2023-2024學年四川省達州外國語學校高三（上）入學數(shù)學試卷（理科）（含解析）

2023-2024學年四川省達州外國語學校高三（上）入學數(shù)學試卷

（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={到1<1083（%—2）<2},8=卜€(wěn)2|/一6420},則4。8=（）

A.（-00,-8]U[8,11）B.[8,11）

C.[8,9,10}D.[8,9,10,11]

2.為支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅收進行適當減免，現(xiàn)調(diào)查了當?shù)?/p>

100家中小型企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，則下面結(jié)論

正確的是（）

A.a的值為0.0016

B.樣本的中位數(shù)大于400萬元

C.估計當?shù)刂行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)超過400萬元

D.樣本在區(qū)間[500,700]內(nèi)的頻數(shù)為18

3.已知復(fù)數(shù)z=a2-3a+（a2-l）i,aER,則“a=0”是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知t=l,執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

A.3B.<y5-1C./T5-/T4D.4

5.一個幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）

A.18兀B.217rC.277TD.367r

6.在數(shù)列｛%｝中，%=1,a2=3,a3=5,anan+3=1,則logs%+log5a2+…+

l°§S￡l2022=（）

A.0B.1C.log53D.log515

7.已知4、B、C三點共線（該直線不過原點0）,且a=mOB'+2n0C（m>0,n>0）>則+:

的最小值是（）

A.10B.9C.8D.4

8.七人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則排法共有（）

A.48種B.96種C.240種D.480種

9.為測量兩塔塔尖之間的距離，某同學建立了如圖所示的幾何模型.若AL4_L平面力BC,NB1

平面4BC,AC=60m,BC=70y/~3m，tanzMM=7,cos/NCB="，NMCN=150。，則

415

塔尖MN之間的距離為（）

N

A.75<10mB.C.75yT7mD.75m

10.過雙曲線C：今一，=l(b>a>0)的焦點Fi作以焦點尸2為圓心的圓的一條切線，切點為

M,AFiF2M的面積為yC?,其中c為半焦距，線段MR恰好被雙曲線C的一條漸近線平分，

則雙曲線。的離心率為()

A.4B.2C.—D.2或出

33

11.已知點力合,。)在函數(shù)f(x)=COS(3X+w)(3>0,0<W<兀)的圖象上，直線X屋是函

數(shù)圖象的一條對稱軸.若f(x)在區(qū)間第學內(nèi)單調(diào)，則,=()

A.'B.C.名D.年

6336

12.已知函數(shù)f(%)=e*ln|x|,a=/(—/n3),b=/(/n3),c=/(3e),d=/(e3),則a,b,

c,d的大小順序為()

A.a>b>c>dB.d>c>b>aC.c>d>b>aD.c>d>a>b

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知圓C：(%++⑶-2)2=4,則過點P(l,3)作圓C的切線1的方程為.

14.若變量x,y滿足｛胃I｝，'則2x+y的最小值為.

15.已知橢圓C：9+9=1的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,M為橢圓C上任意一點，N為圓E：

(x-3)2+(y-2產(chǎn)=1上任意一點，則|MN|-|M&|的最小值為.

16.已知函數(shù)/1(%)=(x+I)2+ln2x-27n(%+1+Znx)+2m2,若存在實數(shù)和，使得/(&)W

2成立，則實數(shù)m的可能取值為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2b-cosA=c?cosA+a?cosC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=17，b+c=4,求be的值.

18.(本小題12.0分)

成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數(shù)超114萬，志愿服務(wù)時長超268

萬小時.2022年6月，成都22個市級部門聯(lián)合啟動了2022年成都市青年志愿服務(wù)項目大賽，項

目大賽申報期間，共收到331個主體的416個志愿服務(wù)項目，覆蓋文明實踐、社區(qū)治理與鄰里

守望、環(huán)境保護等13大領(lǐng)域.已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊伍申報，主管部門組織專家對志愿者

申報隊伍進行評審打分，并將專家評分(單位：分)分成6組：[40,50),[50,60),…，[90,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中m的值；

(2)從評分不低于80分的隊伍中隨機選取3支隊伍，該3支隊伍中評分不低于90分的隊伍數(shù)為X,

求隨機變量X的分布列和期望.

