2023-2024學(xué)年廣東省湛江市雷州二中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省湛江市雷州二中高二(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共56.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.下列命題正確的個數(shù)是()

(1)向量就是有向線段；

(2)零向量是沒有方向的向量；

(3)零向量的方向是任意的；

(4)零向量的長度為0.

A.1B.2C.3D.4

2.如圖所示，已知4D,BE分別為AABC的邊BC,4c上的中線，AD=a，詆=&

則就=()/

A4fl2H

A.—ct-b

B.1a+^b

C.|a-|b

D.-ja+^b

3.在△ABC中，已知邊長BC=10,A=30°,B=45。，則邊長4c等于（）

A.20nC.10。D*

4.如圖所示的平面圖形可以折疊成的立體圖形為()/^丁~7

A.三棱錐/[\

B.四棱錐--一

C.四棱柱

D.平行六面體

5.如圖，在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,BCLAC,則圖中直角三角形的個

數(shù)為()

A.4A……ZB

D.1

6.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60,得到一組新數(shù)據(jù)，則所得

新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A.57.23.6B.57.256.4C.62.863.6D.62.83.6

7.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在［60,70）的汽車大約有（）

8.甲、乙、丙三人獨立地去譯一個密碼，分別譯出的概率為之，p則此密碼能譯出的概率是（）

A.白B.|C.|D.

605560

二、多選題（本大題共4小題，共28.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列四個命題中正確的是（）

A.若事件4,B是互斥事件，則4B是對立事件

B.若事件A,B是對立事件，則A,B是互斥事件

C.若事件4是必然事件，則PQ4）=1

D.若事件4B是互斥事件，則PQ4UB）=1

10.若a,beR,且（a+i）i=b+i,則（）

A.a=1B.a=-1C.b=1D.b=-1

11.如圖是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣

質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，則下列說法正確的是（）

A.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于100

B.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為78.5

C.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的30百分位數(shù)為55

D.計算連續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中6日到8日的方差最大

12.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為1,則下列四個命題正確的是（）

A.兩條異面直線。傳和BCi所成的角為*

B.直線BC與平面ABC15所成的角等于稱

C.點。到面北劣的距離為?

D.三棱柱44D1-BBiCi外接球半徑為?

三、填空題（本大題共4小題，共28.0分）

13.某醫(yī)院老年醫(yī)生、中年醫(yī)生和青年醫(yī)生的人數(shù)分別為72,120,160,為了解該醫(yī)院醫(yī)生的出診情況，

按年齡采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取樣本，已知抽取青年醫(yī)生的人數(shù)為20,則抽取老年醫(yī)生的人

數(shù)為.

14.以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：（單位：分）78,70,72,85,88,79,80,81,94,81,56,

98,83,90,91.則這15人成績的第80百分位數(shù)是.

15.若平面anS=1,直線aua,直線anb=M,則點M與1的位置關(guān)系為.

16.如圖，某登山隊在山腳4處測得山頂B的仰角為45。，沿傾斜角為30。的斜坡前進(jìn)2千B

米后到達(dá)。處，又測得山頂B的仰角為75。，則山的高度8c為千米.

四、解答題(本大題共3小題，共38.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

己知平面向d=(1,-2),(-1,-1).

⑴求12a—山的值：

(2)若向量占+4坂與2益-3夾角為也求實數(shù)4的值.

18.(本小題12.0分)

某數(shù)學(xué)興趣小組共有5名學(xué)生，其中有3名男生4、人2、人3,2名女生當(dāng)、B2,現(xiàn)從中隨機抽取2名學(xué)生參加

比賽.

(1)問共有多少個基本事件(列舉說明)？

(2)抽取的學(xué)生恰有一男生一女生的概率是多少？

19.(本小題14.0分)

如圖，該幾何體是由圓柱和三棱錐E-4BC組合而成的，四邊形4。。送1為軸截面，BC是圓。的直徑，EAi.

平面ABC,AD=2,AB=AC,AE=2,BC=4.

(1)求證：4C垂直B,D,E所確定的平面.

(2)求該幾何體的表面積.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故(1)錯誤；

因為零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故(2)錯誤，(3)正確；

長度為0的向量叫做零向量，故(4)正確，所以正確的有2個.

