9月修訂版全國各地中考數學分類解析總匯-考點40-動態(tài)問題

動態(tài)問題

一?選擇題

1.(?山東德州，第12題3分)如圖,平面直角坐標系中，A點坐標為(2,

2),點P(m,n)在直線y=-x+2上運動，設aAPO的面積為S,

則下面可以反映S與m的函數關系的圖象是()

考點:。動點問題的函數圖象..[來&源?八：@中教網*]

分析：根據題意得出臨界點P點橫坐標為1時,△APO的面積為0,

進而結合底邊長不變得出即可.

解答：。解:二,點P(m,n)在直線y=-x+2上運動，

.,.當m=l時,n=1,即P點在直線AO上，此時S=0,

當0<m<l時，SNPO不斷減小，當m>l時,SAAP。不斷增大,且底邊

AO不變，故S與m是一次函數關系.

故選：B.[中國*教育八#&出版網％]

點評：。此題重要考察了動點問題的函數圖象，根據題意得出臨界點

是解題核心.

2.（?山東萊蕪，第11題3分）如圖，在矩形ABCD中,AB=2a,AD

=Q,矩形邊上一動點P沿A-B-C-D日勺途徑移動.設點P通過的途

徑長為x,PD2=y,則下列能大體反映y與x的函數關系的圖象是

考點：動點問題的函數圖象..

分析：根據題意，分三種狀況：(1)當。&tw2cl時；(2)當2a<t

w3cl時；(3)當3a<tw5cl時；然后根據直角三角形中三邊的關系,

判斷出y有關x的函數解析式，進而判斷出V與x的函數關系日勺圖象

是哪個即可.

解答：解：⑴當0&Y2a時，

,/PD2=AD2+AP2,AP=x,[As%~@tep#.com]

/.y=x2+a2.

(2)當2a<t<3a時，[來@八源?:中國教育#出版網％]

CP=2a+a-x=3a-x,

■：PD2=CD2+CP2,

y=(3a-x)2+(2a)2=x2-6ax+13a2.

⑶當3ci<t<5a時，

PD=2a+a+2a-x=5a-x,[來源：?#中八&教*網]

1/PD2=y,

/.y=(5a-x)2=(x-5a)2,

x2+a^,04x《2a

綜上，可得y=x2-6ax+l3a2,2a<x<3a

(x-5a)2,3a<x<5a

「?能大體反映y與x的函數關系的圖象是選項D中的圖象.

故選：D.

點評：（1）此題重要考察了動點問題日勺函數圖象，解答此類問題時

核心是通過看圖獲取信息，并能解決生活中的實際問題，用圖象解決

問題時，要理清圖象的含義即學會識圖.

⑵此題還考察了直角三角形的性質和應用，以及勾股定理時應用，要

純熟掌握.

3.（?本溪，第1。題3分）如圖，在4ABC中,NC=90°,點P是

斜邊AB的中點，點M從點C向點A勻速運動，點N從點B向點C

勻速運動，已知兩點同步出發(fā)，同步達到終點，連接PM、PN、MN,在

整個運動過程中,△PMN的面積S與運動時間t時函數關系圖象大

體是（）

考點：動點問題的函數圖象.

分析：一方面連接CP,根據點P是斜邊AB日勺中點，可得SAACP=S-CP

=SAABC；然后分別求出出發(fā)時;點N達到BC日勺中點、點M也達到AC

的中點時；結束時,△PMN的面積S日勺大小，即可推得aMPQ的面

積大小變化狀況是：先減小后增大，并且是以拋物線的方式變化，據

此判斷出aPMN的面積S與運動時間t日勺函數關系圖象大體是哪個

即可.

解答：解:如圖1,連接CP,

.?.點P是斜邊AB的中點,

?''△ACP二S/\BCP=SAABC,

出發(fā)時，S△PMN=SABCP~SAABC/

???兩點同步出發(fā)，同步達到終點，

???點N達到BC附中點時，點M也達到AC日勺中點，

-,■SAPMN=SAABC/

結束時，$△PMN=S/\ACP=SaABC,

△MPQ的面積大小變化狀況是：先減小后增大，并且是以拋物線的

方式變化，

.?.△PMN的面積S與運動時間t時函數關系圖象大體是：

故選：A.

點評：此題重要考察了動點問題的函數圖象，要純熟掌握，解答此題

的核心是要明確：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，

通過看圖獲取信息,不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分

析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會

識圖.