19.(本小題12.0分)

如圖，在長方形4BC0中，AB=2AD=2/7,M為CC的中點，將△ADM沿AM折起，使得4D1

BM.

D,

(1)求證：平面ADMJ?平面48cM；

(2)若E點滿足屁=jBD,求二面角E-AM-。的余弦值.

20.(本小題12.0分)

已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F.且尸與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小

值為4.

(1)求拋物線的方程；

(2)若點P在圓M上，PA,PB是C的兩條切線.A,B是切點，求APAB面積的最大值.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=xlnx—ax2—%,aER.

(1)若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)若%1，%2(%1<%2)為/(X)的兩個不同極值點，證明：4仇％1+lnx2>3.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為&二U°s°(9為參數(shù))，將曲線C上的點按

(，_C

坐標變換”=亍“得到曲線C',以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系

y'=y

設(shè)4點的極坐標為?/).

(1)求曲線C'的普通方程；

(2)若過點4且傾斜角為著的直線，與曲線C'交于M,N兩點，求|AM|74N|的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=|3x+3|—|2x一6|.

(I)求不等式/(工)之工―4的解集；

(11)設(shè)/(吟的最小值為小，若正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=—m,求必+尤+4的最小值.

cab

答案和解析

I.【答案】c

2

【解析】解：集合4={x|l<log3(x-2)<2}={x［5<x<11},B={%eZ\x-64>0}={xe

Z\x<一8或x>8},

■■■AC}B={8,9,10},

故選：C.

先求出集合4B,再利用集合運算的定義求解.

本題主要考查了集合間的基本運算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由頻率分布直方圖可得，100x(0.001+0.002+0.0026x2+a+0.0004)=1,解

得a=0.0014,故選項A錯誤；

所以樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為100x(0.0014+0.0004)X100=18,故選項。正確.

100X(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5,故中位數(shù)再［300,400］之間,設(shè)中位數(shù)為工,

則有0-300)x0.0026=0.2,解得x-377<400,故選項B錯誤；

收入的平均數(shù)為150X0.1+250x0.2+350x0.26+450X0.26+550x0.14+650x0.04=

376<400,故選項C錯誤.

故選：D.

由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，先求出樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻率，再利用樣本容量、頻率、頻數(shù)

的關(guān)系求解，利用頻率分布直方圖中位數(shù)和平均數(shù)的求解方法，即可選出答案.

本題考查了頻率分布直方圖的理解和應(yīng)用，主要考查了利用頻率分布直方圖求解頻率、頻數(shù)、平

均數(shù)、中位數(shù)等，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：若復(fù)數(shù)z=a2-3a+(a2-l)i為純虛數(shù)，

則卜；一儼：°，［￡1=0或&=3,

(a2-10

??.則a=0是z為純虛數(shù)的充分不必要條件，

故選:A.

利用純虛數(shù)的定義求出a,再利用充要條件的定義判定即可.

本題考查了純虛數(shù)的定義，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

1

【解析】解:=Vfc4-1-y/~k

-J~k+l+Ik9

???當t=1時，

s=Tro+n+n+c+c+…+E+E+E+K=CT+C-C+C-

V-3+…+>T15-<T4+V-16-/T5=7-16-1=4-1=3.

故選:A.

由廣心七斤=Vfc+T-口,根據(jù)程序框圖計算S=』+y=^=+尋0+-

Vk+l+VkV24-1V3+v2v4+V3

+,—],—+,-1,—即可.

<I5+<14

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是

基礎(chǔ)題.

即可得解.

