河北省石家莊市2022-2023學年高一年級上冊期末數(shù)學試題（含解析）

石家莊市2022-2023學年度第一學期期末教學質量檢測

“自.必rJ、，.

高一數(shù)學

注意事項：

本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答第I卷前，考生務必將自己的姓名

準考證號、考試科目寫在答題卡上.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1,已知全集"HL，'4,5},M={I,3},N={3,5},則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）

A.{3,4,5}B,{1,3,5}C,{1,2,5}D.{2,4}

【答案】D

【解析】

【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為電（MlN）,再利用集合的交并補運算即可得解.

【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為電（MN）,

因為M={1,3},N={3,5},所以={1,3,5},

因為U={1,2,3,4,5},所以G（MDN）={2,4}.

故選：D.

2.命題“三元>1,/一元>0”否定是（）

A.3X<1,X2-X>0B.Vx>l,x2-x<0

C.3x>l,x2-x<0D.Vx<1,x2-x>0

【答案】B

【解析】

【分析】本題從存在量詞的否定為全稱量詞出發(fā)即可得出答案.

【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即先將量詞“土改成量詞“V”，再將結論否定，，該命

題的否定是“Vx>l,x2—%,0”.

故選：B.

3.函數(shù)y=log2（2x+l）+，3—4x的定義域為（)

j_31彳，。

A.12B.C.—00—D.（。,+8）

2542542

【答案】B

【解析】

2x+l>0

【分析】令《…C，解不等式可得答案.

3-4x20

2%+1>013>故定義域為（一;7,二

【詳解】令〈，解得—

3—4x2024（24

故選：B.

4.已知角a的終邊經(jīng)過點。（一2,1）,則sina的值為（)

A.1n一旦2逐

D.-2---舊------C.D.

555"I"

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點尸（-2,1）,

一旦

所以sina=

-5?

故選：A.

5.設。=log37,〃=2"，c=0.831，則()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性確定。,4c的范圍，進而比較大小可得答案.

【詳解】因為y=log3%在（0,+8）上單調遞增,

ffrVXlog33<log,7<log39,即1<。<2；

因為y=2'.在R上單調遞增,

所以8=2">2'=2，

因為y=0.8'.在R上單調遞減,

所以。=0.8支|<0.8°=1，

所以c<a<h.

故選：D.

cosX

6.函數(shù)?。?麗可的圖象大致是（）

【答案】C

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，排除A、D選項，再根據(jù)/（（））排除B選項，即可得結果.

￡（\COSX,/\cos（-x）COS尤,/\

【詳解】函數(shù)/（X）=定義域為R,且/（一力=（\=/（X）,

Inlx+21Inix+21Inlx+2）

所以，X）為偶函數(shù)，排除A、D選項；

因為/（°）=47°，所以排除B，

In2

故選：C.

7.數(shù)學中常用記號max{〃應}表示p,q兩者中較大的一個，用min{p,q}表示夕，q兩者中較小的一個,

若函數(shù)/（x）=min{W，|x+f|}的圖象關于x=-g對稱，貝h的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】先分析y=|x|與的圖像性質，再在同一個坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，結合圖像可分

析得了（X）的圖像關于直線彳=-；對稱，從而求得“直.

【詳解】對于y=|x|,易得其圖像關于y軸對稱；

對于y=|x+f|,易得其圖像關于x=T對稱；

如圖，在同一個坐標系中做出兩個函數(shù)丁=|幻與，=|x+”的圖象,

則函數(shù)/（x）=min｛W，|x+4｝的圖象為兩個圖象中較低的一個,

結合圖像可知/（x）的圖象關于直線x=-；對稱，

所以要使函數(shù)/（力=而11｛國,卜+巾的圖象關于直線彳=一3對稱,

故選：D.

*1

a,x一

2

8.已知函數(shù)/（x）=<在R上單調遞增，則。的取值范圍是（)

(2<z-l)x,x>g

‘2-61

【答案】B

【解析】

【分析】先利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調性，分段討論“X）的單調性，從而得到。>1,再由/（X）在R

上的單調性得x=g處有g（2a—1）2。；，從而得到。2笥回,由此得解.

