專題05 阿氏圓求最小值（含答案）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸滿分突破之二次函數(shù)篇

2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第5節(jié)阿氏圓求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB(k≠1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細(xì)步驟解析】例題演練例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+4x的頂點(diǎn)為點(diǎn)A(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于﹣6的點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，過點(diǎn)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，若在坐標(biāo)平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ＝，求OQ+QC的最小值；練1.1如圖1，拋物線y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0＜m＜4)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若＝，求m的值；(3)如圖2，在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．練1.2如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(8，0)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0＜m＜8)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．(3)如圖2，在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接E′A、E′B．①在x軸上找一點(diǎn)Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②求BE′+AE′的最小值．練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P．連接AC．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；(2)如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接FA、FC．求AF+CF的最小值；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；(3)如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請求出這個(gè)最小值，并說明理由．練1.5如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ+EQ的最小值．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第5節(jié)阿氏圓求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB(k≠1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：【破解策略詳細(xì)步驟解析】例題演練例1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+4x的頂點(diǎn)為點(diǎn)A(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于﹣6的點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線OB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，過點(diǎn)P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，若在坐標(biāo)平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ＝，求OQ+QC的最小值；【解答】解：(1)∵y＝x2+4x＝(x+2)2﹣4，∴A(﹣2，﹣4)；(2)如圖1，過P作PH⊥x軸交OB于H，作PG⊥BC于G，過M作MD⊥y軸交y軸于D，∵點(diǎn)B為拋物線上橫坐標(biāo)等于﹣6的點(diǎn)，∴B(﹣6，12)，∴直線AB解析式為y＝﹣2x設(shè)P(m，m2+4m)，則H(m，﹣2m)，PH＝﹣2m﹣(m2+4m)＝﹣m2﹣6m∵點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，∴M(﹣3，6)，∴MD＝3∵PH∥y軸∴∠PHG＝∠MOD∵PG⊥BCMD⊥y軸∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO∴＝，即PG?MO＝PH?MD＝3(﹣m2﹣6m)＝﹣3m2﹣18m，∴S△POM＝PG?MO＝﹣9m＝﹣(m+3)2+∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，S△POM的值最大，此時(shí)P(﹣3，﹣3)，在PC上取點(diǎn)T，使得PT＝，連接QT，OT，∵PC＝3，PQ＝∴＝＝∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT∵OT＝＝＝∴OQ+QC的最小值為；練1.1如圖1，拋物線y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0＜m＜4)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若＝，求m的值；(3)如圖2，在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：(1)令y＝0，則ax2+(a+3)x+3＝0，∴(x+1)(ax+3)＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵拋物線y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A(4，0)，B(0，3)，設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為y＝﹣x+3．(2)如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝(4﹣m)，∵拋物線解析式為y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．(3)如圖2中，在y軸上取一點(diǎn)M′使得OM′＝，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′?OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此時(shí)AE′+BE′最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、M′、E′共線時(shí))，最小值＝AM′＝＝．練1.2如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(8，0)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m，0)(0＜m＜8)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．(1)分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．(3)如圖2，在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接E′A、E′B．①在x軸上找一點(diǎn)Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②求BE′+AE′的最小值．【解答】解：(1)把點(diǎn)A(8，0)代入拋物線y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，∴16a＝﹣6，a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+6與y軸交點(diǎn)，令x＝0，得y＝6，∴B(0，6)．設(shè)AB為y＝kx+b過A(8，0)，B(0，6)，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6．(2)∵E(m，0)，∴N(m，﹣m+6)，P(m，﹣m2+m+6)．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，∴PM＝AN＝×＝12﹣m．又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．∵0＜m＜8，∴m＝4．(3)①在(2)的條件下，m＝4，∴E(4，0)，設(shè)Q(d，0)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE′＝OE＝4，若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q(2，0)．