本題考查球體體積公式，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由九+3=1，得。?1+3an+6=1，

兩式相除可得冊=即+6，

??.數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，

又Q71azi+3=1，。1。4=Q2a5=Q3a6=1，

則由Q2a3a4a5a6=(aia4),(a2as)，(a3a6)=1，

A337lo

log3ax+log5a2+…+log5a2022=log…a2022)=Log5g投2-?6)=9s^=

故選:A.

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛0｝是以6為周期的周期數(shù)列，結(jié)合即即+3=1與對數(shù)的運算性質(zhì)即可

求得log5al+log5a2+…+log5a2022的值?

本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)特性及對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由“4、B、C三點共線（該直線不過原點。），且初=m而+2n爐”可知m+2n=

l（m>0,n>0）,

.一+工=（7n+2口（2+3=4+加+—4+2心豆=8,當且僅當傳1瓷=1即『不時

取“=”.

.一+工的最小值是8.

mn

故選：c.

由“力、B、C二點共線（該直線不過原點0）,且04=mOB+2n0C"可知m+2n=1,然后把，

轉(zhuǎn)化為（m+2n）（，+；）,可解決此題.

本題考查平面向量基本定理、基本不等式，考查數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：先排甲有2種方法，再把乙、丙兩人捆綁在一起，看作1個復(fù)合元素，和剩下的4人

全排，

故有禺掰鹿=480種.

故選：D.

先排甲有2種方法，再把乙、丙兩人捆綁在一起，看作1個復(fù)合元素，和剩下的4人全排，即可求

解.

本題考查了分步計數(shù)原理，以及捆綁法，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：依題意'在中'AC=60m,tanzMC/1=

tapMCZ=怨=券=g,可得4M=45?n,

AC604

則CM=VAM2+AC2=V452+602=75-

在RtABCN中,BC=70>J~3m,cos/NCB=^，

則CN=coslwCB=與'=75/3,

15

在AMNC中，ZMC/V=150°,由余弦定理可得：

MN=VCM2+CN2-2CM-CN-coszMC/V=J752+(75<^)2-2x75x75<3cosl50°=

75c.

故塔尖MN之間的距離為75「m.

故選：C.

先在RtAMAC中求得CM,RtABCN中求得CN,再在△MNC中利用余弦定理求MN即可.

本題考查解三角形，數(shù)形結(jié)合思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：由題意可得MFi_LM&，

設(shè)|例&|=3則||MFzl=74c2-尸,

由4F]F2M的面積為可得XV4c2-t2=^-^c2>

解得t=c或t=V_3c>

線段M0恰好被雙曲線C的一條漸近線平分，

由三角形的中位線定理可得“后垂直于漸近線bx+ay=0,

可得&到漸近線的距離為d==b,

其中c為半焦距，線段MR恰好被雙曲線C的一條漸近線平分，

所以2b-c或2b=\J_3cy

所以離心率e=亨或e=2.

又因為6>a,所以e=J1+C)2>q>亨.

故選：B.

由題意可得MFiIMF2,由三角形的面積公式推得圓的半徑，再由三角形的中位線定理，可得。到

漸近線的距離為半徑的一半，結(jié)合離心率公式，可得所求值.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及三角形的中位線定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬

于中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：由題意得，1-喘=：2)=白得得324,

62484232a)8

12TT、7T71

綜上可得，4<0)<6,

當⑦=4時，cos(4~+<p)=0,得尹="十/，fcGZ,

又0VW<%，所以。=*

此時，直線工屋是函數(shù)/(無)=煙(4%+9的圖象的一條對稱軸，.

所以9=宗

當co=5時，cos(5x￡+0)=0,可得,=攵兀+*fceZ,

又0<0<兀，所以w=1^,

此時，cos(5x>舞不是最值，故直線X屋不是函數(shù)/"(%)的圖象的一條對稱軸.