【詳解】因為/（X）在R上單調遞增,

當時，〃力=優(yōu)在1-8,；上單調遞增，所以。>1；

當x>g時，/（x）=（2a—1）尤在（；,+"上單調遞增，所以2。一1>0,即a>g；

I1111

同時，在x=e處，（2。一1卜2優(yōu)，即；（2〃-1）2a2,即。一；2。2,

因為a>l,所以。2——>a,即4a2—8a+120,

4

解得a22±2后或q〈三避（舍去），

22

故選：B.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）

9.已知函數(shù)/（力=/圖象經(jīng)過點（2,3）,則下列命題正確的有（）

A.函數(shù)”X）為奇函數(shù)

B.函數(shù)/（x）在定義域內為減函數(shù)

C.若0<占<%，則/（百）>/（工2）

D.若x<o,則y（x）>o

【答案】AC

【解析】

【分析】將點代入函數(shù)得到/（1）=！，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A,舉反例可判斷BD,利用作差法

X

可判斷D.

【詳解】因為/'（x）=x"圖象經(jīng)過點（2,；）,

所以2"=,，即a=T,則/1（x）=,，

2x

對于A,易得/(x)的定義域為(y,O)U(O,+x>),關于原點對稱，

又/(-%)=-1=-/(司，所以為奇函數(shù)，故A正確；

對于B,/(-1)=—1</(1)=1,函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯誤；

對于C,因為0<±<工2，

所以/(芯)_/(々)='_'=七土>0,即/(百)>/(%2)，故C正確.

元1X?X1

對于D,/(-1)=一1<0,故D錯誤；

故選：AC.

10./一2》一340成立的充分不必要條件可以是()

A.0<x<4B.0<x<3

C.-l<x<2D.-l<x<3

【答案】BC

【解析】

[分析]先求得X2-2X-3<0的等價條件，再利用充分不必要條件的性質得到集合的包含關系，從而得解.

【詳解】令4=k?€〃｝,3=｛凡/—2x—3Wo｝,

由％2一2%-3?0得一l<x<3,故3=｛乂-1<%<3｝,

若/，是/一2%一340成立的充分不必要條件，則A是8的真子集，

對于A,A=｛x|0Kx<4｝不是3=｛x[-l<x<3｝的真子集，故A錯誤；

對于B,4=卜|0。43｝是8=k|—l?x<3｝的真子集，故B正確；

對于C,A=｛x|-l〈x<2｝是3=｛x|—l〈xW3｝的真子集，故C正確；

對于D,A=｛x[—l<x<3｝不是8=｛x|-l〈xW3｝的真子集，故D錯誤；

故選：BC.

11.下列函數(shù)中以2兀為周期的是()

X.X

A.y=tan—B.y=sin—

*22

C.y=sin|x|D,y=cos|x|

【答案】AD

【解析】

【分析】對于ABD,利用三角函數(shù)的性質以及周期公式逐一判斷即可；對于C,舉例子證明/（X）不是周

期函數(shù)即可判斷.

v-7='=2兀

【詳解】對于A,y=tan-f則一1一,故A正確；

.22

2兀“

..XrIT==4兀

對于B,y=sin—,則1,

22

X

所以yusin^不以2兀為周期，故B錯誤；

對于C,因為y=/（x）=sin|乂，

Tt.Tt,

所以/卜，卜sinsin—=1,

22

所以至少存在x=3,使得”X+271）H/（X）,

所以/（X）不是以2兀為周期的周期函數(shù)，故C錯誤;

2兀

對于D,y=cos|x|=cosx,則7=丁=2兀，故D正確.

故選：AD.

12.已知正數(shù)x、》滿足x+y=2,則下列說法正確的是（）

A.xy的最大值為1B.6+J7的最大值為2

21廠X2V2

C.一+一的最小值為2起D.-；+2二的最小值為1

xyx+1y+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于AB,利用基本不等式及其推論即可判斷；對于CD,利用換元法與基本不等式“1”的妙用即可

判斷.