4.（?營口，第1。題3分）如圖，點P是/AOB內任意一點QP=5cm,

點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點,4PMN周長時最

小值是5cm,則/AOB時度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

考點：軸對稱-最短路線問題.

分析：分別作點P有關OA、OB日勺對稱點C、D,連接CD,分別

交OA、OB于點M、N,連接OC、ODsPM、PN、MN,由對稱的

性質得出PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA;PN=DN,OP=OD,

ZDOB=ZPOB,得出/人03=1/00口,證出400口是等邊三角

2

形，得出NCOD=60。，即可得出成果.

解答：解：分別作點P有關。A、。8時對稱點＜2、D,連接CD,

分別交OA、OB于點M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,

如圖所示：

???點P有關OA時對稱點為C,有關OB時對稱點為D,

/.PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA;

???點P有關OB時對稱點為D,

「.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

.-.OC=OP=OD,ZAOB=1ZCOD,

2

1??APMN周長時最小值是5cm,

/.PM+PN+MN=5,

」.CM+DN+MN=5,

即CD=5=OP,

.*.OC=OD=CD,

即aocD是等邊三角形，

/.ZCOD=60°,

.-.ZAOB=30°;

故選:B.

B

點評：本題考察了軸對稱的性質、最短路線問題、等邊三角形的鑒定

與性質;純熟掌握軸對稱的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題

的核心.

5.（3分）（?桂林）（第12題）如圖,在等邊4ABC中,AB=10,B

D=4,BE=2,點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連接PD,以PD為

邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF,當點P從點E運動到點A

時，點F運動日勺途徑長是（）

C.3n。D.5。n

考點:。軌跡.

專項：計算題.

分析：。連結DE,作FH1BC于H,如圖，根據等邊三角形日勺性質

得/B=60°,過D點作DE'1AB,貝IJBE'=』BD=2,則點E'與點

2

E重疊，因此/BDE=30°,DE=?BE=2b，接著證明4DPE會

△FDH得到尸^4=口￡=2丑,于是可判斷點尸運動日勺途徑為一條線段,

此線段到BC時距離為2炳,當點P在E點時,作等邊三角形DEF1,則

DFJBC,當點P在A點時,作等邊三角形DAF2,作F2Q1BC于Q,則

△DFzQgaADE,因此DQ=AE=8,因此F,F2=DQ=8,于是得

到當點P從點E運動到點A時，點F運動的途徑長為8

解:連結DE,作FH1BC于H,如圖，

?「△ABC為等邊三角形，

/.ZB=60°,

過D點作DE'1AB,則BE'=1BD=2,

2

???點E'與點E重疊，

/.ZBDE=30°,DE=FBE=2?,

.「△DPF為等邊三角形，

.-.ZPDF=60°,DP=DF,

.-.ZEDP+ZHDF=90°,

HDF+/DFH=90°,

??./EDP=/DFH,

在4DPE和△FDH中，

，ZPED=ZDHF

?NEDP=/DFH，

DP=FD

.'.△DPE^AFDH,

...FH=DE=2?,

???點P從點E運動到點A時，點F運動的途徑為一條線段，此線段到

BC日勺距離為2M,

當點P在E點時,作等邊三角形DE%,/BDF1=3O°+60°=9

0°,則DF」BC,

當點P在A點時,作等邊三角形DAF2,作F2QIBC于Q,則aDFaQ

會Z\ADE,因此DQ=AE=10-2=8,

F]F2=DQ—8,

當點P從點E運動到點A時，點F運動的途徑長為8.

點評:。本題考察了軌跡：點運動的途徑叫點運動的軌跡，運用代數或

幾何措施擬定點運動的規(guī)律.也考察了等邊三角形日勺性質和三角形全

等的鑒定與性質.

6.（?甘肅天水，第9題,4分）如圖,AB為半圓所在。。的直徑，弦

CD為定長且不不小于。O的半徑（C點與A點不重疊），CF1CD

交AB于點F,DE1CD交AB于點E,G為半圓弧上的中點.當點C

在眾上運動時，設竟時長為x,CF+DE=y.則下圖象中,能表達y與

x的函數關系的圖象大體是（）

考點：動點問題的函數圖象.

分析：根據弦CD為定長可以懂得無論點C怎么運動弦CD的弦心距

為定值，據此可以得到函數日勺圖象.

