湘教版高中數(shù)學(xué)必修二單元測(cè)試卷全冊(cè)

湘教版高中數(shù)學(xué)必修二單元測(cè)試卷全冊(cè)

第1章綜合測(cè)試

總分：150分時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若況=(-1,2),彷=(1,-1),則乃等于()

A.(—2,3)B.(0,1)

C.(-l.2)D.(2,-3)

2.已知|a|=|b|=2,a，b=2,則|a—Z>|=()

A.1B.小

C.2D.小或2

3.已知a,b均為單位向量，(2a+辦(a—25)=一斗，則。與8的夾角為()

A.30°B.45°

C.135°D.150°

4.向量a=(l,0)m=(2,l),c=a,l),若3a-b與c共線，則x=()

A.lB.-3C.-2D.-1

匕c

5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=60。,。=石，貝"一^^「:等于()

sinB+sinC

1r-73

A-B.J3C.—D.2

22

6.已知A(l,2),8(3,4),C(-2,2),。(一3,5),則向量露在向量功上的投影向量的坐標(biāo)為()

26

-

A55

z26

/-

cl---D

\5

5J

7.已知△A8c外接圓的半徑為1,圓心為。.若\=\AB且2況+M+祀=0,貝I」。?

/

-\|

A木

,B.

3D.

C-

?2

8.有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為20。,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10。,則斜坡長為（）

A

A.1kmB.2sin10°kmC.2cos10°kmD.cos20°km

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.對(duì)于任意的平面向量a也c，下列說法正確的是（）

A.若a//b且b//c,則a//c

B.（a+b'）c=ac+bc

C.若ab=ac,J^a邦，則b-c

D.a+b+c=a+c+b

10.下列說法中正確的有（）

A.在4ABC中，a',bc=sinA：sin8：sinC

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,則a=6

C.在△ABC中，若sinA>sinB,貝UA>B；若A>8,則sinA>sinB都成立

..ab+c

D.在△ABC中，?A??—:~~7、

sinAsinB+sinC

11.在△ABC中，已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且匕=6,sinA=2sinC,則以下四個(gè)

結(jié)論正確的有（）

A.△ABC不可能是直角三角形

B.△A8C有可能是等邊三角形

C.當(dāng)A=B時(shí)，△ABC的周長為15

D.當(dāng)8=全時(shí)，△ABC的面積為6小

12.已知AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，6,c,且a=6,4sinB=5sinC,以下四個(gè)說法

中正確的有（）

A.滿足條件的△ABC不可能是直角三角形

B.當(dāng)A=2C時(shí),△ABC的周長為15

C.當(dāng)A=2C時(shí)，若O為44BC的內(nèi)心，則△AOB的面積為"

D.AABC的面積的最大值為40

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

13.若⑷=1,\b\=2,4與b的夾角為60。，且則機(jī)的值為.

14.在銳角三角形ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊.若2asin8=石從b+c=5,bc=6,

則a=.

15.己知次=(-1,1),Oh=(0,-1),Ot=(1,m),若A,B,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)機(jī)的值

為,cAch的值為.

16.已知a,%滿足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=44J|a-6|=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）如圖所示，梯形ABCD中48〃CR且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點(diǎn),

若AB=a,AD=b,試用a,b表示DC,BC,MN.

18.（本小題滿分12分）如圖，已知向量a與b,其中⑷=3,|*|=4,且a與?的夾角。=150。.

⑴求a協(xié);

⑵求向量?在。方向上的投影向量，并畫圖解釋.

b

19.(本小題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c.若且(〃/+

3

c)(a+b-c)=~bc.

⑴求cosC的值；

⑵若。=5,求4ABC的面積.

20.(本小題滿分12分)如圖,A,B兩個(gè)小島相距21海里,8島在A島的正南方，現(xiàn)甲船從A島出發(fā)，以

9海里/時(shí)的速度向B島行駛，而乙船同時(shí)以6海里/時(shí)的速度離開B島向南偏東60。方向行駛，行駛多少

時(shí)間后，兩船相距最近?求出兩船的最近距離.

南

21.(本小題滿分12分)平面內(nèi)有向量次=(1,7),彷=(5,1),0>=(2,1),點(diǎn)Q為直線0P

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)齒oh取最小值時(shí)，求詼的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cosZAQB的值.

