湖北省黃石市黃石港區(qū)教研協(xié)作體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

湖北省黃石市黃石港區(qū)教研協(xié)作體2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期

質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（10月份）（解析版）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=5x^B.y=22-2x

C.y=2x2-3/+1D.

2.(3分)如圖是杭州2022年亞運會會徽.在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的

是()

19thAsianGames

Hangzhou2022

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C..D.

3.(3分)電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元,若每天票房的平均增長率相同,

平均增長率記作無，方程可以列為()

A.2.05(l+2x)=10.53

B.2.05(1+x)2=10.53

C.2.05+2.05(1+x)2=10.53

D.2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53

4.（3分）如圖，在△ABC中，ZBAC=108°,且則NC的度數(shù)為（)

5.（3分）一元二次方程/+x-3=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

6.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（2,3）,則P，的坐標(biāo)為（）

A.（3,2）B.（3,-1）C.（2,-3）D.（3,-2）

7.（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），

對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB=4cm,最低點C在x軸上，BD=2cm,則右輪廓

C.y=-A（x+3）2D.y=-A（x-3）2

4-4

8.（3分）如圖，在RtZXABC中，N84C=90°,。為BC邊上一點，將△AB。繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)90°得到連接BE,將AC平移得到。尸（點4、C的對應(yīng)點分別為點D、

F）,若AB=3近,80=2則AF的長為（）

E

A.2^B.6C.672D.A/22

9.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法.以方程，+5x-14=0,

即x（x+5）=14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的

面積，即4X14+52,因此x=2.小明用此方法解關(guān)于x的方程/+〃a-〃=0時，構(gòu)造出

同樣的圖形，已知大正方形的面積為14,則（）

C.mW，〃=2D.m=2,5

m

2嗔

10.（3分）如圖，拋物線y=o?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C(0,-1)

（-4,0）與（-3,0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為。對稱軸是直線x=-2.下

列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①abcVO；

卜2

②4c<—；

a

@a>4;

3

④若三點（-3,yi）,（-2,*）,（1,y3）均在函數(shù)圖象上，則

⑤若。=-1,則△48。是等邊三角形.

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（-3,2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是.

12.（3分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：

直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意思是：矩形面積864

平方步，問寬和長各幾步.若設(shè)長為x步，則可列方程為.

13.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度人（單位：m）與飛行時間？（單位：s）2,則小

球從飛出到落地所用的時間為5.

14.（3分）如圖，在矩形A8C￡）中，48=8,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,

AE交CD于點H,則AH的長為.

2

15.（3分）實數(shù)a、b滿足a2-7?+2=0,y-76+2=0,則（a+b）-2ab

16.（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,A8=4,以BC為對角線作正方形8QCE,連接

AO則AD的最大值是

BD

三、解答題(本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(8分)解方程

(1)，2%-3=0

(2)x(%-2)+x-2=0

18.(8分)如圖所示，點。是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接04,OC,ZAOB=[50°,將

△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AQC.

(1)求ND4O的度數(shù)；

(2)用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系

19.(8分)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系

(1)將aABC向右平移6個單位長度得到△AiBiCi請畫出△A181C1；

(2)畫出△A1B1C1關(guān)于點O的中心對稱圖形282c2;

(3)若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△42&C2,旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為.

y八

20.（8分）已知關(guān)于x的方程欠-3彳+1=0有實數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為xi和冠，當(dāng)XI+X2+XIX2=4時，求”的值.

21.（8分）我們將+Vb）-^（VI-Vb）稱為一對“對偶式”.可以應(yīng)用“對偶式”求

解根式方程.比如小明在解方程A/24-X時,采用了如下方法：

由于G/24-X-V8-x）（V24-xW8-x）=-24-x）2-（V8-x）2=（24-x）-（8

-x）=16,

又因為<24-x=2?>所以j24-xWFx=8②，由①+②可得A/24-X=5-

將亞工7=5兩邊平方解得x=-1，代入原方程檢驗可得x=-1是原方程的解.