解答：解：作0H1CD于點H,

「.H為CD的中點,

,「CF1CD交AB于F,DE1CD交AB于E,

二?OH為直角梯形日勺中位線，

???弦CD為定長，

「.CF+DE=y為定值，

故選B.

點評：本題考察了動點問題的函數圖象，解題的核心是化動為靜.

7.（?黃石第1。題,3分）如圖是自行車騎行訓練場地日勺一部分，半圓

。日勺直徑AB=100,在半圓弧上有一運動員C從B點沿半圓周勻

速運動到M（最高點），此時由于自行車故障原地停留了一段時間，修

理好繼續(xù)以相似的速度運動到A點停止.設運動時間為t,點B到直

線OC的距離為d,則下圖象能大體刻畫d與t之間的關系是（）

M

考點：動點問題的函數圖象.

分析：設運動員C的速度為v,則運動了t的路程為vt,設NBOC=a,當點C從運動到M

時，當點C從M運動到A時，分別求出d與t之間的關系即可進行判斷.

解答：解：設運動員C的速度為v,則運動了t的路程為vt,

設NBOC=a,

當點C從運動到M時，

一a?打?505兀a

18018

.18Vt

?■U---------,

5兀

在直角三角形中，d=5Osina=50sin1=50sin.l0°Yt,

5兀K

，d與t之間的關系d=50sin翦匕，

K

當點C從M運動到A時,d與t之間日勺關系d=50sin（180-"%）,

K

故選C.

點評：本題考察的是動點問題的函數圖象，熟知圓的特點是解答此題的核心.

8.（?煙臺，第12題3分）如圖,R7ZABC,NC=90",N3AC=30",AB=8,

覺得2行邊長日勺正方形DEFG的一邊GD在直線AB上，且點D與點

A重疊。現將正方形DEFG沿A-B的方向以每秒1個單位的速度勻

速運動，當點D與點B重疊時停止，則在這個運動過程中，正方形

DEFG與/ABC的重疊部分的面積S與運動時間r之間的函數關系

圖像大體是（）

考點:函數圖像運動型問題

分析:【解析】

FE

(l)AD=t,DM=-,S=-Z2(0<t<2>^)；

236

(2)26Wt<6,AD=t,DM=,AG=t-2技GN=T(t-2^);

6a6

t-2V3)2=2t-273

s=s△AMD-SAANG=------1---------

66

⑵6WtW8,AG=t-2jLGN=

BD=8-t,DM=6BD=(8—。

GP=AP-AG=6+2V3-t

PD=PB-BD=t-6

S=S梯形NGPC+S梯形MDPC--)(6+273-t)+-(6(8-1)

22

+2y/3)(t-6)—一種一次函數

AGPDB

解答：故選A

點評：這是一道函數圖像綜合題。它結合了運動型問題，運用面積構建函數，在不同運動狀態(tài)下形

成不同形式的函數形式，體現了數學中的分類思想和數形結合思想，這道題綜合性較強，具

有較好的辨別度。

9.（?江蘇鹽城，第8題3分）如圖，在邊長為2日勺正方形ABCD

中剪去一種邊長為1的小正方形CEFG,動點P從點A出發(fā)，沿

A-D->E-F-G-B日勺路線繞多邊形的邊勻速運動到點B時停止

（不含點A和點B）,則4ABP的面積S隨著時間t變化的函數圖象大

體是（）

考點：動點問題的函數圖象.

分析：根據點P在AD、DE、EF、FG、GB上時,Z\ABP日勺面積S與

時間t的關系擬定函數圖象.

解答：解：當點P在AD上時，^ABP的底AB不變，高增大，因此

△ABP日勺面積S隨著時間t時增大而增大；

當點P在DE上時,4ABP的底AB不變，高不變，因此4ABP的面積

S不變；

當點P在EF上時，4ABP的底AB不變，高減小，因此4ABP日勺面積

S隨著時間t日勺減?。?/p>

當點P在FG上時,4ABP時底AB不變，高不變，因此4ABP的面

積S不變；

當點P在GB上時，4ABP的底AB不變,高減小，因此4ABP的面

積S隨著時間t日勺減?。?/p>

故選:B.

點評：本題考察的是動點問題的函數圖象，對的分析點P在不同的線

段上△ABP的面積S與時間t時關系是解題日勺核心.