當3=6時，cos(6x五+3)=0,得伊=上兀+彳，keZ,

又o<R<兀，所以乎=:,

此時，cos(6x會+》=0,不是最值，

所以直線x=譽不是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸.

綜上，可得3=4,0=全

故選：B.

由題意根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到周期的范圍，結(jié)合函數(shù)零點與對稱軸之間的關(guān)系求出租即可.

本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合的單調(diào)區(qū)間以及對稱軸對稱中心之間的關(guān)系求出周期和

3是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解:因為a=f(-ln3)=e-m31nsi3)=蛆臀,b=f(ln3)=e㈣n(/n3)=3ln(ln3),

所以a<b.

因為函數(shù)/(x)=ex】n|x|在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以b,c,d中b最小.

構(gòu)造函數(shù)g(無)=x-e/nx,則g'(x)=三，當x2e時，g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間［e,+8)上單

調(diào)遞增，

所以g⑶=3—eln3>g(e)=0,所以3>e/n3.所以e3>3e,所以d>c,

所以d>c>b>a.

故選：B.

把a,b化簡即可得出大小關(guān)系，利用函數(shù)/(x)=6，網(wǎng)引在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)性，可得b,c,d中

b最小.構(gòu)造函數(shù)g(久)=x-e/nx,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得d,c大小關(guān)系.

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

13.【答案】x=1或3x+4y-15=0

【解析】解：?.?圓C：(x+1)2+(y-2)2=4,

???圓心為(一1,2),半徑r=2,

當直線1的斜率不存在時，其方程為x=L

圓心(-1,2)到x=l的距離d=2,滿足題意,

當直線，的斜率存在時，

設(shè)直線，的方程為y—3=k(x—1),即kx—y—k+3=0,

???直線，與圓相切,

.\-k-2-k+3\_

?,r=一乙

jJi解得k=4

二直線I的方程為y—3=—1(x—1),即3x+4y—15=0,

綜上所述，直線I的方程為x=1或3x+4y-15=0.

故答案為：%=1或3x+4y-15=0.

當直線1的斜率不存在時，其方程為x=l,圓心(-1,2)到x=l的距離d=2,滿足題意，當直線1的

斜率存在時，

設(shè)直線I的方程為y-3=k(x-1),SPkx-y-k+3=0,結(jié)合點到直線，的距離為半徑，即可求

解.

本題主要考查圓的切線方程，掌握點到直線距離公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-2

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

由圖可得，71(-1,0),

令z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知，當直線y=-2x+z過工時，

直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-2.

故答案為：-2.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐

標代入目標函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】2/1-5

【解析】解：如圖所示，絆

?.?橢圓c；3+9=1，

又*M為橢圓C上任意一點，N為圓E：(x-3)2+(y-2)2=1上任意------

一點，

|M&|+|MFzl=%|MN|2|ME|-1(當且僅當M,N,E共線時取等號)，

\MN\-IMF/=\MN\-(4-|MF2|)=\MN\+|MF2|-4>\ME\+\MF2\-5>\EF2\-5,

當且僅當M,N,E,F2共線時，等號成立，

??旺2(1，0)，以3,2),

A\EF2\=J(3-I.+(2-0)2=

???|MN|-IMF/的最小值為2。-5.

故答案為：2C-5.

根據(jù)橢圓的定義,將的最小值轉(zhuǎn)化為|MN|+|MF2|-4,再根據(jù)|MN|>|ME|-1(當

且僅當M,N,E,尸2共線時，等號成立)，再結(jié)合兩點之間的距離公式，即可求解.

本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，考查數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題.