71

22.(本小題滿分12分)已知△ABC中三個(gè)內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊為。力c且8=]力=2.

2\[6

⑴若3,，求sinA的值；

(2)當(dāng)B?五取得最大值時(shí)，求A的值.

第1章綜合測(cè)試

答案解析

、

1.【答案】D

【解析】OA=(-1,2),仍=(1,-I),所以牯=初一次=(1+1,—1-2)=(2,-3).

故選D.

2.【答案】C

【解析】I。一臼==|a—臼2(a—b)2—^(r—lab+b1==-\/22—2x2+22=木=2.故選

C.

3.【答案】A

【解析】因?yàn)?2a+5)?(“-2/>)=2。2—4a4+“?》一252=—3。彷=—蔣^,所以。協(xié)=坐.設(shè)a

與b的夾角為仇則8$。=解=坐.又因?yàn)?映比180。，所以9=30。.故選A.

4.【答案】D

［解析晌量。=(1,0)力=(2,1),c=(x,1),則3a-b=(l1),又3a?b與c共線，則1x1?(-1).x=0,解得x=-l.

故選D.

5.【答案】D

,bcay/s匕+c

【解析】由正弦定理得一^二—^=一^二-^~=2,所以Z?=2sin8,c=2sinC,則一^~\二2.故選

sinBsinCsinA里smB+smC

2

D.

6.【答案】B

【解析】霜=(2,2),ci)=(-1,3),\cb|=<10,輻cb=-2+6=4,則向量或在

向量夕)上的投影向量為遺少?—=(一之.故選B.

\cb\\cb\'nv

7.【答案】D

【解析】因?yàn)?O\+顯+證=0,所以(溫+Ah)+(溫+祀)=0,即成+ob=

0,所以。為邊BC的中點(diǎn)，故△ABC為直角三角形，A為直角.又因?yàn)閨況|=|勘|,所以

△OAB為等邊三角形，|戲|=1,|波|=2,|祀尸小，CX與油的夾角為30。，則/Ch

=小*2*<：0$30°=3.故選口.

8.【答案】C

【解析】如圖所示,/ABC=2(T,AB=1km,/ADC=10。,所以NABD=16(T/AABD中,由正弦

_ADAB一,sinl60°sin20°,,〃

定理-二.s。，所以AD=AB—=2coslOO（km）.故選C.

sinl60smlOsinlOsinlO

A

_^TT5r

DBC

—、

9.【答案】BD

【解析】a〃b且b〃c,當(dāng)b為零向量時(shí)，則a與c不一定平行，即A錯(cuò)誤;由向量乘法的分配律

可得（a+b>c=0c+"c,即B正確;因?yàn)閍力=℃,則a-（b-c）=O,又a#）,則b=c或a_L（，-c）,即C錯(cuò)誤；

向量加法滿足交換律，即:a+"c=a+c+6,即D正確.故選BD.

10.【答案】ACD

【解析】設(shè)△A8C的外接圓半徑為R,由正弦定理得'=島=高=2R.對(duì)于A選

Sill/ISillDSill

項(xiàng)，a：b：c=2RsinA：2Rsin3：2RsinC=sinA：sin5：sinC,故A正確；對(duì)于D選項(xiàng)，

,b-\~c2RsinB+2RsinCa.._,丁、人..

由正弦定理琳.「—---：一心?「—=2/?=^-7,故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由

sinB+sinCsin3十sinCsinA

二倍角公式得2sinA?

廿+廿一/層+小一扶

cosA=2sinBcosB,貝lj2。---------=2h----------，即/（/+C2-/）=/^^+廿一扶），

整理得〃4一〃—〃2c2+b2c2=0,即（〃2_。2）（/+匕2-^2）=0,則宗一乂二?；?qū)邮?/,所以

7T.

a=b或C=］，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng)，在△A8C中，由正弦定理得sinA>sinBd>bT>B（大

邊對(duì)大角），故C正確.選ACD.