二.填空題

1.(-湖北省潛江市、天門市、仙桃市、江漢油田第15題3分)

菱形ABCD在直角坐標系中的位置如圖所示,其中點A的坐標為(1,

0),點B的坐標為(0,?),動點P從點A出發(fā)，沿A-B-C->D-A-

B-…的途徑,在菱形的邊上以每秒0.5個單位長度的速度移動，移

動到第秒時，點P的坐標為(05..

考點：菱形的性質；坐標與圖形性質.

專項：規(guī)律型.

分析：先根據勾股定理求出菱形的邊長，再根據點P的運動速度求出沿A1B玲C3D玲A所需

的時間，進而可得出結論.

解答：解:A(l,0),B(0,5/3),

AB="+g..

?.?點P的運動速度為0.5米/秒，

.1.從點A到點B所需時間=，_=4秒，

0.5

?1?沿AfB3c玲DfA所需的J時間=4x4=16秒.

也至=125...15,

16

移動到第秒時，點P正好運動到AD的中點，

P（0.5,-苧.

故答案為：（0.5,-夸）.

點評：本題考察的是菱形的性質，根據題意得出點P運動一周所需的時間是解答此題的核心.

2.（■湖北省咸寧市，第16題3分）如圖，已知正方形ABCD的

邊長為2,E是邊BC上的動點，BF1AE交CD于點F,垂足為G,

連結CG.下列說法：①AG>GE;②AE=BF;③點G運動的途徑

長為n;④CG的最小值為G-1.其中對時的說法是一②③.（把你覺

得對時時說法的序號都填上）

考點：四邊形綜合題.

分析：根據正方形對角線的性質可得出當E移動到與C重疊時,AG=GE,故①錯誤;求得

NBAE=NCBF,根據正方形的性質可得AB=BC,NABC=NC=90。，然后運用“角角

邊”證明△ABE和△BCF全等，根據全等三角形相應角相等可得AE=BF,判斷出②

對的；根據題意，G點的軌跡是以A為圓心以AB長為半徑的圓弧BD的長，然后求出

弧BD的長度，判斷出③對的；正方形的對角線減去圓弧的半徑就是CG的最小值，

通過計算從而判斷出④錯誤.

解答：解:,?,在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，

???當E移動到與C重疊時,AG=GE,故①錯誤；

,/BFXAE,

/.ZAEB+ZCBF=90°,

ZAEB+ZBAE=90°,

ZBAE=ZCBF,

在4人8￡和4BCF中，

'NBAE=/CBF

<ZABE=ZBCF=90°，

AB=BC

△ABE合△BCF（AAS）,

故②對的；

根據題意，G點的軌跡是以A為圓心以AB長為半徑的圓弧BD的J長，

圓弧BD的長=四2注_2?=（故③對啊

360_

CG的I最小值為AC-AB=4A/2-2,故④錯誤；

綜上所述，對的的I結論有②③.

故答案為②③.

點評：本題考察了正方形的性質,全等三角形的鑒定與性質，弧長的計算，勾股定理的應用，

熟記性質并求出4人8￡和4BCF全等是解題的核心,用阿拉伯數字加弧線表達角更形象

直觀.

3.（?湘潭，第15題3分）如圖，將aABC繞點A順時針旋轉60°得

到aAED,若線段AB=3，則BE=3.

A

考點：旋轉的性質.

分析：根據旋轉的性質得出NBAE=6（T,AB=AE,得出△BAE是等邊三角形，進而得出BE

=3即可.

解答:解：：將△ABC繞點A順時針旋轉60。得到△AED,

ZBAE=60°,AB=AE,

ABAE是等邊三角形，

BE=3.

故答案為：3.

點評：本題考察旋轉的性質，核心是根據旋轉變化前后，相應線段、相應角分別相等，圖形

的大小、形狀都不變化.要注意旋轉的三要素：①定點-旋轉中心；②旋轉方向;③

旋轉角度.

4.（?永州，第16題3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐

標（—2,0）,△ABO是直角三角形，/AOB=60°.現將RtZXA

BO繞原點O按順時針方向旋轉到RtAAzB'O的位置，則此時

考點：扇形面積的計算；坐標與圖形性質；旋轉的性質.

分析：根據點A的坐標（-2,0）,可得0A=2,再根據含30。的直角三角形的性質可得OB的長,

再根據性質的性質和扇形的面積公式即可求解.

