期中期末復(fù)習(xí)之全等三角形-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（蘇科版）（解析版）

專題7.1全等三角形十六大必考點(diǎn)

【蘇科版】

【考點(diǎn)I全等圖形的識別】.....................................................................1

【考點(diǎn)2全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用】..............................................................3

【考點(diǎn)3一次證明全等】.......................................................................6

【考點(diǎn)4兩次證明全等1..........................................................................................................11

【考點(diǎn)5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】.....................................................18

【考點(diǎn)6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】...................................................21

【考點(diǎn)7添加條件使三角形全等】.............................................................24

【考點(diǎn)8靈活選用判定方法證明全等】.........................................................28

【考點(diǎn)9尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】.........................................................33

【考點(diǎn)10證明全等的常見輔助線的作法】.......................................................36

【考點(diǎn)11證一條線段等于兩條線段的和（差）】.................................................44

【考點(diǎn)12全等中的倍長中線模型】.............................................................56

【考點(diǎn)13全等中的旋轉(zhuǎn)模型】..................................................................66

【考點(diǎn)14全等中的垂線模型1....................................................................................................73

【考點(diǎn)15全等中的其他模型】..................................................................81

【考點(diǎn)16全等三角形的動點(diǎn)問題】.............................................................87

【考點(diǎn)13尺規(guī)作圖作角平分線】...............................................................93

【考點(diǎn)14角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】...................................................96

【考點(diǎn)15角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】..................................................102

【考點(diǎn)16角平分線的實(shí)際應(yīng)用】..............................................................Ill

AWf二

【考點(diǎn)1全等圖形的識別】

【例1】（2022?全國?八年級單元測試）下列圖形：①兩個正方形；②底邊相等的兩個等腰三角形；③每

邊都是2cm的兩個三角形；④半徑都是1.5Cm的兩個圓.其中是一對全等圖形的有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，結(jié)合各項(xiàng)說法作出判斷即可.

【詳解】解：①兩個正方形，但不一定全等，

②底邊相等的兩個等腰三角形，但不一定全等，

③每邊都是2cm的兩個三角形，是兩個全等的等邊三角形，

④半徑都是1.5cm的兩個圓是全等形，

其中是一對全等圖形的有2個，

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?陜西?西安市東元中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列四組圖形中，是全等圖形的一組是（）

【答案】C

【分析】認(rèn)真觀察圖形，可以看出選項(xiàng)中只有C中的兩個可以旋轉(zhuǎn)后重合，其它三個大小或形狀不一致.

【詳解】解：由全等形的概念可知；A、B中的兩個圖形大小不同，D中的形狀不同，C則完全相同

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等形的識別，做題時要注意運(yùn)用定義，注意觀察題中圖形，屬于較容易的基礎(chǔ)題.

【變式1-2]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與

另外三張與眾不同的是（）

【分析】分析題目信息，要得到與另外三張不同的卡片，即依據(jù)全等圖形的概念及旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行判斷.

【詳解】解：可知將選項(xiàng)A中的圖形順時針旋轉(zhuǎn)180。，即可與選項(xiàng)B中的圖形重合，

將選項(xiàng)B中的圖形順時針旋轉(zhuǎn)90。，即可得到選項(xiàng)D中的圖形，

故A、B、D中的三個圖形全等，

分析C中圖片人物，結(jié)合四個圖片可以看出C選項(xiàng)中圖形與其他三個不同.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形全等及變換，常見的圖形變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等幾種情況，掌握圖形全等

的概念是解本題的關(guān)鍵.

A.a,b,c,dB.α與bC.b,c,dD.α與C

【答案】D

【分析】根據(jù)全等圖形的概念求解即可.

【詳解】解：由圖可知，α與C是全等圖形,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的識別，熟知能夠完全重合的圖形叫全等圖形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2全等三角形性質(zhì)的運(yùn)用】

【例2】（2022?山東?峰城區(qū)吳林街道中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，^ABC^AEF,則對于結(jié)論：（T）AC=AF;

②W%8=0E48;③EF=BC；④0E45=W%C,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷.

【詳解】豳JBCEEWM,

SAC=AF,EF=BC,

故①③正確；

WEAF=^BAC,

^EAF-WAF=WAC-^BAF,

AB=^FAC,

故④正確;

SIaI8=S)E∕8不一定相等，故②不符合題意：

綜上：正確的有3個，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2022?廣東湛江?八年級期中)如圖，WIB(^ADE,BC的延長線交加于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)G,

ELOG8=66°,0￡=105°,肛4C=16°,則回8的度數(shù)為()

A.24oB.25oC.30oD.35°

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得mCB=0￡,0S=0Z),再求出然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理列式計算即可得解.

