點B坐標，即可得到直線3。的方程，根據(jù)橢圓的對稱性，求出點0的坐標，再證出工C中點在直線

3。上即可；

MP_MQ_

(2)設(shè)MlJJC和尸"QN，用線段定比分點坐標公式將P,。坐標表示出來,

并

代入？E1+=°,結(jié)合p的橫坐標為小和Al,N在橢圓上，進行運算證明即可.

【小問1詳解】

2333

由題意,3則a=,b-yja—c->]3c~c

Jr+y_[

.?.橢圓r方程為牙,即3+獷=&,，

,任■oc

上.=-----=V-￡-

...直線行的斜率‘°-LC,直線所'的方程為「一①―，

’2『+3y=6?..

45

聯(lián)立b'=Q("c'消去J,化簡得H+女A。，解得以=0,

B~~c

即點R的橫坐標為-，代入直線盟的方程，得V~

歷n

-丁-。岳

a=FT=亍肥

一一C-0j'=^-x

直線3。的斜率2，直線3。的方程為,3

BC-n

...由橢圓的對稱性知I"

又°|線段AC的中點坐標為、

氏3叵1，=正X

V344,...線段AC的中點在直線30：,上,

即直線30平分線段4c.

【小問2詳解】

設(shè)過點尸的直線，與橢圓r交于兩個不同點的坐標為

：M,"在橢圓F上，...八-V+3r;-6c:

MPMQMPMQ

,:PNQN,；.設(shè)PNQN,易知4>0,且，

則由己知，看訴=_甌質(zhì)-L京，

0（許+4與M+檢）

1-A*1-1J,11+A,1+1）

.??由線段定比分點坐標公式，有

;點尸的橫坐標為常數(shù)k（W>a）,

?尸鳥上以=當—=3（—

又...點P在直線30：.3上，...1-13,1-a

Q（.+4*2Jl+辦、］

將1+4'1+4J代入l+石叱r,得

2E+?，=2212^.

1-21+A1-A1+4

2（4-7X；）3（F；一?。唬?/p>

-pu5_+_