11.【答案】CD

【解析】因?yàn)閟inA=2sinC,所以。=2c,又6=6,若A為直角，由36+/=4/，可得c

=2小，滿足條件的可能是直角三角形，故A錯(cuò)誤；由于a=2c,故△ABC不可能

是等邊三角形，故B錯(cuò)誤；當(dāng)A=8時(shí)，a=b=2c=6,可得c=3,可得△A8C的周長為〃

JT

+b+c=6+6+3=15,故C正確；當(dāng)時(shí)，b=6,a=2c,由余弦定理可得36=層+/

212

~ac=4c+c—2c9解得c=2小，q=4小,可得的面積為/acsinB=fx2小

x4巾x坐=6小，故D正確.選CD.

12.【答案】BCD

【解析】。=6,4sinB=5sinC,即4b析c,設(shè)6=53c=4*f>0）,由36+16產(chǎn)=25及,可得z=2（負(fù)

值舍去），滿足條件的△4BC可能是直角三角形，故A錯(cuò)誤；a=6,4sinB=5sinC,A=2C,

可得：B=K-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=—，由>=一-一，sinC/0,可得4cos2C-l=

4sinBsinC

—,解得：cosC=—f所以sinC二1^,可得sinA=2sinCeos。=2自，可得c=4,b=5,則

4448

〃+b+c=15,故B正確；S-BJAainA二交互.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為七則R二"”心

24a+b+c

=—,SAABO上cR=不，故C正確；以3C的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，3C所在直線為X軸，可得

22

8(-3,0),C(3,0),4sinB=5sinC,可得4b=5c,設(shè)A(加,〃)(*0),可得

4y1(ni-3)2+n2=5yj(tn+3)2+n2,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9)，即有

w2+n24--/n+9=0,化為(機(jī)+F)+〃2=［與］(〃翔)，則A的軌跡為以(一^,。］為圓心，,為

半徑的除去x軸上兩點(diǎn)的圓，可得△ABC的面積的最大值為gx6x竺二40,故D正確.

23

13.【答案】v

O

【解析】由題意得，(3。+56>(〃以一》)=3〃?。2+(5〃7—3)。協(xié)一5廬=0,3m+(5/7?—3)x1x2xcos60°

—5x

23

4=0,即8m=23,解得力=下".

O

14.【答案】V7

【解析】因?yàn)?〃sinB二石6,所以2sinAsin3=VJsinB,所以sinA=^.因?yàn)椤鰽J3C為銳角

2

三角形，所以cosA=L因?yàn)閎c=6,b+c=5,所以b=2,c=3或6=3,c=2.所以。2=從+。2-268。$

2

A=22+32-2x6xl=7,所以。=77(負(fù)值舍).

2

15.【答案】一310

【解析】因?yàn)闆r=(-1,1),Oh=(0,-1),Ot=(1,m),所以屈=仍-O\=(1,

-2),Bt=虎-Oh=(1,，〃+1).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以屈//Bt,所以lx

(m+1)=(—2)x1,所以,〃=一3,所以比=(1,-3).所以目=OA—Ot=(—2,4),

Cb=昉-Ot=(-1,2).所以以Ch=(-2)x(-l)+4x2=10.

16.【答案】Vio

3

【解析】因?yàn)閈a+b\=4,所以\a+b\1=\a\2-^\b\2+2a-b=16.因?yàn)棰?3M=2,所以ab=5，所以

3___

|a-Z>|2=|a|2+|Z>|2-2a-Z>=9+4-2x-=10,可得|a』|=V10.

四、

17.【答案】解：如圖所示，連接CN,則四邊形ANCO是平行四邊形.

..1.I....1.I

則衣=聞7=—他=一。，BC=NC-NB=AD——AB=b——a.

2222

18.【答案】解：(1)aga||Ncos6?=3x4xcos150°=12x——6A/3.

(2)如圖，作況=a,Oh=b,過點(diǎn)B作直線。4的垂線，垂足為以，則O8|=|b|cos(7i

-0)=4x坐=2#，

B

0aA

向量力的單位向量為1,所以向量5在a方向上的投影向量是一2小=一華.

3311

19.【答案】解：(1)由(〃-〃+c)(a+〃-c)=”得層-S-C)2=]/?G即〃2=82+/_3歷，

b2+c2-a211

由余弦定理，得cosA=-...=—,

2bc14

所以sin

14

又因?yàn)椤叮?/p>

所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcos3+sinAsinB~.

7

(2)由(1)得sinC=±^3.

7

asinC

在4ABC中，由正弦定理，得c=——=8,

sinA

”，11TTf-

所以S=-ncsinB="x5x8xsin-=10V3.