【詳解】解：^AB(^ADE,EIE=Io5°,

0EL4C5=0￡=1O5°,0β=HD,

EEwCE=180°-105°=75°,

在A4b和AOG/中，EWFC=QFG,

B0Z)+0Z)G5=^DAC+EL4CF,即0Z)+66°=16°+75°,

的9=25°,

EB8=25°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022?廣東?深圳市寶安中學(xué)(集團(tuán))實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中)如圖所示，已知△?!BE三ACCF,

且B,F,E,C在同一條直線上.

⑴求證:AB??CD.

(2)若BC=IO,EF=7,求BE的長度.

【答案】⑴見解析

(2)BE=8.5

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得48=ZC,根據(jù)平行線的判定即可得力BiICD；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BE=CF,根據(jù)線段之間的的關(guān)系得CE=BF,可求出CE的長，即可得.

（1）

證明：0Δ?BE≤?DCF,

⑦匕B=乙C,

^AB??CD.

（2）

W：^ABE≡ΔDCF9

團(tuán)BE=CF,

團(tuán)BE—EF=CF—EF9

ME=BF,

團(tuán)BC=10,EF=7,

EICE=BF=TX（Io-7）=1.5,

ME=BC-CE=10-1.5=8.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn).

【變式2-3］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，D、A、E三點(diǎn)在同一條直線上，BD皿）E于點(diǎn)、D,CE^DE

于點(diǎn)E,且SBCAC=4.

S

⑴求回員4C的度數(shù)；

(2)求EL48C的面積.

【答案】(1)90。

(2)8

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到00=90。，求得0DA4+054)=9CΓ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到SOA4=I3C4E,

等量代換即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得4C=AB=4,再根據(jù)三角形的面積求出答案.

(1)

解：^BD^DE,

EB￡>=90°,

IW徹+血。=90。，

mABD^?CAE,

EELo8/=團(tuán)。E

E08∕C+ElC∕E=90°,

EEL￡40=90°；

(2)

解：EEL48Q00C4E,

EL4C=42=4,

X00βJC=9O°

國J8C是直角三角形，

0EW5C的面積=4χ4÷2=8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式，證得西BC是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3一次證明全等】

【例3】(2022?廣東?儒林中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，點(diǎn)8、C、E、F在同一直線上，點(diǎn)力、。在BC的異側(cè),

AB=CD1BF=CE,LB=zC.若+4。=144。，求4。的度數(shù).

【答案】72。

【分析】由8尸=CE可得BE=CR然后利用S/S可得的8￡盟DeR即EW=HZ),最后代入乙4+ND=144。

計算即可.

【詳解】解：@BF=CE,

岫F+EF=CE+EF,即BE=CF,

在EL48E與此。尸中，

ZB=CD

乙B=ZC

?BE=CF

^ABE^DCF(.SAS'),

團(tuán)0J=團(tuán)。，

團(tuán)乙A+ZD=144°

0ZD=72°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意證得S48E0aDb是解答本題的根據(jù).

【變式3-1](2022?重慶市第H^一中學(xué)校七年級階段練習(xí))如圖，在AABC中，?ACB=90o,AC=BC,

延長N8至點(diǎn)。，連接CQ,以8為直角邊作等腰直角三角形ACDE,Z.DCE=90°,連接BE.試說明：

(I)AD=BE；

(2)BE1AD.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形CDE得出CD=CE,0DCE=9Oo,結(jié)合SWC8=90。可證a4CE>=0BCE,然后

根據(jù)"SAS”證明EL4Q)E08CE即可得出AD=BE:

(2)由(1)知2L4CZ≡15CE,則助DC=!≡8EC,?0DCE=9Oou?^CEB+BBED+3CDE=90°,從而求得EL4OC

+魴EC+EICOE=90°,即可得證.

(1)

證明：畫CZ)E是等腰直角三角形，

SCD=CE,回OCE=90°,

又EL4CB=90°,

mDCE=^ACB,

BSACD=^BCE,

在EWS和EI8CE中，

,AC=BC

Z.ACD=乙BCE，

CD=CE

^ACDmBCE9

^AD≈BE;

(2)

證明：WACDWBCE,

^?ADC=^BEC,

回)CE=90°,

00C￡￡)+0C￡)￡=9OO,

^CEB+^BED^CDE=90o,

^ADC+骷￡7)+團(tuán)CD￡>90°,

o

mDBE=9Qf

WE^AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，通過"SAS"

證明BWCfHWCE是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2022?江蘇省興化市大垛中心校七年級期末)如圖，AC1BC,DC1EC,AC=BC,DC=EC.