【詳解】對于A,因為x>0,y>0,x+y=2,

所以2=x+y22y[xy,則孫W1,

當且僅當x=y且x+y=2,即x=y=l時，等號成立,

所以孫的最大值為1,故A正確：

對于B,因為2（a~+/?）—（〃+b）~=ci~+”—2ab—（Q—Z?）~N0,

所以3+6）2<2（/+從），當且僅當。=〃時，等號成立，

所以（?+6）2?2［（五y+（@2］=2（x+y）=4,則4+4?2,

當且僅當&=且x+y=2,即x=y=l時，等號成立，

所以6+J］的最大值為2,故B正確；

八211,（2lfQ2yK\12yx13仄

對于C,—I—=_（x4-y）—l—=-3H---1-2—3+2/—,一=—卜,

Xy2.（X”21X”21\xyj2

當且僅當包=土且x+y=2,即x=4-20,y=20—2時等號成立，

x）

所以冬+工的最小值為a+血，故c錯誤；

xy2

對于D,令s=x+l,t=y+\,則x=s-l,s+f=x+y+2=4,s>0,f>0,

22

所以工+工

x+1y+1

=l*z低/1+：1

當且僅當$=，且s+r=4,即s=r=2,即x=y=l時，等號成立,

JCV

所以——一的最小值為1,故D正確.

x+1y+1

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為

正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

第n卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知tana=6，（兀'技｝則.

471

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用誘導公式轉化為銳角的三角函數(shù)求解.

【詳解】；ae（兀,奇），a—兀e（0,萬），

tan（cz-兀）=tana=如,

無7147t

ct-n=—,a-7r+—=——.

333

4兀

故答案為：—.

3

14.斐波那契螺旋線被稱為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)1,1,2,3,5,8……

為邊長的正方形按如圖的方式拼成長方形，并以每個正方形的某一頂點為圓心畫一個圓心角為90。的圓弧,

這些圓弧連成的弧線被稱為斐波那契螺旋線，圖中的弧線就是斐波那契螺旋線的前一部分，則陰影部分的

面積與矩形ABCD的面積之比為.

【答案】一##—Tt

44

【解析】

【分析】由圓的面積公式和矩形的面積公式，分別求得其面積，即可得解.

【詳解】由題意知I,矩形A8C0的面積為S=（3+5）x（5+8）=104,

而陰影部分的面積為S,=；兀（「+12+22+32+52+82）=26K,

267rJr

所以陰影部分的面積與矩形ABCD的面積之比為——

1044

故答案為：一.

4

15.已知函數(shù)/（x）=sinx+2x+m在區(qū)間（0弓）上有零點，則實數(shù)機取值范圍是

【答案】（一1一兀,0）

【解析】

【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調性判斷得了(X)在(0,上都單調遞增，再利用零點存在定理得到

/(0)<0

<1七「C。，解之即可得解.

【詳解】因為y=sinX與y=2x+〃?在(0段)上都單調遞增，

所以/(x)=sinx+2x+m在上單調遞增,

因為/(力=$m%+2%+m在區(qū)間(0,])上有零點,

/(0)<0[sin0+2x0+m<0八

;\rm<0

所以</兀)，即〈.兀兀，即〈八,

IUJI22l

解得一1一兀v用<0,

所以實數(shù)〃?的取值范圍為(一1一兀,()).

故答案為：(—1—71,0).

16.已知/(x)=log3(4*+l)—辰是偶函數(shù)，則％=,/(x)的最小值為.

【答案】①.1叫2log.2

【解析】

【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義可求得實數(shù)上的值，從而得到/(x)=log3(2'+*],再利用基本不等

式即可推得了(x)21og32,由此得解.