解答:解:..?點A的坐標（-2,0）,

/.0A=2,

---△ABO是直角三角形，ZAOB=60。，

ZOAB=30",

OB=1OA=1,

2

邊。B掃過的面積為：90X71X12=ln.

3604

故答案為:工兀

4

點評：本題考察了扇形的面積公式:其中n為扇形的圓心角的度數，R為圓的半

360

徑），或S=」R,1為扇形的弧長,R為半徑.

2

5.（浙江衢州16,4分）如圖，已知直線y=—：x+3分另交無軸、y

軸于點AsB.P是拋物線y=+2x+5上日勺一種動點，其橫坐標為a,

過點P且平行于y軸的直線交直線y=-3+3于點。，則當PQ=8Q

4

時，。時值是▲

【答案】4或-1或4+26或4-2后.

【考點】二次函數與一次函數綜合問題；單動點問題，曲線上點時坐

標與方程的關系；勾股定理；分類思想和方程思想的應用.

【分析】根據題意，設點P的坐標為,-$2+24+5),則

-]a+3).

3

在y=-jx+3令x=0得y=3.B（0,3）.

,/PQ=BQ

-2?2+ll?+8=5p|.

由-2a-+1la+8=5。解得a=4或a=—1.

由-+1la+8=—5a彳導a=4+2-$/5或。=4-2-s/5.

綜上所述，a時值是4或-1或4+2君或4-

三.解答題

1.(?宜昌，第21題8分)如圖,已知點A(4,0),B(0,4正)，把

一種直角三角尺DEF放在aOAB內，使其斜邊FD在線段AB上，

三角尺可沿著線段AB上下滑動.其中/EFD=30°,ED=2,點G

為邊FD的中點.

(1)求直線AB日勺解析式；

(2)如圖1,當點D與點A重疊時，求通過點G時反比例函數y=X

X

(k*0)的解析式;

(3)在三角尺滑動的過程中，通過點G時反比例函數的圖象能否同步

通過點F?如果能，求出此時反比例函數的解析式；如果不能,闡明理

考點：反比例函數中的動態(tài)綜合型問題.

分析：(1)設直線ABrJ解析式為丫=|?+加把點A、B的坐標代入，構成方程組，解方程組

求出k、b時值即可;

(2)由RSDEF中，求出EF、DF,在求出點D坐標,得出點F、G坐標，把點G坐標

代入反比例函數求出k即可；

(3)設F(t,一心+4遂)，得出D、G坐標，設過點G和F的反比例函數解析式

為丫=里用待定系數法求出t、m,即可得出反比例函數解析式.

X

解答：解：(1)設直線AB的解析式為尸kx+b,

A(4,0),B(0,473),

f4k+b=0

解得:

b=4y/3

二直線AB的解析式為：y=-J§x+4F；

(2)1?在RtADEF中,ZEFD=30°,ED=2,

EF=2A/3,DF=4,

.?,點D與點A重疊，

D(4,0),

F(2,2?),

G(3,&),

反比例函數y=X通過點G,

X

k=35/3,_

???反比例函數的解析式為：y=";

x

(3)通過點G的反比例函數的圖象能同步通過點F;理由如下：

?.?點F在直線AB上，

???設F(t,-遮t+4后，

又：ED=2,

D(t+2,-V3t+2\/3)>

?.?點G為邊FD的J中點.

G(t+1,-心+3?),

若過點G口勺反比例函數的圖象也通過點F,

設解析式為y=工，

X

'-收+加號

則，

-73t+4V3=Y

整頓得：(-731+373)(t+1)=(-?1+4加)t,

解得：t=W

2

.m.15V3

4

二通過點G的反比例函數的圖象能同步通過點F,這個反比例函數解析式為：y

-15V3

一.

4x

點評：本題是反比例函數綜合題目，考察了用待定系數法求一次函數的解析式、求反比例函

數的解析式、坐標與圖形特性、解直角三角形、解方程組等知識;本題難度較大，綜合

性強，用待定系數法擬定一次函數和反比例函數的解析式是解決問題的核心.

2.(?湘潭，第26題10分)如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸

于A(-1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C,連接BC,動點P以每秒

1個單位長度日勺速度從A向B運動，動點Q以每秒加個單位長度日勺速

度從B向C運動,P、Q同步出發(fā)，連接PQ,當點Q達到C點時,P、

Q同步停止運動，設運動時間為t秒.