D

(1)求證：XBCD三AACE.

(2)圖中ZE、BD有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

【答案】⑴證明見解析

(2)AE=BD,AE1BD,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)4C?LBC,QCIEC并結(jié)合圖形可推出ZBCD=N4CE,再根據(jù)AC=BC,DC=EC,結(jié)

論即可得證；

(2)如圖，設(shè)BD交AC于點(diǎn)N,交AE于點(diǎn)0,由(1)的結(jié)論可推出NB=BD=AE,由NBNC=NAND,

NB+NBNC=90。，可得出乙4+乙4ND=90。，可得乙4ON=90。，由此即可解決問題.

(1)

證明：EL4C1BC,DCA.EC,

^?ACB=Z.DCE=90°,

^?ACB+Z.ACD=乙DCE+?ACD,

回乙

BCD=?ACEf

在ABCD和AACE中，

BC=AC

Z-BCD=?ACE,

DC=EC

田ABCD≤Δ/ICF(SAS).

(2)

解：結(jié)論：AE=BD1/ElBD.理由如下：

如圖，設(shè)BD交ZC于點(diǎn)N,交4E于點(diǎn)。，

l2]?BCD三ΔACE,

團(tuán)N8=ZJ4,BD=AE,

團(tuán)乙BNC=乙AND,Z-B+?BNC=90°,

團(tuán)乙4+Z-AND=zβ÷乙BNC=90°,

團(tuán)乙AON=180o-(?A+乙AND)=90°,

國BD1AE.

D

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定

義.解題的關(guān)鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【變式3-3](2022?山東?新泰市羊流鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí))如圖，已知點(diǎn)。、E是aiδC內(nèi)兩點(diǎn)，且

AE=SCAD,5W8C=a4C8,AB=AC,AD=AE.

(1)求證：^ABD^ACE?,

(2)延長50、CE交于點(diǎn)、F,若EI8/C=86。，EL480=20。，求05FC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)回8尸C=I26。

【分析】(1)????^BAE-^DAE=^CAD-'BiDAE^.^^BAD^CAE,再根據(jù)全等三角形的判定定理"SAS"證明

EL480βEWCE;

(2)由aδ∕C=86°求得0J8C+a4C8=94)再由全等三角形的對應(yīng)角相等求得a48Z)=a4CE=20°,則

0F8C+甌C8=54。，再由0βFC=18C∣J(MBC+回RrB)求得回8尸。的度數(shù).

(1)

證明：AE=^CAD,

EBBNE-^?DAE=^CAD-^DAE,

mBAD=^CAE,

在EL48。和HJCE中，

-AB=AC

/.BAD=?CAE，

,AD=AE

EEW8ZBEL4CE(SAS).

(2)

解：Iaaa4C=86°,

EEW8C+a4C8=180°-0β∕lC=18Oo-86°=94°,

QBABD^lACE

EEL48D=0∕4CE=2O°,

O0FβC+(3FC5=(SABC+SACB)-^ABD-GWCE=94°-20°-20°=54°,

EBBFC=180°-(0Λ5C+0FC8)=180°-54°=126°.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的找出全等三角形的對應(yīng)

邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4兩次證明全等】

【例4】(2022?江蘇南京?八年級階段練習(xí))如圖，AC,8。相交于點(diǎn)O,AB=AD,BC=CD.求證：AC^?BD.

【答案】見解析

【分析】先證得國48C1≡]∕OC,再證明團(tuán)480M4。。，山全等的性質(zhì)證得

【詳解】0在團(tuán)46C和團(tuán)/OC中

AB=AD

BC=DC

AC=AC

^ABC2^ADC(SSS)

BAC=^DAC

團(tuán)在團(tuán)450和班。。中

AB=AD

乙BAO=乙DAC

、AO=AO

ABO^ADO(SAS)

^?^AOB=^AOD

又皿08+的。。=180°

由團(tuán)408=90°

團(tuán)4CW5Q

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，找對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題關(guān)鍵，一般在找邊找角時如果存

在公共邊、對頂角，則公共邊與對頂角是一組對應(yīng)邊和對應(yīng)角.

【變式4-1](2022?廣東?佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校七年級階段練習(xí))如圖，EWBC中，。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。

的直線GF交XC于凡交/C的平行線BG于G點(diǎn)，DESiGF,交/8于點(diǎn)E,連接EG,EF.

