考研數(shù)學(xué)二(二次型)-試卷2

考研數(shù)學(xué)二（二次型）-試卷2(總分：54.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：5，分數(shù)：10.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.已知實二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則()

（分數(shù)：2.00）

A.A是正定矩陣。

B.A是可逆矩陣。

√

C.A是不可逆矩陣。

D.以上結(jié)論都不對。解析：解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因為實二次型f正定，所以對任意x≠0,f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。所以選B。3.設(shè)f=xTAx，g=xTBx是兩個n元正定二次型，則下列未必是正定二次型的是()

（分數(shù)：2.00）

A.xT(A+B)x。

B.xTA一1x。

C.xTB一1x。

D.xTABx。

√解析：解析：因為f是正定二次型，A是n階正定陣，所以A的n個特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。設(shè)APj=λjPj，則，A一1的n個特征值必都大于零，這說明A一1為正定陣，xTA一1x為正定二定型。同理，xTB一1x為正定二次型，對任意n維非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，這說明xT(A+B)x為正定二次型。由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以xTABx未必為正定二次型。4.設(shè)A，B均為n階正定矩陣，下列各矩陣中不一定是正定矩陣的是()

（分數(shù)：2.00）

A.A一1+B一1。

B.AB。

√

C.A*+B*。

D.2A+3B。解析：解析：A，B為正定矩陣，則A一1，B一1仍是正定矩陣，故A一1+B一1也是正定矩陣。類似地，選項C、D中的矩陣均為正定矩陣。故應(yīng)選B。事實上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩陣。5.下列條件不能保證n階實對稱陣A正定的是()

