高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-求通項(xiàng)的方法講義

求通項(xiàng)的八法三經(jīng)驗(yàn)一個(gè)注意事項(xiàng)

【八法】

1、公式法：適用于an+i=an+B(B為常數(shù))，an+i=Aan(A為非零常數(shù))

2、疊加法：適用于an+i=an+f(n)

解：Van+i-an=f(n)

an-an-i=f(n-1)

a3-a2=f(2)

A2-ai=f(1)

而ai=...

以上各式疊加可得an=...+f(1)+f(2)+...+f(n-1)(n>2)=..

而當(dāng)n=l時(shí)，…=或#ai

an=...(或分或合)

練習(xí)：已知｛aj中，ai=2,an+i=an+2n+3,求｛麗｝通項(xiàng)

3、疊乘法：適用于an+i=f(n)?an

解：(n)

a”

(n-1)

an-i

a=f(2)

a2

"=f(1)

a1

而ai=...

以上各式疊乘可得an=...?f(1)?f(2),?f(n-1)(n>2)=...

而當(dāng)n=l時(shí)，…=或￡21

/.an=……(或分或合)

n

練習(xí)：已知｛an｝中，ai=2,an+i=3,an,求｛an｝通項(xiàng)

4、待定系數(shù)法（適用于an+尸Aan+B）（A、B為常數(shù)且A#O,1,BWO）

解：設(shè)an+i-x=A（an-x）...（構(gòu)造）

令bn=a『x,則bn+i=an+i-x...（換元）

故bn+l—Abn

，｛bn｝是首項(xiàng)為b1,公比為A的等比數(shù)列

n-1

/.bn=bi?A

即a『x=...（還原）

??3n=.......

練習(xí)：已知數(shù)列｛an｝中，ai=2,an+i=2an+3,求｛an｝通項(xiàng)

5、裂項(xiàng)法（適用于an+2=Aan+i+Ban）（A、B為常數(shù)且A,BWO）

解：設(shè)an+2-xan+i=y（an+i+xan）

取x=y=

令bn=an+l+xan,則bn+尸an+2-Xan+l...（換元）

故bn+l=ybn

...｛bn｝是首項(xiàng)為bl,公比為y的等比數(shù)列

.*.bn=bi?y11-1

即an-xan=...（還原）

到了這里，原來(lái)三項(xiàng)之間的關(guān)系變?yōu)榱藘身?xiàng)之間的關(guān)系式，往下怎么

走，由型定法。

練習(xí)：已知數(shù)列⑶｝中，ai=2,3.2=2,an+2=-|an+i+|an?求⑶｝通項(xiàng)

6、倒數(shù)法（適用于an+i=——）或Aan+i,an4-Ban+i4-Can=0

Aan+B

解：???_1_='土0……（倒過(guò)來(lái)）

an+ln

.?.」-=4+0,......（構(gòu)造）

a

n+iCCan

???令bn=1~,則bn+l=」一（換元）

aa

n?+i

故bn+l=—b+—

cnc

……（由型定法）

??bn二???

即工=........（還原）

an

■

??3n—…

練習(xí)：1、已知數(shù)列｛an｝中,ai=l,an+i=——，求｛a，通項(xiàng)

3an+l

2、已知數(shù)列｛aQ中，ai=l,3an+i,an+an+i-an=O,求｛aQ通項(xiàng)

7、觀察歸納法

8、前n項(xiàng)和法：適用于由Sn通項(xiàng)，求an通項(xiàng)

例：已知｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn,若Sn=n2+2n,求｛aQ通項(xiàng)

2

解：Sn=n+2n

22

.,.當(dāng)n>l時(shí),an=Sn-Sn-i=n+2n-(n-1)-2(n-1)=2n+l,(n>2)

而ai=si=3

當(dāng)n=l時(shí),2n+l=3=ai

/.an=2n+l,(n21)

練習(xí)：已知｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn,若Sn=n2+2n+l,求｛a/通項(xiàng)

【三經(jīng)驗(yàn)】

1、異名同名化：有s有a的，s化a或a化s

例1：設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn=ga『；><2n+i+g,求首項(xiàng)ai和通項(xiàng)

an

例2：ai=3,2an=Sn.Sn-i(n22),求an

2、高次低次化：①開(kāi)方②因式分解③對(duì)數(shù)落幕

例1：正項(xiàng)數(shù)列｛aj中，an=2叵-1,求an

例2：31—1->3n+l=3n+Ja“+—,求Un

2

例3：正項(xiàng)數(shù)列｛aj中,10Sn=an+5an+6,且a］，a3,a$成等比，求an

-

例4：Un+l-Hn,-EL31—393n

3、多元單元化①加減消元②代入消元

例：已知數(shù)列｛aj中，ai=l,數(shù)列｛bn｝中，5=0,當(dāng)n>2時(shí)，an=；(2an-i+bn-i)

bn=(an-l+2bn-l),求