⑴說明：BG=CF;

(2)若13CEO=100。，EI￡77)=35°,求l≡8GE的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)65°

【分析】(1)先利用ASA判定魴GZ≡3CFZ),從而得出BG=CR

(2)先證明EIcU>=I38GO=100°,再證明血)GS3￡Z>尸(SAS),可得貼尸G=SEGr)=35。，再利用角的和差運(yùn)算

可得答案.

(1)

解：RIBGIlAC,

褪DBG=^DCF,

又皿)為BC中點(diǎn)，

岫D=CD,

又008DG=0COG

W1BGDWCFD(ASA).

EBG=CF;

(2)

WBGD^?CFD,

團(tuán)GD=DF,團(tuán)CTT)=魴GZ)=IO0°,

0￡￡氾GF,

o

WEDG=^EDF=90f

又盟:D=ED,

mEDG^?EDF(SAS),

o

W?EFG=^EGD=35f

WBGE=WGD-^EGD=100o-35o=65o.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握"利用SAS,AAS,ASA證明三角形全等”是解本題的

關(guān)鍵.

【變式4-2](2022?全國?八年級專題練習(xí))如圖，是0/I8C的高，AD=BD=4,E是/D上一點(diǎn)，BE=

4C=5,S∕8C=14,8E的延長線交NC于點(diǎn)F.

⑴求證：*OS≡40C;

⑵求證：BE^AC-,

⑶求￡產(chǎn)與AE的長.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)￡F=|,AE=I.

【分析】(1)利用直角三角形的判定定理證明即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)證明0EB。=團(tuán)。Q,再利用對頂角相等證明回8EZ)=0∕IEF,進(jìn)一步可證明胡必

=EWo2=90°,BRBE^ACi

(3)利用三角形面積求出8C=7,進(jìn)一步求出S=3,mRtLBDERtHADC,

證明Ez)=CZ)=3,進(jìn)一步求出［力E=40—E￡>=4—3=1,再利用三角形面積求出3尸=§,即可求出IEF=

BF-BE=-S=-.

55

(1)

證明：的。是血18C的高，

?ZM=C=90。，

在Rt^BDE和Rf^ADC中，

(BE=AC

=AD'

回Rt△BDE三Rt△ADC(HL).

(2)

證明：^?Rt^BDE^Rt^ADC,

幽EBD=團(tuán)C4D,

,

WβED=^L4EFf

mAFE=^ADB=3Q?

^?BE^AC.

(3)

解：^SΔABC=^-AD?BC=14,4。=4,

國BC=7,

勖0=4,

0CZ)=3,

團(tuán)Rt△BDE=Rt△ADC,

BED=CD=3,

蜘E=AD—ED=4—3=1,

'3?SΔABC^F?AC^14,BE=AC=5,

SEF=BF-BE=^?p-5=^.Q

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，時頂角相等，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的

判定及性質(zhì).

【變式4-3]（2022?四川?西川中學(xué)南區(qū)七年級期中）如圖,在等腰△4BC中，BA=BC,?ABC=100o,AB平

分4MMC.在線段4C上有一動點(diǎn)。，連接BD,E為直線AW上異于4的一點(diǎn)，連接BE、DE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在射線4W上時，若OE+4E=DC,直接寫出：乙EBD=

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在射線4W的反向延長線上時，

①若（1）中的結(jié)論仍成立，則。E、AE.DC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請證明；

②若S四邊形48DE—SABCD=6,且2DE=54E,AD=-AE,求S—BC的值.

【答案】⑴50。

⑵①DE=4E+DC,證明見解析（2）5=T

ΔΛBCO

【分析】⑴在aC上取一點(diǎn)7,使得CT=AE,連接87,ffi?BAE^?Δ,BCT{ASA),得乙ABE=乙CBT,再證△

DBES?DBT(SSS),得4EBD=ITBD,進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)①在4C的延長線上取一點(diǎn)T,使得NrBD=T乙48C,連接87,^feiiE?B?F0ΔBCT(ASA),得TC=4E,

BE=BT,再證明△DBEElACBT(SAS),得DE=DT,即可得出結(jié)論;

②)由(?)可知，S>ABE=SABCτ，SABDE=S則S=?,設(shè)DE=5∕c,則4E=2k,得4。=W匕CD=3k,

則AC=AD+CD=再由三角形面積關(guān)系即可得出結(jié)論.

(1)

解：在4C上取一點(diǎn)7,使得CT=AE,連接8。如圖1所示：

：,Z-BAC=Z-C.

