2022-2023學(xué)年山西省晉城市第一職業(yè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省晉城市第一職業(yè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（） A． B． C． D． 參考答案：A2.在極坐系中點(diǎn)與圓的圓心之間的距離為()A.2

B.

C.

D.參考答案：D3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則＝(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A4.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）．A．

B．

C．

D．參考答案：B5.直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：A6.已知函數(shù),函數(shù)的最大值是2,其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列判斷正確的是(

)A.要得到函數(shù)f(x)的圖象，只需將的圖像向左平移個(gè)單位B.時(shí)，函數(shù)的最小值是-2C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增參考答案：D7.在正方體中，下列幾種說(shuō)法正確的是

（

）A、

B、

C、與成角

D、與成角參考答案：略8.已知命題p：x2+2x﹣3＞0；命題q：x＞a，且￢q的一個(gè)充分不必要條件是￢p，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣3]參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由p轉(zhuǎn)化到?p，求出?q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知x＜﹣3或x＞1，則?p為﹣3≤x≤1，?q為x≤a，又?p是?q的充分不必要條件，所以a≥1．故選：B．9.“直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的（

）條件.充要

充分非必要

必要非充分

既非充分又非必要參考答案：C略10.已知，，滿足，且的最大值是最小值的倍，則的值是A、 B、 C、 D、（

）參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則________________。參考答案：12.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為

.參考答案：略13.給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個(gè)命題：①若m?α，l∩α=A，點(diǎn)A?m，則l與m不共面；②若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥m；④若l?α，m?α，l∩m=點(diǎn)A，l∥β，m∥β，則α∥β．其中為真命題的是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】閱讀型．【分析】根據(jù)空間中異面直線的判定定理，線面垂直的判定方法，線線關(guān)系的判定方法，及面面平行的判定定理，我們對(duì)題目中的四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．【解答】解：m?α，l∩α=A，A?m，則l與m異面，故①正確；若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，在則α內(nèi)必然存在兩相交直線a，b使a∥m，b∥l，又由n⊥l，n⊥m，則n⊥a，n⊥b，∴n⊥α，故②正確；若l∥α，m∥β，α∥β，則l與m可能平行與可能相交，也可能異面，故③錯(cuò)誤；若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，則由面面平行的判定定理可得α∥β，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，其中熟練掌握空間中線面之間位置關(guān)系的定義、判定方法和性質(zhì)定理，建立良好的空間想像能力是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．14.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則

。參考答案：15.已知函數(shù)，則

參考答案：16.圓心是，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________;參考答案：略17..排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊(duì)每局比賽獲勝的概率分別為和．前2局中B隊(duì)以2:0領(lǐng)先，則最后B隊(duì)獲勝的概率為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a取值范圍；（Ⅲ）如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，證明：a＞．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以求出a的值，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案；（2）將函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'（x）＞0在R上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）根據(jù)x1，x2是g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，可以得到x1，x2是g′（x）=0的兩個(gè)根，根據(jù)關(guān)系，利用分析法，將證明不等式轉(zhuǎn)化為，即求的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)即可證得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切線方程為y=2x+b，則k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切點(diǎn)（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由題意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．設(shè)h（x）=ex﹣x，則h′（x）=ex﹣1．當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）、h（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）減函數(shù)極小值增函數(shù)∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)x1＜x2），∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2當(dāng)時(shí)，方程（*）不成立則，令，則由p′（x）=0得：當(dāng)x變化時(shí)，p（x），p′（x）變化情況如下表：xp（x）﹣﹣0+p′（x）單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，方程（*）至多有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程（*）若有兩個(gè)解，則所以，．19.（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足,

,（Ⅰ）計(jì)算出、、;（Ⅱ）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.參考答案：（Ⅰ）

------------------3分；

（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首項(xiàng)為5公差為6的等差數(shù)列

∴猜想數(shù)列

通項(xiàng)公式：---------------------5分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①

當(dāng)時(shí)，由題意可知，命題成立.②

假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，----6分那么，當(dāng)時(shí)，也就說(shuō)，當(dāng)時(shí)命題也成立----------------------------11分綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為-------------12分略20.已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．(Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2；(Ⅱ)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；(Ⅲ)求△AOB面積的最小值．參考答案：(Ⅰ)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，………2分即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.…………………4分(Ⅱ)設(shè)AB中點(diǎn)M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1).……………8分(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)，………………………10分當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2.

……………12分21.（本小題14分）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（Ⅰ）求圓方程；（Ⅱ）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，與圓相交于兩點(diǎn)，且使三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出直線的方程，若不存在用計(jì)算過(guò)程說(shuō)明理由.

參考答案：（Ⅰ）過(guò)切點(diǎn)且與垂直的直線為，即.（1分）與直線聯(lián)立可求圓心為，

………（2分）所以半徑所以所求圓的方程為.

…………（4分）（Ⅱ）設(shè)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱∴

………（5分）注意：若沒(méi)證明，直接得出結(jié)果，不扣分.1.當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，同時(shí)令代人圓方程得，所以，所以滿足題意，此時(shí)方程為.

……………（8分）2.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

，即

圓心到直線的距離，…………（9分）設(shè)的中點(diǎn)為,連接，則必有,在中，所以,…………………（10分）而原點(diǎn)到直線的距離為，所以，

……………（12分）整理得，不存在這樣的實(shí)數(shù).

綜上所述，所求的直線方程為.……………………（14分）22.已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，如圖，且，|BC|=2|AC|．（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使∠PCQ的平分線垂直AO，則總存在實(shí)數(shù)λ，使，請(qǐng)給出證明．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓的方程為：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入求出b2的值后，可得橢圓的方程．（2）設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為﹣k，聯(lián)立PC與橢圓方程，結(jié)合C在橢圓上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由對(duì)稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，可得kAB=，即kPQ=kAB，即與共線，再由向量共線的充要條件得到答案．【解答】解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（2，0），設(shè)所求橢圓的方程為：=4（0＜b＜1），由橢圓的對(duì)稱性知|OC|=|OB|，由?=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐標(biāo)為（1，1），∵C點(diǎn)在橢圓上∴=4，∴b2=，所求的橢圓方程為x2+3y