16.【答案】14//

【解析】解：因為f(x)=i=x+i//

(x+1)2+In2%-/，/

2m(x+1+Inx)+//

27n2//

g(x)=btx

=[%-(m-I)]2+

(Znx—m)2,

=[(%+I)2—2m(x+1)+m2]+[In2%—2mlnx4-m2]

其幾何意義為：點到點(m-l,m)的距離的平方，其中點(相"》)在函數(shù)g(x)=仇》上，點

(m一l,?n)在直線y=x4-1上，

則g'(x)=￡，令g'(x)=l,解得x=l,g(l)=O，設(shè)4(1,0),

所以函數(shù)g(x)在點x=1處的切點與直線y=x+1平行，

所以點4到直線y=x+1的距離即點(x/nx)到點(m-l,m)的距離的最小值，

因為點4到直線直線y=x+1的距離d=1=，克，

所以/(x)》2,又存在實數(shù)近，使得/(Xo)W2成立，

所以存在實數(shù)殉，使得f(xo)=2成立，

由圖可知，.為過點2且垂直直線y=%+1與直線y=-%+1的交點的橫坐標，

由g二:解得久=0,即％o=0,

當且僅當久=X。=0,m-1時，/(x)=2,

所以m的所有可能取值為L

故答案為：1.

整理得/'(X)=[x-(m-l)]2+(Znx-m)2,其幾何意義為(x,到點(m-l,m)的距離的平方,

即函數(shù)g(x)=上的點與直線y=x+1上的點的距離的平方，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖

象，利用點到直線間的距離公式可求得了(x)22,與已知“存在實數(shù)與，使得f(x°)W2成立"聯(lián)

立，可得/(&)=2,進一步求得沏，繼而求得m的可能取值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，

考查作圖能力與數(shù)學運算能力，屬于難題.

17.【答案】解:(1)已知等式2b-cosA=c-cosA+a-cosC,

由正弦定理化簡得：2sinB-cosA=sinCcosA+sinAcosC,

即2s譏BcosA=sin(4+C)=sinB,

在△ABC中，sinBW0,

,1A

■■cosA=二A=與；

zJ

(2)a=yf~7，人=*

由余弦定理得:

a2=b2+c2-2bccos600=7,

代入b+c=4得(b+c)2—3be=7

be=3.

【解析】(1)利用正弦定理化簡已知等式，變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡,

根據(jù)s譏8不為。求出cos4的值，即可確定出A的度數(shù)；

(2)利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將b+c,a以及cosA的值代入求出be的

值.

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是利用這兩個定理完成了邊角問題的互

化.

18.【答案】解:⑴由(0.004x2+0.022+0.030+0.028+m)x10=1,

解得m=0.012.

(2)由題意知不低于80分的隊伍有50x(0.12+0.04)=8支，

不低于90分的隊伍有50x0.04=2支.

隨機變量X的可能取值為0,1,2,

所以P(X=0)=§=得,P(X=1)=警=￡P(guān)(X=2)=萼=

所以X的分布列為：

X012

5153

P

142828

???E(X)=0x卷+1X薨+2x91

【解析】(1)利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可；

(2)先求出評分不低于80分的隊伍數(shù)，以及評分不低于90分的隊伍數(shù)，確定隨機變量X的取值，求

出概率，寫出分布列，求得期望.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

解：(1)證明：根據(jù)題意及平面圖形易得BM_LAM,

又且AMC4。=4,

BM_L平面40M,又平面4BCM,

.,?平面ADM1平面力BCM：

(2)分別取AM、4B的中點。、F,連接。F,DO,

則0/7/BM,由(1)知BM_L平面40M,

???OF_L平面AOM,

又易知ID。1AM,又由(1)知平面力DM1平面ABCM,

。。＜=平面40”,平面4DMn平面4BCM=AM,

???DOJ"平面4BCM,

建系如圖，根據(jù)題意可得0(0,0,0),4(1,0,0),5(0,1,0),

B(-l,2,0),M(-l,0,0),D(0,0,l),

又盛=|麗，

0E=^0B+l0D=|(-1,2,0)+1(0,0,1)=

又不？=(1,0,0),

設(shè)平面瓦4M的法向量為沆=(%,y,z),

.i沆,OE=——%+^y+—z=0加一,er八

則m_33Z3,取m=(0,1,-1),

m-0^4=%=0

又易知平面AMD的法向量為記=0F=(0,1,0),

設(shè)二面角E-4M-D的平面角為仇由圖可知。為銳角,

???cosO=|cos<m,n>|=晟秋=?，

二二面角E-AM-。的余弦值為C.