平分NWMC,

???乙BAE=?BAC,

：?Z-BAE=Z-C1

???△BAE^BCT(ASA)t

:?乙ABE=乙CBT,BE=BT.

-DE+AE=DCtCT+DT=DC,

???DE=DT.

?.?BD=BD,

??.△DBE^DBT(SSS),

???乙EBD=乙TBD.

???乙EBD=?ABE+乙ABD=乙CBT+乙ABD,乙CBT+乙ABD+乙TBD=?ABC=100°,

I1

???(EBD=-?ABC=-×100°=50°,

22

故答案為：50°；

/B

E

圖2

(2)

解：①若(I)中的結(jié)論仍成立，則DE、AE.DC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系為：DE=AE+DC,理由如下:

在4C的延長線上取一點(diǎn)7,使得4BD=卜ABC,連接B7,如圖2所示：

?.??TBD=-?ABC,?DBE=50o=-?ABC.

22

1

???乙CBT+乙CBD=Z-CBD÷Z,ABE=上乙ABC,

2

:、Z-ABE=Z.CBT.

VBA=BJ

???Z-BAC=Z-ACB.

%-Z-BAC=LWAB.

????WAB=?ACBi

：?Z-BAE=Z.BCT,

BAE^ΔBCT(ASA)9

?.TC=AE9BE=BT.

?.?BD=BD,乙DBE=乙DBT,

???△DBE國ADBT(SAS)f

???DE=DT,

ΛDE=TC+DC=AE+DC；

②由①可知：SMBE=S>BCT'SABDE=^BDT9

vS四邊形ABDE_SABCD=6?

λS>BDC+2SABCT-SbBDC=6,

λS^BCT=3.

9∩

???2DE=SAE,AD=-AE,

9

二設(shè)DE=5k,則4E=2k,AD=^fc,

.?.CD=DT-CT=DE-AE=5k-2k=3k,

：.AC=AD+CD=-k+3k=-k,

99

67,

.AC_《卜_67

:?,

CT2k18

r,O/c,UZCO/

,=

?*???Λpr=XκCRT=X??

δλhc18δcwz186

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

【考點(diǎn)5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】

[例5]（2022?山東?禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定ElABCEEIDBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得E13=I3ACB,再由ElACB+回1=回1+回3=90。,

可得回1+回3旬2.

【詳解】

團(tuán)在I3ABC和回DBE中

(AB=BD

{?A=U),

VAC=ED

EBABO≡DBE(SAS),

003=0ACB,

00ACB+Ell=9Oo,

001+03=90°,

(301+03-a2=9Oo-45o=45o,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對應(yīng)角相等.

【變式5-1］（2022?江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí)）如圖，由4個相同的小正方形組成的格

點(diǎn)圖中，EIi+回2出3=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出41+43的值，即可得出答案;

【詳解】如圖所示，

在回ACB和團(tuán)DCE中，

AB=DE

{Z.J4—4D,

AC=DC

◎△ACB≥ΔDCE（SAS）,

Ξ?ABE=Z3,

0Z1+Z.2+Z.3=（41+43）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?江蘇?八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則臚

【答案】45

【分析】如圖，直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角NP=44QC,進(jìn)而得出答案.

如圖，易知AABP三A4CQ,0ZP=?AQC,

團(tuán)8。是正方形的對角線，

叫LBQC=?BQA+?AQC=NP+“=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵.

【變式5-3]（2022?山東?濟(jì)南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，求α+

β=度.

Ji

LE

【答案】45

【分析】連接48,根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解.

團(tuán)圖中是4X4的正方形網(wǎng)格

^?AD=CE,?ADB=?AEC,DB=AE

Ξ?ADB≡ΔCEA（SAS）

^??EAC=?ABD=Q,AB=AC

?乙ABD+乙BAD=90o

配EAC÷?BAD=90°,即NC4B=90°

團(tuán)乙ACB=Z.ADC=45°

D??CE

配BCE=乙DBC=β

團(tuán)乙ABC=Z-ABD+?DBC=a+0

Ξα+/?=45°

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征.

【考點(diǎn)6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】

【例6】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形.

---1---?------

II

——I—1------------

III

------------1-----1-4-------

II

------1---1----

【答案】見解析

【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案.

【詳解】?：共有3×4=12個小正方形，

???被分成四個全等的圖形后每個圖形有12÷4=3,

如圖所示：

__

【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全

相同的兩個部分嗎？請畫出分割線.

【答案】見解析

【分析】觀察第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格，則可按如

圖所示，沿力玲BfC玲。分割；第二個圖同理沿E好尸?÷G玲〃玲Pf0分割即可.