【詳解】因為函數(shù)“X）為偶函數(shù)，則/（r）=/（x）,

即logs（4-*+1）+Ax=log3（4*+1）-Ax,

4、+14V（4V+1）

v

所以2丘=log3（4'+1）-log3（4一、+1）=log3=log34“L+］）=log34=xlog,4,

由x的任意性可得2k=log34=2log?2,故A=log32,

4、+1f1

所以/（X）=log3（4'+l）-xlog32=log3=10g312'+—

因為2、〉0,所以2'+1-22,2、=2,

T\r

當且僅當2'='-,即x=（）時，等號成立，BP2A+—>2,

T2r

所以/（x）=log3卜'>log32,g|J/（x）的最小值為log32.

故答案為：1（€2；log,2.

四、解答題（本大題共6道小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知sin（53°—a）=；,且-270°<a<-90°,求tan2（127°+a）-sin（37°+a）的值.

［答案］5+48>

120

【解析】

【分析】利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系得sin（37°+a）=-半，再結合同角三角函數(shù)的商的關系求

出tan（127°+a）的值，代入計算即可.

【詳解】設尸=53°—a,y=37°+a,那么尸+7=90°,從而7=90°-￡.

于是sin/=sin（90°-/7）=cos￡.因為一2700<a<-90°,

所以143°〈尸<323°.由sin夕=：>0,得143°〈夕<180°.

所以cos夕=—y/l-sin2/7=一J1一02=-￥

所以sin（37。+a）=siny=一2￡

，sin/?、一

tan?（127。+a）=tan?[180-（53-a）]=tan?（53-a）=tan2/7=

、cos夕

H_±

2娓24

5

則tan2(127+a)-sin(37。+a)=，+^^=5+486

v7v7245120

~、

18.已知全集為R,集合4=,x二出>0>,B=-2tzx+(?+3)(a-3)<0|.

x3

(1)若a=-3,求集合Ac(43)；

(2)請在①“xeB”是“xeA”的充分條件，②3c(4A)=0,③4uB=A這三個條件中任選一個，補充

在下面問題的橫線上，并完成問題解答.

若,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1){Nx>3或x<-6}

(2)。26或aW-4.

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)集合的補集以及交集的定義計算即可：

(2)若選①，則可知BqA,列出相應不等式，解得答案；若選②，求出=一l〈xW3},再根據(jù)

集合的交集運算，列出相應的不等式，解得答案；若選③，根據(jù)集合的并集運算，列出相應的不等式，解

得答案；

【小問1詳解】

集合A={x|x>3或集合3={x|a-3<x<a+3},

若a=-3,8={x|-6<x<0},

所以條3={x|xNO或x?-6}

所以Ac48={RX>3或X?-6}.

【小問2詳解】

若選①“xeB”是“xeA”充分條件，則BqA,

即{x|a-3cxea+3}q{Rx>3或x<-l},

所以a-323或a+3W-l,

，。之6或aWT；

若選②々A={x|-1WXW3},8c他A)=0

所以"323或a+3W-l

:.a>6^a<-4

若選③，QA\JB=Af:.B(^A

則。+3<—1或〃一323,.\a>6^a<-4.

19.設/(x)=log“x(a>0,且。關1)其圖象經(jīng)過點(昭(1，又g(x)的圖象與〃x)的圖象關于直線

y=x對稱.

(1)若/(X)在區(qū)間［6,c［上的值域為網(wǎng)且〃—加=3求C的值;

(2)若g(2〃?)=4,g(”)=25,求2加+〃的值.

【答案】(l)c=e?

(2)In1()()

【解析】

【分析】⑴將點(血，力代入解析式，即可求出/(x)=lnx,根據(jù)其單調性得〃=2,則〃c)=2,解出

即可;

⑵根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系得g(x)=e*,則有e2"""=100,則2m+〃=lnl00.

【小問1詳解】

因為/(x)=log“x(a>Q,且a。1)的圖象經(jīng)過點［五］］，

11

所以一=log.Ve,2-2-

a=e所以a=e,所以/(x)=lnx,

因為/(x)在區(qū)間［五,c］上單調遞增，則/〃=/(6)=萬，

3313

因為〃一根=—,所以〃=加+二=—+二=2,所以f(c)=〃=2,

2222v7

即lnc=2,解得c=e2.

