第五章-二次型練習(xí)題

PAGEPAGE1第五章二次型練習(xí)題一、填空題1．實(shí)二次型的矩陣為，秩為_(kāi)_，正慣性指數(shù)為，規(guī)范形為.2．兩個(gè)元實(shí)二次型等價(jià)的充分必要條件是．3．實(shí)數(shù)域上3階對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可分為類．任一三級(jí)實(shí)對(duì)稱與下列形式之一合同標(biāo)準(zhǔn)形合同：4．A正定．．．.5．某四元二次型有標(biāo)準(zhǔn)形，則其規(guī)范形為．6.復(fù)二次型的規(guī)范形由所唯一確定.7.實(shí)二次型的矩陣為．8.二次型的矩陣為.9．二次型是正定的充分必要條件是與滿足。10.是正定陣，則滿足條件__________________。11.實(shí)對(duì)稱階半正定矩陣的秩為，則二次型的規(guī)范形為。12實(shí)二次型的矩陣為。13.階實(shí)對(duì)稱矩陣正定，則二次型的規(guī)范形為。三、選擇題設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，二次型正定的充要條件是（）。（A）；（B）負(fù)慣性指數(shù)為0；（C）的所有主對(duì)角線上的元素大于0；（D）存在可逆矩陣，使設(shè)A是任意實(shí)矩陣，那么二次型必是（）．A、半正定；B、半負(fù)定；C、正定；D、負(fù)定；實(shí)方陣為正定陣,則下列結(jié)論正確的是()。A.B.C.D.不確定已知二次型通過(guò)正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形,則矩陣（）。A.正定B.半正定C.負(fù)定D.不定二次型的系數(shù)矩陣是（）時(shí)必是正定的。A.實(shí)對(duì)稱且主對(duì)角線上元素為正B.實(shí)對(duì)稱且順序主子式值都為正數(shù)C.實(shí)對(duì)稱且所有元素為正D.實(shí)對(duì)稱且行列式值為正數(shù)已知二次型通過(guò)非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形,則二次型（）。A.正定B.半正定C.負(fù)定D.不定三、判斷說(shuō)明題（先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡(jiǎn)述理由）1．元實(shí)二次型的符號(hào)差與秩有相同的奇偶性．2．階實(shí)對(duì)稱矩陣A若滿足，則A正定．3．A為階復(fù)對(duì)稱矩陣，則與合同．4．設(shè)A，B分別是階正定矩陣，則也是正定矩陣．5.設(shè)A、B為n階方陣，若存在n階方陣C，使，則A與B合同.6.若A為正定矩陣，則A的主對(duì)角線上的元素皆大于零.7．若A負(fù)定，則A的所有順序主子式全小于零.三、計(jì)算題1．用可逆線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．寫出所用的線性變換及變換矩陣，并求出的正慣性指數(shù)與符號(hào)差。2.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所作的非退化的線性替換．并回答下列問(wèn)題：（1）該二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)及符號(hào)差是多少？（2）該二次型在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的