(1)求二次函數的解析式；

(2)如圖1,當aBPQ為直角三角形時，求t時值；

⑶如圖2,當t<2時，延長QP交y軸于點M,在拋物線上與否存在

一點N,使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與

t時值;若不存在，請闡明理由.

考點：二次函數中動點綜合題.

分析：(1)根據二次函數y=x2+bx+c的圖象通過A(-1,O)、B(3,0)兩點,應用待定系數

法，求出二次函數歐I解析式即可.

(2)一方面根據待定系數法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點P、點Q/J

坐標各是多少;然后分兩種狀況:①當NQPB=90。時；②當NPQB=90。時;根據等腰

直角三角形的性質，求出t『、J值各是多少即可.

(3)一方面延長MQ交拋物線于點N,H是PQ的中點，再用待定系數法，求出PQ所

在的直線的解析式，然后PQH勺中點恰為MN的中點，判斷出與否存在滿足題意的點N

即可.

解答：解：(1),??二次函數y=x，bx+c的圖象通過A(-1,0)、B(3,0)兩點，

fl-b+c=O

,9+3b+c=0

解得產T

c=-3

???二次函數的解析式是:y=x2-2x-3.

(2)/y=x2-2x-3,

二點C的坐標是(0,-3),

BC=V(3-0)2+[0-(-3)]

設BC所在出J直線W、J解析式是:y=mx+n,

則產"0,

[n=-3

解得產1.

[n=-3

二BC所在的直線的解析式是：y=x-3,

???通過t秒,AP=t,BQ=。，

，點P歐J坐標是(t-1,0),

設點Q的坐標是(x,y),

OB=OC=3,

/.ZOBC=ZOCB=45°,

則y=\^txsin45°=&tx^=t,

BP=^/2tXcos45°=V^txJ^=t,

點QH勺坐標是(3-t,t),

當NQPB=90。時,

點P和點Q口勺橫坐標相似，

點P的坐標是(t-1,0)，點Q的坐標是(3-t,t),

t-1=3-t,

解得t=2,

即當t=2時，△BPQ為直角三角形.

②如圖2,

當NPQB=90。時，

---ZPBQ=45",

Bp=&BQ

BP=3-(t-1)=4-t,BQ=V2t,

.--4-t=V2XV2t

即4-t=2t,

解得t=§,

3

即當t4時,△BPQ為直角三角形.

3

綜上，可得

當小BPQ為直角三角形,t=,或2.

3

(3)如圖3,延長MQ交拋物線于點N,H是PQ/J中點,

設PQ所在的I直線的解析式是y=cx+d,

,??點P歐I坐標是(t-1,0)，點QH勺坐標是(3-t,t),

'c(t-1)+d=0

c(3-t)+d=t

c=4-2t

解得,

PQ所在的直線的解析式是y=_2_x+匚二

4-2t4-2t

+-t2

???點M%J坐標是（0,----）

4-2t

..t-l+3-tt+0t

------2一口’

，PQ肚I中點H肚J坐標是

假設PQ歐）中點恰為MN的中點,

22

尹2f"

???點N的坐標是（2/t二亡一）,

4-2t

又,??點N在拋物線上，

解得t=倔-3或5回（舍去）,

22

??斤3J-3

22

當t<2時，延長QP交y軸于點M,在拋物線上不存在一點N,使得PQ的中點恰為

MN的J中點.

點評:（1）此題重要考察了二次函數綜合題,考察了分析推理能力，考察了分類討論思想的

應用，考察了數形結合思想的應用，考察了從已知函數圖象中獲取信息，并能運用獲取

的信息解答相應的問題的能力.

（2）此題還考察了等腰三角形的性質和應用，考察了分類討論思想的應用，要純熟掌

握，解答此題的核心是要明確：①等腰三角形的兩腰相等.②等腰三角形的兩個底角

相等.③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重疊.

（3）此題還考察了待定系數法求函數解析式rJ措施，要純熟掌握.

3.(?永州，第26題10分)已知拋物線y=cix2+bx+c日勺頂點為(1,

0),與y軸的交點坐標為(0,l).R(Ll)是拋物線對稱軸I上的一

4

點.

(1)求拋物線y=ax2+bx+c日勺解析式；

(2)若P是拋物線上的一種動點(如圖一)，求證:點P到R時距離

與點P到直線y=-1時距離恒相等；

(3)設直線PR與拋物線日勺另一交點為Q,E為線段PQ時中點，過點

P、￡、0分別作直線丫=-1的垂線.垂足分別為M、F、N(如圖二).