【小問2詳解】

g(x)的圖象與/(x)的圖象關于直線y=x對稱，

g(x)=e",若8(2加)=4屈〃)=25,則e2m=4，e"=25，

所以e2"'-e"=e2"""=100，所以2加+〃=In1()0.

20.已知函數(shù)/(%)=24"5+1'0>0)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為5.

⑴求了(力的解析式和單調遞增區(qū)間；

ITJT

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間一不，5上值域.

【答案】(l)/(x)=2sin[2x+g),單調增區(qū)間為一去""+高，(左6Z).

⑵[-6,2]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的性質得出①的值，結合正弦函數(shù)的單調性確定函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;

'兀、J37[7T

⑵根據(jù)正弦函數(shù)的性質得出sin2x+-G―一』,進而得出函數(shù)/(%)在區(qū)間上的值域.

I[2」L62」

【小問1詳解】

因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為巴，所以/(x)的最小正周期T=兀，

2

所以7=,丁69>0,則0=2,.二/(犬)=2sin(2x+§),

JiJiTT

又因為當2&萬一一<2x+-<2kn+-,%eZ時函數(shù)/5)單調遞增，

232

57171

即ku---?x?kuH,Z￡Z,

1212

5TL7L

所以函數(shù)，(x)的單調遞增區(qū)間為E一五，E+石，(ZeZ)；

【小問2詳解】

,、，兀兀，c無0,y,所以sin(2x+撲

⑵當xe時,2x4---G

623

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間—的值域為[一百,2].

21.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含

量達到2079mg的駕駛員即為酒后駕車，8()mg及以上認定為醉酒駕車.假設人在喝一定量的酒后，如

果停止喝酒，血液中的酒精含量會以每小時的比率減少.現(xiàn)有駕駛員甲乙三人喝了一定量的酒后，測試

他們血液中的酒精含量均上升到了Img/mL.(運算過程保留4位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1g2Ho.3010,

Ig7?0.8451.［儀0.7647

lg3?0.4771.?0.7946)

v5

(1)若駕駛員甲停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為Pi=30%,則駕駛員甲至少要經(jīng)過多少個小

時才能合法駕駛？(最后結果取整數(shù))

(2)駕駛員乙在停止喝酒5小時后駕車，卻被認定為酒后駕車，請你結合(1)的計算，從數(shù)學角度給駕駛員乙

簡單分析其中的原因，并為乙能夠合法駕駛提出合理建議；

(3)駕駛員乙聽了你的分析后，在不改變飲酒量的條件下，在停止飲酒后6小時和7小時各測試一次并記錄

結果，經(jīng)過一段時間觀察，乙發(fā)現(xiàn)自己至少要經(jīng)過7個小時才能合法駕駛.請你幫乙估算一下：他停止飲

酒后，血液中酒精含量每小時減少比率的取值范圍.(最后結果保留兩位小數(shù))

【答案】(1)駕駛員甲至少要經(jīng)過5個小時才能合法駕駛

(2)答案見解析(3)(0.21,0.24]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得到1x(1-0.3)'<0.2,利用對數(shù)運算法則與換底公式運算即可得解；

(2)根據(jù)(1)中計算結果，給予駕駛員乙合理的建議即可；

(3)設駕駛員乙停止喝酒后，血液中酒精含量每小時下降比率為根據(jù)題意得到關于“2的不等式組，解

之即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，駕駛員甲停止喝酒后，經(jīng)過“、時后，體內的酒精含量為1x(1-0.3)'mg/mL,

只需1x(1—0.3)'<0.2,即07<0.2,所以log0.707>logo.70.2,

lg0.2_lg2-lgl00.3010-1

?4.5126,

可得/>logo70.2=lgO.7-lg7-lglO~0.8451-1

取整數(shù)為，=5時，滿足題意.

所以駕駛員甲至少要經(jīng)過5個小時才能合法駕駛.

【小問2詳解】

因為駕駛員乙在停止喝酒5小時后駕車，卻被認定為酒后駕車，

說明駕駛員乙血液中的酒精含量每小時下降比率比駕駛員甲小，

所以駕駛員乙在停止喝酒5