請根據(jù)上述材料回答下面的問題：

（1）若m=2-J§的對偶式為〃，則機(jī)x〃=；（直接寫出結(jié)果）

（2）方程夜7邁+7^40=16的解是；（直接寫出結(jié)果）

（3）蒯?.方程：Y4x2+6x-5+44x2-2x-5=4x,

22.（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的

銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第f個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其

圖象是函數(shù)P=229（0<fW8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），。與f之間滿

t+4

2t+8,0<t<12

足如下關(guān)系：Q=,

-t+44,12<t<24

(1)當(dāng)8<fW24時，求P關(guān)于f的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)第f個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位：萬元)

①求w關(guān)于，的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336WwW513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月

毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.

23.(10分)如圖，在RtZvlBC中，ZACB=90°,點。為AB邊上一點，連結(jié)CZ)

(1)如圖1,若NBCE=2NDBE,BE=4；

(2)如圖2,延長EB到點尸使EF=CE,分別連結(jié)CHA尸交EC于點G.求證：BF

=2EG；

(3)如圖3,若AC=AD,點M是直線AC上的一個動點，將線段繞點。順時針方

向旋轉(zhuǎn)90°得到線段“。，點P是AC邊上一點，Q是線段C。上的一個動點，連結(jié)尸Q,

請直接寫出的度數(shù).

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)=0?+版-3(a>0)與x軸交于A(-

1,0)、B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為直線BC下方拋物線上的一動點,PMLBC于點M,PN//y軸交BC于點N.求

線段PM的最大值和此時點P的坐標(biāo)；

(3)點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角

三角形CEQ?若存在：若不存在，請說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，共30?0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=5x2B.y=21-2x

C.y=2jr-3^+1D.

x

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，y=oAbx+c（。、b、c為常數(shù)，〃W0）,判斷即可.

【解答】解：A、y=5/,是二次函數(shù)，故A符合題意；

B、y=22-2x,是一次函數(shù)；

C、y=（yjr-3JI6+1,不是二次函數(shù)；

D、故O不符合題意；

4

x

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽.在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的

是（）

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c.D.

【分析】根據(jù)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小解答.

【解答】解：觀察各選項圖形可知，B選項的圖案可以通過平移得到.

故選：B.

【點評】本題考查了利用平移設(shè)計圖案，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形

的形狀和大小，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn).

3.(3分)電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，

平均增長率記作x,方程可以列為()

A.2.05(1+2%)=10.53

B.2.05(1+x)2=10.53

C.2.05+2.05(1+x)2=10.53

D.2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53

【分析】根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約2.05(1+x)億元、第三天

票房約2.05(1+x)2億元，根據(jù)三天后累計票房收入達(dá)10.53億元，即可得出關(guān)于x的

一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???第一天票房約2.05億元，且以后每天票房的增長率為x,

第二天票房約2.05(2+x)億元，第三天票房約2.05(1+x)8億元.

依題意得:2.05+2.05(7+x)+2.05(1+x)7=10.53.

故選：D.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

4.(3分)如圖，在AABC中，ZBAC=108°,且A8'=CB',則NC的度數(shù)為()

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得由等腰三角形的性質(zhì)可得NC=

NB=/ABB由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：

:.NC=NCAB，,

：.ZAB'B=ZC+ZCAB'=2ZC,

:將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC,

.,.NC=/C,AB=AB',

：.ZB=ZAB'B=2ZC,

VZB+ZC+ZCAB=180°,

；.3/C=18O°-108°,

；.NC=24°,

.,.ZC=ZC=24°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些的性質(zhì)解決問題是

本題的關(guān)鍵.

5.(3分)一元二次方程f+x-3=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【解答】解：；A=?-5X(-3)=13>0,

二方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根.

故選：A.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c=Q(a#0)的根與A=b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相

等的兩個實數(shù)根；當(dāng)AV0時，方程無實數(shù)根.

6.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點尸(2,3),則P的坐標(biāo)為()

V小P

A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)

【分析】作PQLy軸于Q,如圖，把點P(2,3)繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'

看作把△OPQ繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OPQ',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NPQ,

0=90°,ZQOQ'=90°,P'Q1=PQ=2,OQ'=。。=3,從而可確定P'點的坐

標(biāo).