【詳解】解：如圖所示，第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格,

則可按如圖所示，沿力玲8??C玲。分割；第二個圖同理沿E好廣÷G玲，好尸玲。分割即可.

將分割出的兩個圖形，逆時針旋轉(zhuǎn)90度，再通過平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相

同.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）試在下列兩個圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個圖形

分別分割成兩個全等的圖形，將其中一部分涂上陰影.

【答案】見解析（第一個圖答案不唯一）

【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對稱性和耳補(bǔ)性來分隔成兩個全等的圖形.

【詳解】解：第一個圖形分割有如下幾種：

第二個圖形的分割如下:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的動手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點(diǎn).

【變式6-3］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)："能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.”

理解應(yīng)用：我們可以把4x4網(wǎng)格圖形劃分為兩個全等圖形.

范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法.

圖4

【答案】見解析

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和全等形的定義進(jìn)行作圖即可.

【詳解】依題意，如圖

圖4

【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的定義，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)作圖和全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7添加條件使三角形全等】

【例7】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，13C=IaZ）=90。，添加下列條件：@AC=AD-,②a48。=酎8。；

③BC=BD,其中能判定RZEWBC與RBWBO全等的條件有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解.

【詳解】解：EBC=00=90°,AB=AB,

團(tuán)①NC=/￡）,可用HL判定Rt"8C與RtA48D全等；

②0J8C=SW8D,可用44S判定RtA/8C與RtUBD全等;

③BC=BD,可用HL判定RtΔ∕15C與Rt?J5D全等；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.

【變式7-1］（2022?重慶?中考真題）如圖，點(diǎn)B,F,C,E共線，回B=回E,BF=EC,添加一個條件，不能判

斷SMBCIMOEF的是（）

C.AC=DFD.ACSiFD

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題.

【詳解】解：---BF=EC,

.?.BC=EF

A.添加一個條件ZB=DE,

又?.?BC=EF,/.B=乙E

.?.ΔABC≤ΔDEF(SASy)

故A不符合題意；

B.添加一個條件創(chuàng)=回。

又?.?BC=EF,ZB=Zf

.?.ΔABC≤ΔDEFG44S)

故B不符合題意；

C.添加一個條件ZC=Z)E,不能判斷0zfBC≡Z)EF,故C符合題意；

D.添加一個條件∕CWV>

.?.?ACB=LEFD

XvBC=EF,乙B=ZE

.?.ΔABC≤ΔDEF(?ASA)

故D不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

【變式7-2](2022?安徽淮南?八年級期末)如圖，點(diǎn)P是18上任意一點(diǎn)，βABC=^ABD,還應(yīng)補(bǔ)充一個條

件，才能推出加尸而4PD從下列條件中補(bǔ)充一個條件，不一定能推出a4PC0a4P。的是()

A.BC-BDiB.AC-ADx

C.^ACB=^ADB-,D.^CAB=^DAB

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，^ABC=SiABD,45是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個驗(yàn)證得出.

【詳解】解：A、補(bǔ)充BC=BD,先證出0SPCia38PQ,后能推出EWpamWPD,故正確，不符合題意；

B、補(bǔ)充ZC=/。，不能推出EWPa3EWP。，故錯誤，符合題意；

C、補(bǔ)充EL4C8=EL4O8,先證出EW8。2匹18。，后能推出S4PC≡WPZλ故正確，不符合題意；

D、補(bǔ)充I3C48=0D48,先證出EM8C≡M8C,后能推出EWPSEWPZ）,故正確，不符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等判定，解題的關(guān)鍵是知道有AAS,SSS,ASA,SAS.注意S"是不能證明三

角形全等的，做題時要逐個驗(yàn)證，排除錯誤的選項(xiàng).

【變式7-3]（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，AB,CD相交于點(diǎn)E,且AB=CD,試添加一個條件使得

0ADESBCBE.現(xiàn)給出如下五個條件：①EIA=EIC;②13B=IaD;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB.其中符合要求有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F,首先根據(jù)AAS證明AFAB甌FCD,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到AF=FC,FD=FB,進(jìn)而得到AD=BC,即可證明AADEEBCBE,可判斷①、②的正誤；根據(jù)SAS證明

?ADE00CBE,即判斷③、④的正誤；連接BD,根據(jù)SSS證明AADBEEICBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到團(tuán)A=12C,

結(jié)合①即可證明⑤.