求證：PF1QF.

考點：二次函數動點綜合題.

專項：計算題.

分析：(1)設頂點式y=a(x-1)2,然后把(0,」代入求出a即可；

4

(2)根據二次函數圖象上點的坐標，設P(x,2x-1產)，易得PM=J：(x-1產+1,然后

44

運用兩點區(qū)I距離公式計算PR,得到PR2=(x-1)2+[1(x-1)2-1]2,接著根據完

全平方公式變形可得PR2=[*-1)，1][則PR=l(x-1)2+1,因此PR=PM,于是可

判斷點P到R的距離與點P到直線y=-1歐I距離恒相等；

(3)根據(2)的結論得到得QN=QR,PR=PM,則PQ=PR=QR=PM+QN,再證明EF為

梯形PMNQ的J中位線，因此EF=1(QN+PM),則EF=1PQ=EQ=EP,根據點與圓及I

22

位置關系得到點F在以PQ為直徑的圓上，則根據圓周角定理得NPFQ=90。，即有

PF±QF.

解答：(1)解：設拋物線解析式為y=a(x-1)2,

把(0,當代入得a=L

44

因此拋物線解析式為y=1(x-1)2；

4

(2)證明:如圖1,設P(x,l(x-1)2),則PM=l(x-1)2+1,

44

PR2=(x-l)2+[J：(x-1)2-1]2=(x-1)2+[A(X-1)]4-l(x-1)2+1=[1(X-

4424

l)]4+l(x-1)2+l=[l(x-1)2+1]2,

/.PR=1（x-1）2+1，

4

PR=PM,

即點P到R的距離與點P到直線y=-1時距離恒相等;

(3)證明:由(2)得QN=QR,PR=PM,

,PQ=PR=QR=PM+QN,

EF±MN,QN±MN,PM±MN,

而E為線段PQ的中點，

AEF為梯形PMNQ悵I中位線，

EFJ(QN+PM),

2

EFJPQ,

2

EF=EQ=EP,

.,.點F在以PQ為直徑的圓上，

ZPFQ=90°,

PF±QF.

1

4-

X

圖一圖二

點評：本題考察了二次函數綜合題:純熟掌握二次函數圖象上點的坐標特性和梯形的中位線

性質；理解坐標與圖形性質;會運用待定系數法求二次函數解析式和運用兩點間的距離

公式計算線段的長.要充足運用（2）的結論解決（3）中的問題.

4.（?聊城，第25題12分）如圖，在直角坐標系中，RtaOAB時直

角頂點A在x軸上,OA=4,AB=3.動點M從點A出發(fā)，以每秒I個

單位長度的速度，沿AO向終點。移動；同步點N從點O出發(fā)，以每

秒1.25個單位長度日勺速度，沿OB向終點B移動.當兩個動點運動了x

秒(0<x<4)時，解答下列問題：

(1)求點N的坐標(用含x時代數式表達)；

(2)設△OMN日勺面積是S,求S與x之間的函數體現式;當X為什

么值時，S有最大值？最大值是多少.？

(3)在兩個動點運動過程中，與否存在某一時刻，使aOMN是直角三

角形？若存在，求出x時值;若不存在,請闡明理由.

考點：相似形綜合題.

分析：(1)由勾股定理求出0B,作NP_L0A于P,則NPHAB,得出△OPN-△OAB,得出比例

式典求出Op、pg即可得出點N的坐標；

ABOA0B

(2)由三角形的面積公式得出S是x的二次函數，即可得出S的最大值；

(3)分兩種狀況：①若NOMN=90。,則MNIIAB,由平行線得出△OMN-&OAB,得出

比例式，即可求出x的值；

②若NONM=90。,則NONM=NOAB,證出AOMNS△OBA,得出比例式，求出X的值

即可.