（分數(shù)：2.00）

A.A一1正定。

B.A沒有負的特征值。

√

C.A的正慣性指數(shù)等于n。

D.A合同于單位矩陣。解析：解析：A一1正定表明存在可逆矩陣C，使CTA一1C=E，兩邊求逆得到C一1A(CT)一1=C一1A(C一1)T=E，即A合同于E，A正定，因此不應(yīng)選A。D選項是A正定的定義，也不是正確的選擇。C選項表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣。由排除法，故選B。事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。二、解答題(總題數(shù)：15，分數(shù)：44.00)6.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。__________________________________________________________________________________________解析：7.已知三元二次型f=xTAx的秩為2，且求此二次型的表達式，并求正交變換x=Qy化二次型為標準形。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型xTAx的秩為2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是與3對應(yīng)的特征向量；一1也是A的特征值，(1，一1，1)T是與一1對應(yīng)的特征向量。因為實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，設(shè)λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，則有由方程組解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T。則經(jīng)正交變換x=Qy，有xTAx=yTAy=3y12一y32。)解析：8.設(shè)矩陣有一個特征值是3，求y，并求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對角矩陣。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為3是A的特征值，故｜3E—A｜=8(3一y一1)=0，解得y=2。于是由于AT=A，要(AP)T(AP)=PTA2P=A，而是對稱矩陣，即要A2～A，故可構(gòu)造二次型xTA2x，再化其為標準形。由配方法，有xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x4x4=y12+22+5y32+y42，其中y1=x1，y2=x2,，y4=x4，即)解析：設(shè)二次f(x1，x2，x3)=xAx在正交變換x=Qy下的標準形為y1+y2，且Q的第三列為（分數(shù)：4.00）(1).求A；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由題意知QTAQ=A，其中，則A=QAQT，設(shè)Q的其他任一列向量為(x1，x2，x3)T。因為Q為正交矩陣，所以即x1+x3=0，其基礎(chǔ)解系含兩個線性無關(guān)的解向量，即為α1=(一1，0，1)T，α2=(0，1，0)T.把α1單位化得，所以)解析：(2).證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：證明：因為(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+層為實對稱矩陣。又因為A的特征值為1，1，0，所以A+E特征值為2，2，1，都大于0，因此A+E為正定矩陣。)解析：已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩為2。（分數(shù)：4.00）(1).求實數(shù)a的值；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由r(ATA)=2可得所以a=一1。)解析：(2).求正交變換x=Qy將f化為標準形。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由(I)中結(jié)果，令矩陣解得矩陣B的特征值為λ1=0，λ2=2，λ3=6。由(λiE—B)x=0，得對應(yīng)特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分別為η1=(一1，一1，1)T，η2=(一1，1，0)T，η3=(1，1，2)T。將η1，η2，η3單位化可得：則正交變換x=Qy可將原二次型化為2y22+6y32。)解析：設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x3+2x1x3—2x2x3。（分數(shù)：4.00）(1).求二次型f的矩陣的所有特征值；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型的矩陣為，則有所有特征值是λ1=a，λ2=a—2，λ3=a+1。)解析：(2).若二次型f的規(guī)范形為y12+y22，求a的值。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：若規(guī)范形為y12+y22，說明有兩個特征值為正，一個為0。則由于a—2＜a＜a+1，所以a—2=0，即a=2。)解析：9.設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明：合同。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為A1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。)解析：10.設(shè)A為m階實對稱矩陣且正定，B為m×n實矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是r(B)=n。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：必要性：設(shè)BTAB為正定矩陣，則由定義知，對任意的n維實列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0。于是，Bx≠0.因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n。充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTAB為實對稱矩陣。若r(B)=n，則線性方程組Bx=0只有零解，從而對任意的n維實列向量X≠0，有Bx≠0。又A為正定矩陣，所以對于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0。于是當(dāng)x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB為正定矩陣。)解析：設(shè)為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對稱矩陣，C為m×n矩陣。（分數(shù)：4.00）(1).計算PTDP，其中（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：)解析：(2).利用的結(jié)果判斷矩陣B一CTA一1C是否為正定矩陣，并證明結(jié)論。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由(I)中結(jié)果知矩陣D與矩陣合同，又因D是正定矩陣，所以矩陣M為正定矩陣，從而可知M是對稱矩陣，那么B—CTA-1C是對稱矩陣。對m維零向量x=(0,0，…，0)T和任意n維非零向量y=(y1，y2，…yn)T，都有依定義，yT(B一CTA-1C)y為正定二次型，所以矩陣B—CTA-1C為正定矩陣。)解析：設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，記（分數(shù)：4.00）(1).證明二次型f對應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型f對應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT。)解析：(2).若α，β正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標準形為2y12+y22。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，則Aα=(2ααT+ββT)α=2α｜α｜2+ββTα=2α，所以α為矩陣對應(yīng)特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β為矩陣對應(yīng)特征值λ2=1的特征向量。而矩陣A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩陣的一個特征值。故f在正交變換下的標準形為2y12+y22。)解析：11.用正交變換將二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x3x3化為標準形，并給出所施行的正交變換。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型的矩陣為特征多項式為矩陣A的特征值為λ1=一7，λ2=λ3=2。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=一7和λ2=λ3=2對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α2,α3正交化，即再將α1，β2，β4單位化，即則二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為一7y12+2y22+2y32。)解析：設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通過正交變換化為標準形2y12+2y22+6y32。（分數(shù)：4.00）(1).求常數(shù)a，b及所用的正交變換矩陣Q；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型矩陣及其對應(yīng)的標準形矩陣分別為由矩陣B可知矩陣A的特征值為2，2，6。由矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而實對稱矩陣A必可相似對角化，所以矩陣A的對應(yīng)于特征值2的線性無關(guān)的特征向量有兩個。于是矩陣2E—A的秩為1，而所以a=一1。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化，即再將β1，β2，α3單位化，即則正交變換矩陣Q=(γ1，γ2，γ3)=)解析：(2).求f在xTx=3下的最大值。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為2y2+2y2一y2。條件xTx=3等價于yTQTy=y2+y2+y2=3，此時f=2y12+2y22一y32=6—3y2的最大值為6，所以f在xTx=3下的最大值是6。)解析：已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。（分數(shù)：4.00）(1).寫出二次型f的矩陣表達式；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型的矩陣為則二次型的矩陣表達式為f=xTAx。)解析：(2).用正交變換把二次型f化為標準形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：矩陣A的特征多項式為矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=一6。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=一6對應(yīng)的特征向量分別為α1=(一2，0，1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，一1，2)T，由于實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以可直接將α1,α2,α3單位化，即且二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為f=y12+6y22一6y32。)解析：設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。（分數(shù)：4.00）(1).寫出二次型的矩陣表達式；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：二次型的矩陣為則二次型的矩陣表達式為f=xTAx。)解析：(2).求正交矩陣P，作變換x=Py將二次型化為標準形。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：矩陣A的特征多項式為矩陣A的特征值為λ1=1