【詳解】延長DA、BC使它們相較于點(diǎn)F

DB

≡DAB=0DCB,團(tuán)AED二團(tuán)BEC

Ξ0B=13D

又跑F=團(tuán)F,AB=CD

團(tuán)ZkFAB團(tuán)團(tuán)FCD

0AF=FC,FD=FB

0AD=BC

團(tuán)AADE釀CBE,即①正確;

同理即可證明②正確；

團(tuán)AE=CE,AB=CD

0DE=BE

又隨AED=回BEC

團(tuán)ZkADE能ICBE,③正確；

同理即可證明④正確；

連接BD,

0AD=CB,AB=CD,BD=BD

0?ADB≡CBD

≡DAB=0BCD

團(tuán)ZkADE釀CBE,⑤正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA,難點(diǎn)在于添加輔助線來構(gòu)

造三角形全等，關(guān)鍵在于應(yīng)根據(jù)所給的條件判斷應(yīng)證明哪兩個三角形全等.

【考點(diǎn)8靈活選用判定方法證明全等】

【例8】（2022?湖南?八年級單元測試）具備下列條件的兩個三角形一定是全等三角形的是（）.

A.有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形

B.兩邊及其中一條對應(yīng)邊上的高也對應(yīng)相等的兩個三角形

C.兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應(yīng)相等的兩個三角形

D.有兩邊及其第三邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個三角形

【答案】C

【分析】選項(xiàng)A,選項(xiàng)B和選項(xiàng)D分別舉出反例的圖形即可；選項(xiàng)C根據(jù)題意畫出圖形，延長40至E,使

DE=AD,延長至E',使DF=4'。',連接BE和B'E',根據(jù)全等三角形的判定，可證得△BCE三△CZM,

根據(jù)全等三角形性質(zhì)得BE=AC,NE=ΛCAD,同理可得B'E'=A'C',NE'=ΛC'A'D',再由全等三角形的

判定得△4BE=ΛA'B'E',根據(jù)全等三角形性質(zhì)得NE=ZEz,LBAE=?B'A'E',進(jìn)而證得NB4C=?B'A'C',

最后根據(jù)全等三角形的判定證得AABC≤ΔA'B'C'.

【詳解】A.如圖1所示，

在AADE和AABC中，?A=?A,?ADE=?ABC,/.AED=?ACB,但△4DE和A4BC不全等，故本選項(xiàng)不

符合題意；

B.如圖2所示，

在AABC和AEFG中，BC=FG,AC=EG,AD1BC,EH1FG,AD=FG,但△4BC和△EFG不全等,

故本選項(xiàng)不符合題意；

C.如圖3所示,

在△ABC和A4B'C'中，點(diǎn)。和點(diǎn)。'分別平分線段BC和B'CΛAB=A'B,,AC=A'C',AD=A'D',延長TW至

E,^.DE=AD,延長A'D'至E',使D'E'=A'D',連接BE和&E',

13點(diǎn)。平分線段BC,

邕BD=CD,

SDE=AD,4BDE=4CDA

0ΔBDE≡ΔCDA

ElBE=AC,?E=Z.CAD

同理B'E'=4'C',?E'=?C'A'D'

EL4C=A'C'

WE=B'E'

^AD=A1D1

βAE=A'E'

EL4β=A'B'

^ABE≤Δ?,β,Γ

0ZE=/-E',?BAE=?B,A'E'

SZ.CAD=?C'A'D'

^?BAE+/.CAD=ΛB'A'E'+?C'A'D'

SiΛBAC=ΛB'A'C'

EL4B=A'B'

0Δ?4BC≡ΛA'B'C'

故本選項(xiàng)符合題意;

D.如圖4所示，

A'B'C^,AB=A,B',AC=A'C',AD1BC,A'D'1B,C',AD=4'。'，但此時A4BC和△AB'C'

不全等，故本選項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，熟記全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理是解本題

的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2022?廣東?佛山市南海區(qū)瀚文外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非

常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識.如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF,GE=GF,則AAEG三4AFG的依

A

C.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可.

【詳解】解：在MEG和^AFG中,

EG=FG

AE=AF,

.AG=AG

^AEGB^AFG(SSS),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL等.

【變式8-2］（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖，已知/施CO,AD^?BC,4C與BD交于點(diǎn)、O,

N比于點(diǎn)E,CR38。于點(diǎn)E那么圖中全等的三角形有（）

A.5對B.6對C.7對D.8對

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定即可求出答案.

【詳解】解：①A48E三ACDF.

0AB??CD,AD??BC,

團(tuán)AB—CD,Z-ABE—乙CDF.

^AE1BDTE9CF1BD^E9

團(tuán)ZTlEB=乙CFD,

0?ABE=△CDF；

(2)?AOE=ΛCOF.

