最小二乘法與曲線擬合

關(guān)于最小二乘法與曲線擬合

如果已知函數(shù)f(x)在若干點xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來建立插值多項式作為f(x)的近似。但在科學(xué)實驗和生產(chǎn)實踐中，往往會遇到這樣一種情況，即節(jié)點上的函數(shù)值并不是很精確的，這些函數(shù)值是由實驗或觀測得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無誤地通過所有的點(xi,yi),就會使曲線保留著一切測試誤差。最小二乘法與曲線擬合第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構(gòu)造一個近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過所有的數(shù)據(jù)點，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，如圖5-7所示。圖5-7曲線擬合示意圖

第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天也就是說擬合函數(shù)在xi處的偏差(亦稱殘差）

不都嚴(yán)格地等于零。即為矛盾方程組。曲線擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過所有數(shù)據(jù)點

但是,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢,要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記向量即要求向量的某種范數(shù)最小,如的1-范數(shù)或∞-范數(shù)第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天即為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。為了便于計算、分析與應(yīng)用，通常要求的2-范數(shù)實質(zhì)仍然是求矛盾方程組的最小二乘解。第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

作擬合直線（1）直線擬合該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點,而是使偏差平方和設(shè)已知數(shù)據(jù)點,分布大致為一條直線。為最小，第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取和使有極小值，故和應(yīng)滿足下列條件：解法一：第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天即得如下正規(guī)方程組

求解該方程組，解得代人即得擬合曲線。第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天也可將條件帶入構(gòu)成矛盾方程組其中利用解法二：第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天即得如下正規(guī)方程組

求解該方程組，解得代人即得擬合曲線。第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例：某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。試確定這種關(guān)系。第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天（提示：將拉伸倍數(shù)作為x,強度作為y,在座標(biāo)紙上標(biāo)出各點，可以發(fā)現(xiàn)什么?）第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

解：設(shè)y=a+bx從上圖中可以看出強度與拉伸倍數(shù)大致成線形關(guān)系，可用一條直線來表示兩者之間的關(guān)系。則：第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解得：a=0.15,b=0.859

直線方程為：y=0.15+0.859x計算出它的正規(guī)方程得第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)例設(shè)有某實驗數(shù)據(jù)如下：解:把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上,將會看到數(shù)據(jù)點的分布可以用一條直線來近似地描述,第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天設(shè)所求的擬合直線為則正規(guī)方程組為第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解得

即得擬合直線將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組,得其中第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天（2）多項式擬合有時所給數(shù)據(jù)點的分布并不一定近似地呈一條直線,這時仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù)，尋求次數(shù)不超過m(m<<n)的多項式，

第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的平方和為最小第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由于Q可以看作是關(guān)于

(j=0,1,2,…,m)的多元函數(shù),故上述擬合多項式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令得

第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天即有

這是關(guān)于系數(shù)

的線性方程組正則方程組第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天也可利用矛盾方程組來做第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天即有

利用第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天123456012345521123用最小二乘法求一個多項式擬合這組數(shù)據(jù)例設(shè)某實驗數(shù)據(jù)如下：解：將已給數(shù)據(jù)點描在坐標(biāo)系中，可以看出這些點接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項式為

第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由法方程組（5.46）,

n=6,經(jīng)計算得

其法方程組為

第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解之得

所求的多項式為

第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例1設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718試用二次多項式擬和上述數(shù)據(jù)解：設(shè)第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天則第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由可得第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例：試用最小二乘法求形如的多項式，使之與下列數(shù)據(jù)擬合。1234529163052解：由題目可知：第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由可得第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天（3）可化為線性擬合的非線性擬合12345600.511.522.52.01.00.90.60.40.3用最小二乘法求擬合曲線例設(shè)某實驗數(shù)據(jù)如下:解:將已給數(shù)據(jù)點描在坐標(biāo)系中下圖所示,第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天可以看出這些點接近指數(shù)曲線,因而可取指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù)：對函數(shù)兩邊取對數(shù)得.令則就得到線性模型得第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天則正規(guī)方程組為

其中

第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組，得解得

第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天由得于是得到擬合指數(shù)函數(shù)為由

得

第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進行處理，對于一個實際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標(biāo)平面上描出散點圖，看一看散點的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。