223

20.【答案】解：設(shè)行駛Ch后,甲船行駛了力海里到達(dá)C處，乙船行駛了6f海里到達(dá)。處.

7

①當(dāng)9y21,即/時(shí),C在線段AB上，

此時(shí)BC=21-9r,BD=6t,ZCBD=180°-60°=120°,

由余弦定理知C^BC^BD^-lBCBDcos120°=(21-9t)2+(6t)2-2x(21-9t)-6l-

=63t2-252t+441=

63(t-2>+189.

所以當(dāng)Z=2時(shí),8取得最小值3庖.

77「

②當(dāng)q時(shí),C與B重合，則CD=6x-=14>3V21.

7

③當(dāng)時(shí),BC=9f-21,

貝ijCD2=(9/-21)2+(6/)2-2-(9Z-21)-6/-COS60°=63?-252/+44l=63(Z-2)2+189>189.

綜上可知，當(dāng)t=2時(shí),C￡>取最小值3庖.

答:行駛2h后,甲、乙兩船相距最近為3亞海里.

1.【答案】解：(1)設(shè)詼=(x,y).因?yàn)辄c(diǎn)。在直線O尸上，所以向量詼與

辦共線.

又價(jià)=(2,1),所以x=2y,所以的=(2y,y).

又◎=溫-0^=(1-2)，，7—?dú)v，Qh=初一殖=(5—2丫，1-y),

所以況Qh=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(l-y)=5/-20y+I2=5(>—2)2-8.

故當(dāng)y=2時(shí)，QK-?有最小值一8,此時(shí)的=(4,2).

⑵由(1)知d=(-3,5),砂=(1,-1),QX?砂=-8,\QX|=^34,|砂|=啦，

所以cos/AQB=QA?4V17

17

I酗I翦

bc

22.【答案】解:⑴在△ABC中,由正弦定理得力,,

csinBy/2

則sinC=b二2'

Tl

因?yàn)椤?gt;G所以C=—,

4

V3V21V2V6+V2

貝m!IJsinA=sin（兀-B-C）=sin（8+C）=sin8cosC+cosBsinC=—x—+-x—=--—.

—*——bsin"28A/31

（2）CA?CB=bacosC=2acosC=2x-7-^-cosC=—sinAcos（§兀-A）二sinA（-5cosA+

y/3.4V3,TC

-sinA）=2--sin（2A+-）,

IT3TI7IT—---

當(dāng)且僅當(dāng)2A+--,即A=石時(shí)，CACB取到最大值.

第2章綜合測(cè)試

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.若sin則cos2a等于（）

12

A青BC-D—日

2.sin40°sin500—cos40°cos50。等于（）

A.0B.1C.-1D.-cos10°

3?已知角。終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,小），則sin2a等于（）

A.-gB.^C.一坐D.坐

4.已知cosa=g,cos0—a）=號(hào)，且0<￡<6€<兀，則cos￡等于（）

至近2^35^/3

9o.39u.9

5.已知學(xué)<。<2兀，化簡3coic的結(jié)果為（）

.ac.Q八a—a

A.sin2B.-sinC.cos5D.-cos/

6.若函數(shù)火x）=（l+小tanx）cosx,OWx<^,則/U）的最大值為（）

A.1B.2C?5+1D?小+2

3-

7.若tana=a，貝Jcos2a+2sin2a等于（）

48n16

B25C.1D-25

8,將函數(shù)/U）=sin2x+小cos2x的圖象向左平移空個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則

g（?的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.[E+w，E+不J（Z￡Z）B.[E—a，

C.2E+j,2E+乎（fcGZ）D.[2fot—$2E+：（攵￡Z）

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分）

9.若cos29+cos9=0,則sin26+sin夕等于（）

A.0B.A/3C.一SD.^2

10.已知cosa=_,,則tan停一a）等于（）

A.-yB.-7C.1

D.7

11.下列選項(xiàng)中，值為:的是（

n.兀.5兀

A.cos72°cos36°B.sinY2sin'p

C-J-+上12°

c-sin50。十cos500D.7—ucosT5°

12.已知函數(shù)/U）=sinRCOsx+sin入，則下列說法正確的是（）

A.7U）的最大值為2

B.?r）的最小正周期為兀

C.於）關(guān)于尸一1對(duì)稱

D.y（x）在（o,習(xí)上單調(diào)遞增

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知?0$（45。+幻=蔣，貝I]cos（135。-a）=.