故選：B.

由零向量的概念直接判斷即可.

本題考查零向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)圖形得舐=菸+配=布+:前=3+:(初+配)=9+:蒼+：豆？，所以元=|五+

22,,243

聲

故選：D.

BC=BE+EC=BE+|^C=b+^(AD+DC')=b+^a+；后乙以此可求得近.

本題考查平面向量線性運算，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：直接利用正弦定理：%=黑，解得：4C=H?W=10，N.

smAsinB1

2

故選：c.

直接利用三角函數(shù)的值和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：正弦定理和三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由展開圖可知，該幾何體有四個三角形面與一個四邊形面，故該幾何體為四棱錐.

故選：B.

根據(jù)棱錐的定義判斷即可.

本題主要考查幾何體的展開圖，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由PAJ■平面ABC,AB,AC,BCu平面ABC,

可得P4J.AB,PAIAC,PA1BC,

又BC_LAC,PACtAC=A,

可得8c1平面PAC,

而PCu平面H4C,可得BC1PC,

所以AABP,t^ACP,^ABC,A8CP均為直角三角形.

故選：A.

由線面垂直的判定和性質(zhì)可得結(jié)論.

本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為力，％&，則亍=；（與+外+???+%）=2.8,

22

方差為$2=^［（X1-%）+---+（Xn-X）］,

每一組數(shù)據(jù)都加60后，

-1_

fx

x=~（i+%2---hxn+60n）=%+60

=2.8+60=62.8,

2

方差s'2=1［（X1+60-62.8產(chǎn)+（孫+60-62.8）2+…+（孫+60-62.8）］

1

=-K-—.2+…+（Xn-元）2］

=3.6.

故選：D.

首先寫出原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示式和方差的表示式，把數(shù)據(jù)都加上60以后，再表示出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方

差的表示式，兩部分進(jìn)行比較，得到結(jié)果.

本題考查平均數(shù)和方差的變換特點，若在原來數(shù)據(jù)前乘以同一個數(shù)，平均數(shù)也乘以同一個數(shù)，而方差要乘

以這個數(shù)的平方，在數(shù)據(jù)上同加或減同一個數(shù)，方差不變.應(yīng)作為性質(zhì)記憶.

7.【答案】D

【解析】解：由圖得：時速在［60,70）的頻率為0.04x10=0.4.

所以時速在［60,70）的汽車大約有：0.4x200=80輛.

故選：D.

先求出時速在［60,70）的頻率值，再乘以中數(shù)；即可得到時速在［60,70）的汽車大約有多少輛.

本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識.直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1

8.【答案】C

【解析】解：???甲、乙、丙三人獨立地去譯一個密碼，分別譯出的概率為3P

534

???此密碼不能譯出的概率(1一》(1一3(1一》=|,

故此密碼能譯出的概率P=1—3|,

故選：C

此密碼能譯出是此密碼不能譯出的對立事件，求出此密碼不能譯出的概率，利用對立事件的概率減法公式

可得答案.

本題考查的知識點是互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式，對立事件的概率減法公式，

難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4互斥事件不一定是對立事件，A錯誤；

對于8,對立事件一定互斥，B正確;

對于C,若事件4是必然事件，則P(4)=l,C正確；

對于D,當(dāng)事件4,B是對立事件時，P(4UB)=1,力錯誤；

故選：BC.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案.

本題考查互斥事件和對立事件，注意兩者的聯(lián)系與區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：因為(a+=—1+Qi=b+i,

所以《工

故選：AD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)相等的定義計算即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)相等，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，1=(122+102+…+55+52)"87,

則該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值小于100,故A錯誤，

將14天的空氣質(zhì)量指數(shù)由小到大排列為：

33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163,

則該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：誓=78.5,故8正確,

14x30%=4.2,

則該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的30百分位數(shù)為55,故C正確，

對于D,由圖象可知，連續(xù)3天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中6日到8日的波動最大，即方差最大，故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)已知條件，平均值，中位數(shù)，30百分位數(shù)，方差的定義，即可求解.