【解答】解：作尸Q_Ly軸于。，如圖,

,:P（2,3）,

：.PQ=2,。。=3,

?.,點P（2,8）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P,相當(dāng)于把△OPQ繞原點O順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到△OP0,

：.ZP'Q'0=90°,ZQOQ'=90°,OQ'=OQ=3,

...點P'的坐標(biāo)為（3,-7）.

故選：D.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖

形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

7.（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示）,

對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB=4cm,最低點C在x軸上，BD=2cm,則右輪廓

【分析】利用8、。關(guān)于），軸對稱，CH=\cm,BO=2CM可得到。點坐標(biāo)為（1,1）,

由AB=4cm,最低點C在x軸上，則AB關(guān)于直線C”對稱，可得到左邊拋物線的頂點C

的坐標(biāo)為（-3,0）,于是得到右邊拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（3,0）,然后設(shè)頂點式利

用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.

【解答】解：?.?高C”=la〃，BD=2cm,。關(guān)于y軸對稱，

二。點坐標(biāo)為（3,1）,

〃尤軸，AB=4cm,

...A8關(guān)于直線C”對稱，

左邊拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（-5,0）,

.?.右邊拋物線的頂點尸的坐標(biāo)為（3,4）,

設(shè)右邊拋物線的解析式為y=a（x-3）2,

把。（2,1）代入得l=aX（3-3#,解得°=匡,

4

.?.右邊拋物線的解析式為>=工（x-3）2,

6

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用實際問題中的數(shù)量關(guān)系與直角坐標(biāo)系中線段

對應(yīng)起來，再確定某些點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋

物線的性質(zhì)解決問題.

8.（3分）如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。為8C邊上一點，將△ABQ繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE,連接BE,將4c平移得到OF（點A、C的對應(yīng)點分別為點￡>、

F）,若AB=3&,B￡>=2則AF的長為（）

【分析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=CE=2,/ACE=/A8O=45°,由勾股定理得到BE,由

“SAS”可證aABE好△。次，可得BE=AF,于是得到結(jié)論.

【解答】解：；NBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC^ZACB=45°,8C=&,

?.?將△AB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4CE,

：.BD=CE=2,ZACE=ZABD=45°,ZDAE=90",

AZBCE=90°,

BE=V36+4=3A/TO；

；NBAC=ND4E=90°,

...NBAC+/D4E=180°,

：.ZBAE+ZDAC=\S00,

：AC平移得到DF,

：.AC=DF=AB,AC//DF,

：.ZADF+ZDAC=\S00,

：.ZADF=ZBAE,

在△A8E和△。船中，

，AB=DF

?ZBAE=ZADF.

AE=AD

：./\ABE^^DFA（SAS）,

：.BE=AF=2yflQ,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運

用性質(zhì)性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵

9.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法.以方程x?+5x-14=0,

即x（x+5）=14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的

面積，即4X14+52,因此x=2.小明用此方法解關(guān)于x的方程/+3-"=0時，構(gòu)造出

同樣的圖形，己知大正方形的面積為14,則（）

Xx+5

D.m=2,

n2

【分析】畫出方程/+，如-〃=0的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系得〃?=4,4"+4=14,

即可得出結(jié)論.

/n=V4=6—,

2

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解

題的關(guān)鍵.

10.（3分）如圖，拋物線y=o?+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C（0,-1）

（-4,0）與（-3,0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為。對稱軸是直線x=-2.下

列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①abcVO；

卜2

②4c~；

a

③a＞』

3

④若三點（-3,yi）,（-2,*）,（1,”）均在函數(shù)圖象上，則"＞”＞丁1；

⑤若。=-1,則△48。是等邊三角形.

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷①；根據(jù)圖象與x軸的解得即可判斷②；

與對稱軸得出b=4a,進(jìn)而得出y=ax2+bx+c=ax2+4ax-\=a(x+2)2-4a-1,令y=0,

解方程求得較小的一個根為-而工-2<-3,解不等式即可判斷③；由各點到對稱軸

的距離即可判斷④；當(dāng)“=-1時，拋物線的解析式為y=-(x+2)2+3,求得。(-2,

3),再求得與x軸的交點，即可判斷⑤.