14.若3sinx一小cosx=2小sin（x+0）,（pG（-n,n），則夕=.

15.設(shè)函數(shù)X-v）=2cos2x+V3sin2x+a,已知當(dāng)x?0,當(dāng)時(shí)，/）的最小值為一2,貝Ua=

則—的值為

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知函數(shù),/（x）=q5sin3x—acos3x+a,且/（瓦）=3.

⑴求a的值；

（2）求人力的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

八-__sinx-cosxsin2x

18.（12分）1已t知函數(shù)_/（x）=-------------------.

（1）求.危0的定義域及最小正周期；

⑵求xx）的單調(diào)遞減區(qū)間.

19.（12分）已知4x）=Asin（ox+夕）（A>0,80,|渥）的圖象過點(diǎn)'言，（）），且圖象上與點(diǎn)P

最近的一個(gè)最低點(diǎn)是《一聿，-2）.

⑴求人x）的解析：式；

（2）若/（a+制=右且a為第三象限的角，求sina+cosa的值.

20.（12分）求證：sin3?sin3a+cos3acos3a=cos32a

21.（12分）已知函數(shù)?r）=2小sinxcosx+2cos2x-l（x^R）.

（1）求函數(shù)兀v）的最小正周期及在區(qū)間［o,T上的最大值和最小值;

⑵若危0）=,,,求cos2刈的值.

22.（12分）已知函數(shù)兀v）="in（5+9）（o＞0,一身用的圖象關(guān)于直線尸鼻對(duì)稱，且圖象

上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為兀

（1）求8和g的值；

（2）若/（3=乎6＜。＜專），求cos（a+芝）的值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.【答案】B

【解析】：sina=；,，cos2a=1-2sin2a=1—2x(g，=/故選B.

2.【答案】A

[解析]sin400sin50°-cos40°cos50°=-cos(40°+50°)=0.故選A.

3.【答案】D

【解析】由角a終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,小),得sina=2?cos故s^n2a=2sina?

s

cosa=29故選D.

4.【答案】D

,A

【解析】：coscos(^—a)=j旦0＜丑＜。＜兀,.??一?！?—a＜0,?'?

sin(^?—a)=-A/1—3=-3?/cos^=cos[(/)—a)+a]=cosQ?-a)cos?—sin(^—a)sina=g

故選D.

5.【答案】D

6.【答案】B

【解析】因?yàn)槎危?（1+小黑5）cosx=cosx+小sinx=2sin（x+2）,0夕號(hào)所以當(dāng)x=即寸，

;(x)取得最大值2.故選B.

7.【答案】A

,?-,3i?-cos2a+2sin2a1+4tana64M、小，

【rz解+析r】tana^,則rhcos2a+2sin2a=8s2a+sin2a=]+tan2q=行.故選

8.【答案】B

【解析】因?yàn)槲Ｊ瑂in2x+小cos2x=2sin(2x+1),將其圖象向左平移鼻個(gè)單位長度，得到

兀、兀7E冗717r

g(x)=2sin［2(x+］J+w=-2sin2x,由一/+2EW2爛］+2E(kWZ),得一疝+也勺匕1+

7TTT

E/WZ),所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［E—牙E+^(kGZ),故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

9.【答案】ABC

【解析】由cos28+cos6=0得2cos2@—1+cos6=0,所以cos9=-1或］.當(dāng)cos(9=-1時(shí)，

有sin9=0；當(dāng)8$。=當(dāng)時(shí)，有sin。=±^.于是sin2J+sin9=sin6(2cos。+1)=0或小或

一小.故選ABC.

10.【答案】CD

3

2-時(shí)

【解析】因?yàn)閏osct=—7，所以sina=±\j1-cosa=±|,所以tan當(dāng)tan-4

13苗

1-tana--時(shí)I—tana

tan7stla-4=7.故選CD.