本題主要考查頻率分布折線圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解:連接47、也,

???且ZB=C/i，則四邊形力BCWi為平行四邊形，

???異面直線D】C和BG所成的角為N4D1C,

AC=ADX=DrC,則△力CD1為正三角形，即乙4O1C=*A不正確：

連接&C,在正方形BBiQC中，BC11BC

ABJ?平面BBiGC,BiCu平面BBiGC,

：.AB1BXC,又ABnBG=B,則B1C1平面ABGD1，

???直線BC與平面ABGDi所成的角為NCBCi=1，B正確;

根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知力TCD1=VD1-ACD>

即gX/lX；xXX?=；X1X；X1X1，則/l=?,C正確;

三棱柱441D1-BB1G的外接球即為正方體力BCD—481GD1的外接球,

則外接球的半徑即為正方體力BCD-&B1C1D1體對角線的一半，

即/?=號，。正確.

故選：BCD.

對于4根據(jù)條件，可得異面直線DiC和BG所成的角為乙45C,然后求出乙即可；對于B：可證/C1平

面4BG5，則直線BC與平面ABGD1所成的角為NCBG；對于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換力-女名=，求點

。到面AC。1的距離；對于。：三棱柱441劣-BBiG的外接球即為正方體4BCD的外接球，直接

求正方體外接球的半徑即可.

本題主要考查了空間角、空間距離的計算，幾何體的外接球問題，屬于中檔題.

13.【答案】9

【解析】【分析】

本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)抽樣比相等列方程求解.

【解答】

解：設(shè)抽取老年醫(yī)生的人數(shù)為x人，則舄=瞪，解得x=9.

ILlOU

故答案為：9.

14.【答案】90.5

【解析】解：把成績按從小到大的順序排列為：56,70,72,78,79,80,81,81,83,85,88,90,91,94,

98,

因為15x80%=12,所以這15人成績的第80百分位是史羅=90.5.

故答案為：90.5.

由樣本數(shù)據(jù)第80百分位的定義以及求解步驟直接求解即可得出答案.

本題考查百分位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】MeI

【解析】解：因為aflb=M,

所以Me直線a,M6直線b,

因為直線aua,直線bu0,

所以Me平面a,MW平面0,

又平面afl/?=I,

所以"eI.

故答案為：Me/.

根據(jù)基本事實3(公理2)求解即可.

本題考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查利用正弦定理解決高度問題，屬于較易題.

由題意可得4AD8、NAB。、AD,利用正弦定理求出4B,解三角形求出山的高度8C.

【解答】

解：由題意得，^DAC=30°,ABAC=45°,Z.ADE=150°,乙BDE=75°,

所以=ABAC-ADAC=15°,4ADB=360°-乙ADE-乙BDE=135°,

所以NAB。=180°-4BAD-4ADB=30°,

在△480中，4。=2千米，Z.ABD=30°,Z.ADB=135°,

由正弦定理得一條=—冬，

smZJlDfismz.ABD

所以AB=處叱詈=窣=2小千米，

sm^.ABD1

2

所以BC=ABsin45°=2。x?=2千米.

故答案為：2.

17.【答案】解:(l)v3=(l,-2),h=(-1,-1).

*,?2o,—b=2(1,—2)—(—1,—1)=(3,-3)?

|2a-b|=V32+(-3)2=3<7.

(2)由題意知:a+Xb=(l-A,-2-X)>2a-K=(3,-3).

a+高與2五-3夾角為3.

(a+Ab)(2a-b)=|a+Ab112a-K|cos=(1-A)x3+(-2-A)x(-3)=

J(]_4)2+(-2—4)2x3A/-2x

解得：A=1或;I=-2.

【解析】(1)直接根據(jù)向量的模長公式求解即可.

(2)根據(jù)向量的夾角公式構(gòu)造方程，求解即可.

本題主要考查向量的模長公式和數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:（1）（公,42）、（五人）、（4]&）、（4,%）、（陽人）、（&，/）、（出12）、（①㈤、⑸應(yīng)）、

（瓦殳）共10個;

（2）記事件”抽取的學(xué)生恰有一男生一女生”為A,則4包含基本事件（4,&）、（4,B2）、缶2，%