解答：解：(1)根據題意得:MA=xQN=1.25x,

在Rt△OAB中，由勾股定理得：oB=7OA2+AB2=V42+32=5,

作NPJ_OA于P,如圖1所示：

則NPIIAB,

/.AOPN-AOAB,

.PN_QP_Qhl

一AB=OA-OB

即PN=OP=1.25x

4~5

解得：OP=x,PN=2T，

4

.,.點NK'J坐標是(x,—x)；

4

(2)在40MN中,0M=4-x,。M邊上W、J高PN=^Y,

4

S=loM?PN=l(4-x)?2丫=-衛(wèi)x2+2,

22482

r.S與x之間的I函數體現式為S=-Jx2+Jx(0<x<4),

82

配方得：S=-至(x-2)2+4

82

1/-.?<0,

8

AS有最大值，

當x=2時，S有最大值，最大值是上

2

(3)存在某一時刻，使4OMN是直角三角形，理由如下:

分兩種狀況：①若NOMN=90。，如圖2所示：

則MNIIAB,

1H^1OM=4-X,ON=1.25X,

???MNIIAB,

△0MN-△OAB,

.QM_QN

"OA^OB'

即匕

4一5

解得：x=2；

②若NONM=90。，如圖3所示：

則NONM=ZOAB,

此時0M=4-x,ON=l.25x,

ZONM=NOAB,ZMON=ZBOA,

△OMN-△OBA,

-.---O--M=-O--N-/

OBOA

即4-x325x,

5-4

解得:x=昌;

41

綜上所述:x的值是2秒或包秒.

41

點評：本題是相似形綜合題目，考察了相似三角形的鑒定與性質、勾股定理、坐標與圖形特

性、直角三角形的性質、三角形面積的計算、求二次函數的解析式以及最值等知識；

本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中,需要進行分類討論，通過證明三角形相似才

干得出成果.

5.（江蘇淮安第28題）如圖，在RtZ\ABC中"ACB=90°,A

C=6,BC=8。動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

AB向點B勻速運動；同步，動點N從點B出發(fā),以每秒3個單位長

度的速度沿BA向點A勻速運動。過線段MN附中點G作邊AB時

垂線，垂足為點G,交△ABC的另一邊于點P,連接PM、PN,當點N

運動到點A時，M、N兩點同步停止運動，設運動時間為t秒。

。）當t=秒時，動點M、N相遇；

（2）設4PMN日勺面積為S,求S與t之間的函數關系式;

（3）取線段PM的中點K,連接KA、KC,在整個運動過程中，^KAC

的面積與否變化？若變化，直接寫出它日勺最大值

和最小值;若不變化，請闡明理由。

【答案】見解析

【命題立意】考察了動點問題，二次函數的最值問題

6.(江蘇連云港第24題10分)已知如圖，在平面直角坐標系X。

中,直線片\R(3)x-2黃■與x軸、y軸分別交于43兩點，P

是直線上一動點，。尸日勺半徑為1.

【思路分析】(1)判斷點與圓的位置關系，須明確點與圓的三種位置

關系與數量關系的轉換。須求出點o到直線AB的距離，先求出

點A、B的坐標，然后可運用三角函數或相似形或面積法求出

AB邊上時高即可。

(2)求弧長，須明確弧長公式浜錯誤!，根據公式須求出劣弧所對日勺圓心

角時度數,代入公式即可求理。根據題意，存在兩種位置關系,分別討

論，畫出圖形，由(1)容易求出圓心角日勺度數。

(3)畫出相應圖形，討論存在兩種位置關系，分別在x軸日勺上方和下

方。由PD=1,,易求出AD的長，根據OA=2,求出

OD時長。

【答案】(1)由直線片8的函數關系式片錯誤!X-2錯誤!，得其與兩坐標

軸交點?(2,0),B(0,-2我

在直角△0/8中，tan/084=錯誤三錯誤!，/(934=3。°.

如圖1,過點。作OH1AB交AB于煎H。

在△03"中，OH=OB-sfBA=p

\R(3)>1原點。在。尸

外3分

(2)如圖2,當。尸過點8點戶在y軸右側時，。尸被y軸所截得時

劣弧所對圓心角為120°.

「?弧長為錯誤尸錯誤!.

同理，當。尸過點8,點尸在y軸左側時，弧長同樣為錯誤!.

因此當。尸過點8,。戶被y軸所截得時劣弧長為

錯誤!..........................6分

(3)如圖3,當。戶與x軸相切，且位于x軸下方時,設切點為。.

在直角△。/4戶中,/。=?ton/。尸/=1xtan30°=

錯誤!.

此時。點坐標為(2-\F(\R(3),3),

0)............................................8分

當。尸與x軸相切，且位于x軸上方時，根據對稱性可以求出切

點坐標(2+