【解答】解：???圖象的開口向下，

??CL0,

??,圖象與y軸的交點為(0,-3),

/.c=-1,

??,拋物線的對稱軸為-2,

4a

.\b=4a<6f

?\abc<0f

，①符合題意，

???拋物線與x軸有兩個交點,

:.序-8〃c>0，

???〃vo,

???②不符合題意,

由題意得：y=ax2+bx+c=ax3+4ea-\=a（尤+7）2-4<z-8,

???當(dāng)y=0時，較小的一個根為-

:.-4-2<-3,

解得4<-』，

6

二③不合題意，

丁點（-3,yi）,（-3,”），（b”）中，到對稱軸直線x=-2距離最大的是（1,”），

到（-2,”）在對稱軸上，

.,.），4>丁1>”；

???④不合題意，

當(dāng)〃=-3時，拋物線的解析式為y=-（x+2）2+6,

：.D（-2,3）,

取y=4,得-（x+2）2+8=0,

解得XI=-JE-2,X2=A/3-2,

（-V3-8,B（后0）,

：.AD=BD=AB=5y/3,

...△ABO是等邊三角形，

⑤符合題意，

...符合題意的有①⑤，

故選：A.

【點評】本題主要二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記二次函數(shù)解析中的系數(shù)對圖象

的影響，二次項系數(shù)影響圖象的開口方向，。、匕影響圖象的對稱軸，c影響圖象與y軸

的交點.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（-3,2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（3,-2）.

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

；?點（-3,2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（6,

故答案為（3,-2）.

【點評】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，難

度較小.

12.（3分）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：

直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步.問闊及長各幾步.意思是：矩形面積864

平方步，問寬和長各幾步.若設(shè)長為X步，則可列方程為x（*-12）=864.

【分析】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x-12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，

即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：???長為x步，寬比長少12步，

.,?寬為（%-12）步.

依題意，得：xCx-12）=864.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度〃（單位：加）與飛行時間/（單位：s）2,則小

【分析】根據(jù)關(guān)系式，令〃=0即可求得f的值為飛行的時間

【解答】解：

依題意，令〃=0得

0=20?-2?

得f（20-5f）=3

解得f=0（舍去）或f=4

即小球從飛出到落地所用的時間為5s

故答案為4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，關(guān)鍵在

于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數(shù)解決實際問題.此

題較為簡單

14.（3分）如圖，在矩形ABCO中，AB=8,將矩形ABC。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,

AE交CD于點則AH的長為6.25.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AB=8,設(shè)A”=C〃=x,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：???將矩形ABC3繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,

.?.AE=AB=8,

"：DH=EH,

：.AH=CH,

設(shè)AH=CH=x,

：.DH=8-x,

VZD=90°,

.\ADJ+DH2^AH2,

即22+（8-x）6=/,

解得：x=6.25,

即AH的長為3.25,

故答案為：6.25.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股

定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2

15.（3分）實數(shù)〃、匕滿足J-7a+2=0,02-76+2=0,則（a+b）-2ab=2或生.

ab2

【分析】分類討論：當(dāng)易得原式=2；當(dāng)。#江可把。、b看作方程7-7x+2=o

的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=l,ab=2,然后利用整體代入的方法可計算出

原式=生.

2

【解答】解：當(dāng)。=萬，原式=2；

當(dāng)貝I」/-7x+2=0的兩根，

所以a+Z?=6,ab=2,

所以原式=處至=至，

82

2

即（a+b）Tab的值為2或9.

ab2

故答案為5或變.

2

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若xi,X2是一元二次方程"2+法+°=0（〃W0）的

兩根時，Xl+X2=—殳，XIX2——.

aa

16.（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,A3=4,以8。為對角線作正方形BDCE,連接

A。則AD的最大值是上運.

-2一

【分析】將△AB。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：4B=CM=

4,DA=DM.ZADM=9QQ,推出△AOM是等腰直角三角形，推出AD=^AM,推

2

出當(dāng)4M的值最大時，4。的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出4M的最大值即可解決

問題.