②由①可知，當(dāng)Q為(2，0)時(shí)，△OQE′∽△OE′A，且相似比為＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，∴當(dāng)E′旋轉(zhuǎn)到BQ所在直線上時(shí)，BE′+QE′最小，即為BQ長度，∵B(0，6)，Q(2，0)，∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值為2．練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P．連接AC．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；(2)如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜90°)，連接FA、FC．求AF+CF的最小值；【解答】解：(1)在拋物線y＝x2+x+3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C(0，3)，當(dāng)y＝3時(shí)，x1＝0，x2＝2，∴P(2，3)，當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣4，x2＝6，B(﹣4，0)，A(6，0)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+3，將A(6，0)代入，得，k＝﹣，∴yAC＝﹣x+3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2，3)，直線AC的解析式為yAC＝﹣x+3；(2)在OC上取點(diǎn)H(0，)，連接HF，AH，則OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值為；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；(3)如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請求出這個(gè)最小值，并說明理由．【解答】解：(1)直線y＝﹣5x+5，x＝0時(shí)，y＝5∴C(0，5)y＝﹣5x+5＝0時(shí)，解得：x＝1∴A(1，0)∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)∴解得：∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5當(dāng)y＝x2﹣6x+5＝0時(shí)，解得：x1＝1，x2＝5∴B(5，0)(2)如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10∵點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)∴設(shè)M(m，m2﹣6m+5)(1＜m＜5)∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB?MH＝×4(﹣m2+6m﹣5)＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2(m﹣3)2+8∴S四邊形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2(m﹣3)2+8]＝﹣2(m﹣3)2+18∴當(dāng)m＝3，即M(3，﹣4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18(可以直接利用點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，面積最大求解)(3)如圖2，在x軸上取點(diǎn)D(4，0)，連接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值為練1.5如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD于點(diǎn)H．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH＝HP時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)直線PF為拋物線的對稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AQ+EQ的最小值．【解答】解：(1)由題意A(，0)，B(﹣3，0)，C(0，﹣3)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+3)(x﹣)，把C(0，﹣3)代入得到a＝．故拋物線的解析式為y＝x2+x﹣3．(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D(0，﹣1)，∴直線AD的解析式為y＝x﹣1，由題意P(m，m2+m﹣3)，H(m，m﹣1)，F(xiàn)(m，0)，∵FH＝PH，∴1﹣m＝m﹣1﹣(m2+m﹣3)解得m＝﹣或(舍棄)，∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為﹣．(3)如圖，∵PF是對稱軸，∴F(﹣，0)，H(﹣，﹣2)，∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝OA＝3，∴E(0，3)，∵C(0，﹣3)，∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，∴QH＝CH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK＝，此時(shí)K(﹣，﹣)，∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴＝，∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴＝＝，∴KQ＝AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第6節(jié)費(fèi)馬點(diǎn)求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥△APC≌△AQE，且△APQ為等邊三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

當(dāng)B、P、Q、E共線時(shí)，AP+BP+CP和最小例題演練題組1：費(fèi)馬點(diǎn)在三角形中運(yùn)用例1．如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，分別以PC和AC為一邊向右作等邊三角形△PCM和△ACD．【探究】求證：PM＝PC，MD＝PA【應(yīng)用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，則PA+PB+PC的最小值是(用a，b表示)練1.1問題提出(1)如圖①，在△ABC中，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，則CC′＝；問題探究(2)如圖②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；問題解決(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足∠APD＝120°，連接BP、CP，點(diǎn)Q為△BPC內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，請求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．題組2：費(fèi)馬點(diǎn)在四邊形中運(yùn)用例2．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則PA+PB+PC的最小值為．練2.1如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)若正方形的邊長為，正方形內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的值最?。咳舸嬖?，求出它的最小值；若不存在，說明理由．例3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線與x軸相交于A、F兩點(diǎn)(A在F的左側(cè))．(1)求拋物線的解析式；(2)等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長；(3)點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時(shí)，線段AP的長．練3.1如圖，拋物線y＝ax2+bx+過點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)O到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段OC的長．已知點(diǎn)E為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且在x軸上方，點(diǎn)F為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為4的菱形時(shí)，請求出點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離．(3)在(2)中，當(dāng)點(diǎn)F到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)Q，使得AQ，BQ，F(xiàn)Q之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第6節(jié)費(fèi)馬點(diǎn)求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥△APC≌△AQE，且△APQ為等邊三角形，∴PC=QE，AP=PQ∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE

當(dāng)B、P、Q、E共線時(shí)，AP+BP+CP和最小例題演練題組1：費(fèi)馬點(diǎn)在三角形中運(yùn)用例1．如圖，在△ABC中，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，分別以PC和AC為一邊向右作等邊三角形△PCM和△ACD．【探究】求證：PM＝PC，MD＝PA【應(yīng)用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，則PA+PB+PC的最小值是(用a，b表示)【解答】【探究】證明：∵以PC和AC為一邊向右作等邊三角形△PCM和△ACD，∴PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，∴∠PCA＝∠MCD，在△ACP和△DCM中，，∴△ACP≌△DCM(SAS)，∴MD＝PA；【應(yīng)用】解：連接BD，如圖所示：∵△APC≌△DCM，∴∠ACP＝∠DCM，AC＝CD＝b，∴∠ACP+∠PCB＝∠DCM+∠PCB，∴∠DCM+∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠DCM+∠PCB+∠PCM＝60°+60°＝120°，作DF⊥BC于F，則∠CFD＝90°，在Rt△CDF中，∵∠DCF＝180°﹣120°＝60°，CD＝b，∴∠CDF＝30°，∴CF＝AC＝b，DF＝CF＝b，∴BF＝a+b，∴BD＝＝＝；當(dāng)B、P、M、D共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，即PA+PB+PC的最小值為：；故答案為：．練1.1問題提出(1)如圖①，在△ABC中，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，則CC′＝；問題探究(2)如圖②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；問題解決(3)如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足∠APD＝120°，連接BP、CP，點(diǎn)Q為△BPC內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得PQ+BQ+CQ有最小值？若存在，請求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．【解答】解：(1)如圖①，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△BCC′是等邊三角形，∴CC′＝BC＝2，故答案為2．(2)如圖②，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BFE，連接PF，EC．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，∵PC+PF+EF≥EC，∴當(dāng)P，F(xiàn)在直線EC上時(shí)，PA+PB+PC的值最小，易證BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝90°，∵EB⊥BC，∴EC＝BC＝3，∴PA+PB+PC的最小值為3．(3)如圖③﹣1中，將△PBQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，∴BQ＝QG，PQ＝EG，∴PQ+BQ+CQ＝EG+GQ+QC≥EC，∴EC的值最小時(shí)，QP+QB+QC的值最小，如圖③﹣2中，延長BA交CD的延長線于J，作△ADJ的外接圓⊙O，將線段BO，BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，BE，連接EO′，OB，OP．易證△BEO′≌△BPO(SAS)，∴EO′＝OP，∵∠APD+∠AJD＝180°，∴A，P，D，J四點(diǎn)共圓，∴OP＝，∴EO′＝，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)′為圓心，為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段CO′上時(shí)，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，連接OO′，延長OO′到R，使得O′R＝OO′，連接BR，則∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延長線于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．在Rt△OBM中，BM＝5，OM＝，∴OB＝＝，∴BR＝OB＝14，由△BHR∽△OMB，∴＝，∴RH＝5，∵HR∥O′T∥OM，OO′＝RO′，∴TM＝TH，∴O′T＝＝，∴BT＝＝3，∴CO′＝＝，∴CO′﹣EO′＝﹣＝．∴QP+QB+QC的最小值為．題組2：費(fèi)馬點(diǎn)在四邊形中運(yùn)用例2．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則PA+PB+PC的最小值為．【解答】解：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'C'，∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BPC≌△BP'C'，∴△BPP'是等邊三角形，PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，∴當(dāng)線段AP，PP'，P'C'在一條直線上時(shí)，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的長，過點(diǎn)C'作C'E⊥AB交AB的延長線于E，∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC'＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝＝＝+，故答案為：+．練2.1如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接BN、AM、CM．(1)求證：△AMB≌△ENB；(2)若正方形的邊長為，正方形內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC的值最?。咳舸嬖?，求出它的最小值；若不存在，說明理由．【解答】解：(1)如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；∵∠MBN＝60°，∴BE＝BA，∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；在△AMB與△ENB中，，∴△AMB≌△ENB(SAS)，(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形．即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC＝AF．BM＝BF?cos30°＝BC?cos30°＝，則AM＝+＝，∵AB＝BF，∠ABF＝150°∴∠BAF＝15°既得AF＝＝+1．例3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線與x軸相交于A、F兩點(diǎn)(A在F的左側(cè))．(1)求拋物線的解析式；(2)等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長；(3)點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時(shí)，線段AP的長．【解答】解：(1)過E作EG⊥OD于G(1分)∵∠BOD＝∠EGD＝90°，∠D＝∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點(diǎn)B(0，2)，∠ODB＝30°，可得OB＝2，；∵E為BD中點(diǎn)，∴∴EG＝1，∴∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2分)∵拋物線經(jīng)過B(0，2)、兩點(diǎn)，∴，可得；∴拋物線的解析式為；(3分)(2)∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，∴在△AGE中，∠AGE＝90°，(4分)過點(diǎn)O作OK⊥AE于K，可得△AOK∽△AEG∴∴∴∴∵△OMN是等邊三角形，∴∠NMO＝60°∴；∴，或；(6分)(寫出一個(gè)給1分)(3)如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE＝OB＝2，∠OBE＝60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置(即費(fèi)馬點(diǎn))；∵OA＝OB′，∠B′OB＝∠AOE＝150°，OB＝OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO＝∠AEO；∵∠BOP＝∠EOP′，而∠BOE＝60°，∴∠POP'＝60°，∴△POP′為