EL4B∣∣CD,AD??BC,4C為N8S的對角線，

00/1=0C,?E0A=Z-FOC.

^??AE0=4CFO,

團(tuán)AAOE=△C0F；

(3)?Λβ<9≤?CDO.

SAB??CD,AD??BC,4C與BD交于點(diǎn)O,

團(tuán)。。=OB,Z-AOB=乙COD,OA=OC,

國AABO三△CDO；

(4)?BOC^ΔDOA.

ΞABl∣CD,ADWBC,XC與Bz)交于點(diǎn)O,

團(tuán)。。=OB,Z-BOC—?DOA1OC=OA,

BOC三△DOA；

(ζ)^ABC^^CDA.

B??CD,AD??BC,

團(tuán)BC=AD,DC=AB,?ABC=?CDA,

0ΔΛBC≤△CDA；

(6)^ABD^?CDB.

MBllCD,AD1∣BC,

用乙BAD=4BCD,AB=CD,AD=BC,

0ΔABDZ△CDB；

⑦》ADE"CBF.

的W=BC,DE=BF,AE=CF,

0ΔADE=△CBF.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題關(guān)鍵找出對應(yīng)相等的邊、角，判定兩個三角形全等的一般

方法有：SSS、SAS、A4S,4S4HL,同時考查了平行四邊形的性質(zhì)，題目比較容易.

【變式8-3](2022?浙江?八年級單元測試)根據(jù)下列條件不能唯一畫出SMBC的是()

A.AB=5,BC=6,4C=7B.AB=5,BC=6,魴=45°

C./8=5,∕C=4,EIC=90°D.AB=3,NC=4,0C=45o

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定定理逐項(xiàng)分析即可解答.

【詳解】解：A.a4C與8C兩邊之和大于第三邊，故能作出三角形，且三邊知道能唯一畫出的8。，不符合

題意；

B.0S是48、8C的夾角，故能唯一畫出SL48C,不符合題意；

C.AB=5,AC=4,ElC=90。，得出8C=3,可唯一畫出0JBC,不符合題意；

D.由于是SS/,所以4S=3,NC=4,I3C=45°,不能唯一畫出三角形N8C,符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定等知識點(diǎn)，掌握SS4不能判定三角形全等

是解答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9尺規(guī)作圖與全等的綜合運(yùn)用】

【例9】（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在AZBC外找一個點(diǎn)4'（與點(diǎn)Z不重合），并以BC為一邊作

△A'BC,使之與AABC全等，且AABC不是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)4'有（）

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題是開放題，要想使arse與a48C全等，先確定題中條件，再對應(yīng)三角形全等條件求解.

【詳解】解：如圖:

以8點(diǎn)為圓心，C4為半徑上下畫弧，C點(diǎn)為圓心，8/為半徑上卜.畫弧，兩弧相交分別得到點(diǎn)4、41

以C點(diǎn)為圓心，。為半徑畫弧，以8點(diǎn)為圓心，8/為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)得到點(diǎn)&'，所以符合條件

的點(diǎn)A，有3種可能的位置.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查r全等的判定綜合.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，

然后再根據(jù)三角形全等的判定方法去求證.

【變式9-1］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，以a48C的頂點(diǎn)N為圓心，以8C長為半徑作弧；再以頂

點(diǎn)C為圓心，以/8長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)。；連結(jié)/O,CD.由作法可得：△4BCWACLM的根據(jù)是

()

D

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)題意和全等三角形判定的方法可以得到/86I3CD4的根據(jù)，本題得以解決.

【詳解】解：由題意可得，

AD=BC,AB=CD,

在ELM)C和I3CR4中，

TlD=CB

DC=BA,

.AC=CA

EE4Daa3C8∕(SSS),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答.

【變式9-2](2022?廣東?普寧市紅領(lǐng)巾實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí))在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：

畫一個RtAABC,使NB=90。，它的兩條邊分別等于兩條己知線段.小劉和小趙同學(xué)先畫出了NMBN=90。

之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示.那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是；

小劉同學(xué)小趙同學(xué)

【答案】SASHL

【分析】由圖可知小劉同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為SAS.

由圖可知小趙同學(xué)確定了一個直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為HL.

【詳解】小劉同學(xué)畫了4MBN=90。后，再截取4B,BC兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是S4S定

理;

小趙同學(xué)畫j'ZMBN=90。后，再截取8C,∕C一直角邊和一個斜邊，所以確定的依據(jù)是HL定理.

故答案為：①&iS；Q）HL.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，