【解答】解：將△ABQ繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,得AMCD

且/A￡>M=90°,

.?.△AOM是等腰直角三角形，

：.AD=^-AM,

4

AO最大，只需AM最大，AM<AC+CM,

.?.當(dāng)且僅當(dāng)A、C、M在一條直線上，AM最大,

此時4￡>=返工加=百巨，

22

故答案為：回巨.

2

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

三、解答題(本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(8分)解方程

(1)/-2x-3=0

(2)x(x-2)+x-2=0

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)VA2-lx-6=0,

(x-3)(x+8)=0,

則x-3=5或x+l=0,

解得X6=3,xi--7；

(2)Vx(x-2)+x-2=7,

(x+1)(x-2)=2,

.?.x+l=0或x-2=0,

解得xi=-4,X2=2.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關(guān)鍵.

18.(8分)如圖所示，點。是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接。4,OC,NAOB=150°,將

△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AOC.

(1)求/D4O的度數(shù)；

(2)用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系

A

D

\\

B匕-------—

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360。計算即可；

(2)連接。￡),證明△OCO是等邊三角形，得出OC=OD=CD,ZCOD/CDO=60°,

根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論.

【解答】解：(1),.,NAO5=150°,ZBOC=120°,

AZAOC=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/OC￡)=60°,

.*.ZDAO=360o-60°-90°-120°=90°；

(2)線段。4,OB2+OB2=OC5.

如圖，連接on

：△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AOC,

A/XADC^^BOC,ZOCD=60°.

：.CD=OC,/A￡>C=NBOC=120°,

?**/\OCD是等邊三角形，

：.OC=OD^CD,NCOZ)=NC￡>O=60°,

：NAO"150°,NBOC=120°,

AZAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°.

AZDAO=90°.

在RtZVLDO中，ZDAO=90Q,

：.OA2+AD2=OD4.

：.O^+OB1=Od'.

【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

19.（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系

（1）將AABC向右平移6個單位長度得到△AIBICI請畫出△A181C1；

（2）畫出關(guān)于點0的中心對稱圖形282c2；

（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到282c2,旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（-3,0）.

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點Ai,Bi,。即可;

（2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出Ai,Bi,Ci的對應(yīng)點A2,B2,C2即可；

（3）對應(yīng)點連線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心.

【解答】解：（1）如圖，△4BC3即為所求；

(2)如圖，282c6即為所求;

(3)旋轉(zhuǎn)中心。的坐標(biāo)為(-3,0),

故答案為：(-8,0).

【點評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，中心對稱變換等知識，掌握旋轉(zhuǎn)變換,

平移變換，中心對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(8分)已知關(guān)于x的方程依2-3x+l=0有實數(shù)根.

(1)求4的取值范圍;

(2)若該方程有兩個實數(shù)根，分別為xi和X2,當(dāng)XI+X2+XI%2=4時，求k的值.

【分析】(1)分％=0及%￥0兩種情況考慮：當(dāng)％=0時，原方程為一元一次方程，通過

解方程可求出方程的解，進(jìn)而可得出k=0符合題意；當(dāng)2。時，由根的判別式△》()

可得出關(guān)于人的一元一次不等式，解之即可得出々的取值范圍.綜上，此問得解；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出Xl+X2=3,X1X2=—,結(jié)合X1+X2+XIX2=4可得出關(guān)于女

kk

的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)％=0時，原方程為-3x+7=0,

解得：X——,

3

；.k=0符合題意；

當(dāng)&K0時，原方程為一元二次方程，

?.?該一元二次方程有實數(shù)根，

；.△=(-7)2-4XZX62。，

解得：kW

4

綜上所述，%的取值范圍為上

4

(2)和也是方程近2-8x+l=0的兩個根，

O1

.*.X8+X2=—,X7X2=--

kk

VX5+,T2+X1X6=4,

?\3+2=4,

kk

解得：k=l,

經(jīng)檢驗，攵=2是分式方程的解.

的值為1.