2

【解析】(1)根據(jù)題意及平面圖形易得BM_L力M,又ADIBM,從而可得BM1平面再利用

面面垂直的判定定理即可證明；

(2)建系，將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為兩半平面的法向量所成角，再利用向量夾角公式即可求解.

本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法解二面角，向量夾角公式和的應(yīng)用，

屬中檔題.

20.【答案】解:(1)焦點F(0,方到圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為名+3=4,則p=2,

故拋物線的方程為：%2=4y,

(2)因為拋物線C的方程為y=對其求導(dǎo)得y'=：x,設(shè)點A(xi，yi),B(x2,y2)-P(x0,y0),

直線PA的方程為y-/=：(x-與)，即丫=華一y］，即Xi*-2%-2y=0,

同理可知，直線PB方程為g%-2丫2-2丫=0,由于點P是這兩條直線的公共點，則

儼1g-2yl-2y0=0

{x2xQ-2y2-2y()=O'

所以，點4、B的坐標滿足方程殉％-2y-2y0=0,所以，直線AB的方程為：-2y-2y0=0,

xox-2y-2yo=O

聯(lián)立/，可得/-2xx+4yo=0,由韋達定理可得Xi+x-2x,xx=4y,

9=彳o20120

所以，\AB\=J1+（卯,4x^-16y0=J（另+4）（用-4y°）,

|%n-4y|

點P到直線48的距離為d=r-^—0,

J舄+4

所以，SMAB=I\AB\-d=YJ（詔+4）（詔-4y（））??萼生=|（x^-4y0）^,

J監(jiān)+4

22

"x^-y0=l-(y0+4)-4yo=-yl-12yo-15=-(y0+6)+21,

由已知可得一5S%W-3,所以當先=一5時，△P4B面積的最大值為gx20,=20仁.

【解析】(1)根據(jù)點?(0,會到圓M：/+(y+4)2=1上點的距離的最小值為13=4,可解p,從

而可得保準方程.

(2)利用拋物線方程可得為y=；/,對其求導(dǎo)得y'=Tx，設(shè)點yI)，B(x2,y2')>PQo，yo)，

分別表示出直線P4、直線PB的方程，從而可得直線的直線方程，進而利用韋達定理表示出|AB|,

以及點P到直線4B的距離為d,從而可得APaB面積，利用一5Sy°S-3,結(jié)合二次函數(shù)定義可

解.

本題考查直線與拋物線的綜合問題，采用設(shè)而不求的思想解決三角形相關(guān)問題，屬于較難題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)定義域為(0,+8),根據(jù)題意知「(%)=lnx-2ax>0有解,即a<驍有

解，

令g(x)=*則g'(x)=等，

且當0Vx<e時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當％,e時，g'(%)V0,g(x)單調(diào)遞減，

???Q<g(%)max=g(e)=

???a￡(-8點；

(2)證明：由%1，%2是/(%)的不同的極值點，知%1，*2是f'(x)=0的兩根，

[]..(lnx1—2axr=0...(Inx-^=2axi

、(lnx2—2ax2=0'人(lnx2=2ax2

2a=2,

勺一％2

要證4"+lnx2>3,只需證4?2axi+2ax2>3,即2。(4與4-x2)>3,即證也^^(4/4-

xl~x2

%2)>3,

v<%2，

???只需證InO<孚守=華2，

x4勺+%24」+l

2x2

令t=茅0<t<1,則問題轉(zhuǎn)化為證明火t)=Int-4押<0(0<t<