函數(shù)的極值與最大（?。┲?高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

函數(shù)的極值與最大（?。┲?/p>

蘇軾在《題西林壁》中這樣寫道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，描述的就是江西廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致。在數(shù)學(xué)上，這種現(xiàn)象如何來刻畫呢？你能抽象出函數(shù)圖象嗎？

群山之巔，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)情境導(dǎo)入

在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減。如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？探究1：觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大，那么函數(shù)h(t)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是多少？此點(diǎn)附件的函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么變化規(guī)律?

對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，是否具有同樣的性質(zhì)？

如圖，觀察函數(shù)y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f

(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？xyOabcde探究2：P90探究：如圖觀察，函數(shù)y=f

(x)在x=a、b、c、d、e等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f

(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f

(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？xyOabcdeo

a

x0

b

x

y

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)

f

(x)

f(x)

o

a

x0

b

x

y

xx0左側(cè)

x0x0右側(cè)

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0極大值減f

(x)<0f

(x)=0增減極小值f

(x)>0如何判斷f

(x0)是極大值或是極小值？左正右負(fù)為極大，右正左負(fù)為極小深度理解概念思考1：一個(gè)函數(shù)的極大值或極小值是唯一的嗎？上不一定思考2：任何一個(gè)函數(shù)一定有極大值或極小值嗎？上述圖,不一定注意:極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小.

oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))思考4：一個(gè)函數(shù)的極小值一定小于極大值嗎？不一定思考3：極值點(diǎn)可能是區(qū)間端點(diǎn)嗎？深度理解不可能若尋找可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn),可否只由f

(x)=0求得即可?探索:x=0是否為函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)?x

yOf(x)

x3

f

(x)=3x2

當(dāng)f

(x)=0時(shí)，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f

(x0)

=0x0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)x0

是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件思考5：若f'(x0)=0，則x0一定是極值點(diǎn)嗎？例1.

如圖，根據(jù)圖象回答問題:（1）若圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，指出哪些是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).xyax1x2x3x4x5x6b解：極小值點(diǎn)有：極大值點(diǎn)有：；x1，x5x3，x6.會(huì)識(shí)圖變式:P92練習(xí)1:下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，試找出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6會(huì)識(shí)圖函數(shù)的圖象如圖．

解：當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0－0+極大值2(-2,2)-2yx極小值令，解得當(dāng)時(shí)，y有極大值，并且當(dāng)時(shí)，y有極小值，并且例2.

求函數(shù)的極值．

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根；(4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f′(x)在方程根左右的符號(hào)——如果左正右負(fù)（+~-），那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正（-~+），那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；(1)確定函數(shù)的定義域；方法總結(jié)1.如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)根處無極值.注意2.函數(shù)的極值點(diǎn)還可能出現(xiàn)在不可導(dǎo)點(diǎn)處，如練習(xí)：求

的極值定義域優(yōu)先意識(shí)例3：已知函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處