【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的定義、解一元一次

方程以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：(1)分出=0及ZN0兩種情況，找出&的取值范

圍；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合M+X2+JOT2=4,找出關(guān)于攵的分式方程.

21.(8分)我們將(立正)與小F)稱為一對“對偶式”.可以應(yīng)用“對偶式”求

解根式方程.比如小明在解方程亞。'-7^=2時，采用了如下方法：

由于G/24-x-V8-x)(V24-X-h/8-x)—“24-x)2-(V8-x)2~(24-x)-(8

-x）=16,

又因為<24-x-VFx=2?.所以）24-x=8②，由①+②可得/24-x=5，

將收工7=5兩邊平方解得x=-1.代入原方程檢驗可得x=-1是原方程的解.

請根據(jù)上述材料回答下面的問題：

（1）若m=2-巡的對偶式為〃，則，"X〃=1；（直接寫出結(jié)果）

（2）方程Mx+42Wx+10=16的解是39；（直接寫出結(jié)果）

（3）解方程：*\/4X^+6X-5Wix^-2x-5=4x-

【分析】（1）由定義直接可得答案；

（2）求出（A/X+42Wx+10）（Vx+42-Vx+10）=32，根據(jù)己知得到

Vx+42-Vx+10=2）兩式相加可得Ux+42=9,再求解即可；

（3）同（2）的方法求解即可.

【解答】解：（1）m=2-?的對偶式為n=4+E，

???mXn=（2-V5）（2W3）=8；

故答案為：1;

（2）Vx+42Wx+10=16①,

A（Vx+42Wx+10）（V^42-Vx+10）=（V^42）2-Wx+10）5=32'

.".Vx+42-Vx+10=2②。x+42=9.

；.x=39；

故答案為：39.

（3）V8X2+6X-4+^4X2-6X-5=4x①，

,,（V3X2+6X-8+V4X2-5X-5）“4v）+6x-5-A/3X2-2X-3）=8x,

,74x，+6x-5->\/5X2-2X-2=2②,

①+②得：1\/4X6+6X-5=4X+1'

A4X4+6X-5=6?+l+3x,

??x--3.

【點評】本題考查二次根式，平方差公式，涉及新定義，無理方程等知識，解題的關(guān)鍵

是掌握二次根式運算的相關(guān)法則.

22.（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的

銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第，個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其

圖象是函數(shù)尸=2型（0VfW8）的圖象與線段A8的組合（單位：萬元），。與f之間滿

t+4

'2t+8,0<t<12

足如下關(guān)系:

-t+44,12<t<24

（1）當(dāng)8V/W24時，求P關(guān)于r的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)第/個月銷售該原料藥的月毛利潤為卬（單位：萬元）

①求卬關(guān)于，的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336WwW513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月

毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.

【分析】（1）設(shè)8<fW24時，P=kt+b,將A（8,10）、B（24,26）代入求解可得P=

z+2；

（2）①分0<rW8、8<rW12和12VfW24三種情況，根據(jù)月毛利潤=月銷量X每噸的

毛利潤可得函數(shù)解析式；

②求出8c忘12和12V/W24時，月毛利潤W在滿足336WwW513條件下f的取值范圍,

再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案.

【解答】解：（1）設(shè)8VfW24時，P=kt+b,

將A（8,10）,26）代入

[5k+b=10

l24k+b=26，

解得：?？冢?/p>

lb=2

：.P=t+2i

(2)①當(dāng)0<rW8時，w=(7f+8)xl20.

t+4

當(dāng)7<rW12時，w=(2r+8)(r+2)=2?+12r+16；

當(dāng)12V/W24時，卬=(7+44)(r+8)=-P+42汁88；

②當(dāng)8＜，W12時，w=4「+12f+16=2(r+3)2-2,

.?.3VW12時,w隨f的增大而增大,

當(dāng)2(r+3)7-2=336時，解得f=10或尸-16(舍)，

當(dāng)，=12時，卬取得最大值，

此時月銷量P=t+2在/=10時取得最小值12,在r=12時取得最大值14；

當(dāng)12C/W24時，w=-#+42什88=-(r-21)2+529,

當(dāng)f=12時，w取得最小值448,

由-G-21)2+529=513得f=17或f=25,

...當(dāng)12V/W17時,448cwW513,

此時P=t+7的最小值為14,最大值為19；

綜上，此范圍所對應(yīng)的月銷售量產(chǎn)的最小值為12噸.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)相等關(guān)系

列出分段函數(shù)的解析式是解題的前提，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得336WwW513所對應(yīng)的

f的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

23.(10分)如圖，在中，乙4c8=90°，點。為A8邊上一點，連結(jié)C。

(1)如圖1,若NBCE=2NDBE,BE=4；

(2)如圖2,延長EB到點F使EF=CE,分別連結(jié)CF,AF交EC于點G.求證：BF

=2EG；

(3)如圖3,若AC=AD,點M是直線AC上的一個動點，將線段繞點。順時針方

向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M7),點P是AC邊上一點，。是線段CQ上的一個動點，連結(jié)尸Q,

請直接寫出NPQM的度數(shù).

圖1圖3

【分析】(1)設(shè)則NBCE=2x,利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程求出x值,

再利用直角三角形的性質(zhì)求得BC值，依據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論：

(2)延長FE到“，使E，=EF,連接A/7,CH,利用線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三

角形的判定與性質(zhì)得到AH=8F,/AHC=N8FC=45°,進(jìn)而得出/AHF=NAHC+N

CHF=45°+45°=90°,再利用三角形的中位線定理解答即可得出結(jié)論；

(3)過點D作DE±AD,交AC的延長線于點E,作點P關(guān)于CD的對稱點P',連接

P'C,P'Q,P'M',AM',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到EAL

AM',得到點在過點A且垂直于AC的直線上運動；由三角形的三邊關(guān)系定理得到

QP'+QM'MM',從而得到當(dāng)P',Q,M'在一條直線上時，QP'+QM'=P'

M',此時PQ+QM的值最?。挥深}意畫出圖形后，通過說明四邊形PCP'。是菱形，

再利用菱形的對角相等得出/PQP'=NPCP，=135。，則結(jié)論可求.

【解答】⑴解：???)4C8=90°,AC=BC,

：.ZABC=45°.

設(shè)則NBCE=2x,

ZACE=9Q°-NBCE=90°-2x,

"：BE±CD,

:.NBDE=90°-NDBE=90°-x,

ZADC=1800-ACD-ZA=7x+45°.

■:NBDE=NADC,

.,.90°-x=45°+2x,

...x=15°,

：.ZBCE=30°,

\'BE±CD,

:.BC=2BE=2,

."C=BC=8,

.?.△ABC的面積=工xAC3C=32；

8

(2)證明：延長FE到“，使E”=EF,CH,

H

?:EF=CE,BELCD,

：?NECF=NEFC=45°.

VBE1CD,EH=EF9

，C￡：垂直平分FT7,

:.CH=CF,

：.4/CHF=/CFH=45°,

AZHCF=900.

VZACB=90°,

???NACB=NHCF,

：.NACH=NBCF.

在△4(?”和ABC/中，

%C=BC

<ZACH=ZBCF，

CH=CF

A/\ACH^/\BCF(SA5),

：.AH=BF,NAHC=NBFC=45°.

AZAHF=ZAHC+ZCHF=450+45°=90°

；.AHLHF,

VCD1EF,

:?CE〃AH,

°：EH=EF,

???GE為△砌〃的中位線，

：.AH=2GE,

：.BF=2EG；

(3)解：NPQM的度數(shù)為45°.理由：

過點。作力E_LA￡),交4c的延長線于點E,連接P'C,P'M',如圖,

VZBAC=45°,DELAD,

：.ZE=ZBAC=45°,

：.AD=DE.

?.,將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD,

：.DM'=DM,NMDM'=90°,

VZ^D￡=90°,

：.ZADE^ZMDM',

：.ZADM'=NMDE.

在△ADM和△E￡)M中，

DM=DM7

<NADM'=NEDM，

AD=ED

△ADM'學(xué)2EDM(SAS),

/.ZDAM'=/￡>EM=45°,

ZEAM=ZEAB+ZDAM'=90°,