1+tana1+tana

11.【答案】AB

…一c2sin36°cos36°cos7202sin72°cos72°sin14401

【解析】對(duì)于Acos36cos72=痂/=4sin36。=高函=不

c.兀n.it

2sincossin

兀.5兀.71n_12i2_6_l

對(duì)于B,sin五smy^=siny2cos==

n=2~2^A-

“50。+乎sin50。疝80。sin80。

_cos50°+V3sin50°

對(duì)于

c,原式=sin50°cos50°111%

^x2sin50°cos50°^sin100°4sin80°

對(duì)于D,東0$215。=—；(2cos215。-1)=-geos30。=-g故選AB.

12.【答案】BCD

【解析】V/(x)=^sin2x+~~~^(sjn2x—cos2x)+g=羋sin(2x—^+^..??危)max=^

+1=^2"1,最小正周期7=券=兀當(dāng)x=一1時(shí)，sin(2x—：)=—1,??.x=一鼻為對(duì)稱軸.當(dāng)

聞0,彳)時(shí),2x—狂(譚習(xí)，.??危)在(0,上單調(diào)遞增,綜上有BCD正確,A不正確.故

選BCD.

三、填空題

13.【答案】一卷

【解析】cos(135°-a)=cos[180°-(45°+cc)]=-cos(45°+a)=~.

14.【答案】

【解析】因?yàn)?sinR—gcosx=25（坐sin

X1]COSX

又°￡（一兀，71）,所以夕=一,

15.【答案】-2

,cI兀71「兀77f

【解析】/(冗)=1+cos2x+小sin2x+a=2sin+a+l-?h￡0>y,.2+臚仁，y.

6

.?.sin(2x+骷[V，1,?\/(X)min=2x(-1)+。+1=4..二。=-2,

16.【答案】一喑

【解析】兀住71住+

Vsinf^+?jsinlsin+a)cos=y即

A~a=6,、4=6,cos2a=

3-

又與兀2y[2.sin4a

1￡，2a￡(兀,2兀),；?sin2a=--cos22ct=

3'**l+cos2a

1

X

2sin2sccs2〃34^2

,1+cos2a15,

1+2

四、解答題

2n

17.【解析】解:~9.

所以小sin(3x引—acos(3x符)+a=3,

33

-4-3

2+■22za=3,解得。=1.

(2)由(1)可得/(x)=3sin3x—cos3x+1

=2sin(3x一季)+I,

則危）的最小正周期為r=y.

71兀7T

令2也一聲31一濟(jì)2E+爹，keZ,

解得+爭kGZ,

18.【解析】解：(1)由sin#O得/E伏WZ),

故7U)的定義域?yàn)椤癎R|/E,k&Z}.

、，sinx—cosxsinlx

因?yàn)榇髕尸----------------

=2cosx(sinx—cosx)

=sin2x-cos2x—1

所以於)的最小正周期7=空=兀

(2)函數(shù)產(chǎn)sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2也+壬2E+半

(jtez).

由2攵兀+^321—翁2也+冷，洋kit(kGZ),

3元77r

得也+至3爛%兀+至(左￡2),

所以大X)的單調(diào)遞減區(qū)間為[E+工，E+,](&eZ).

19?【解析】解：(1)根據(jù)題意可知，A=2,土盍一(

解得

.,.T=—CD=n,3=2.

又/(,)=0,???sin(盍x2+8)=0,而

?；/W=2sin(2x-5)

(2)由/(。+盍)=/可得，2sin2a=1,即sin2Q=需

Ya為第三象限的角，

Asina+cosa=—yl1+sin2a=

20?【解析】證明：左邊=sin2(xsinasin3a+cos2acosacos3。

1—cos2a,1+cos2a

=------2-----sinasin3a+------------cosacos3a

=T(sinasin3a+cosacos3a)+；cos2a(—sinasin3a+cosacos3a)

=/cos(Q—3a)+]cos2ctcos(3a+a)

=；cos2a+；cos2acos4a

=^cos2a(l+cos4a)

=；cos2a-2cos22a=cos32a=/&ii.

21.【解析】解：(1次t)=巾sin2x+cos2x=2sin(2_r+5),

所以T=TIJ

又xW0,：,所以2x+*I，y,

由函數(shù)圖象知於)6[—1,2],即最大值為2,最小值為一1.

(2)由題意sin(2xo+W，

而兀71u-,無尸27r7n

4-2，所CCl以垢+不^-'y

3-

4V3

21?【解析】解：（1）因?yàn)槭絰）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為兀,

所以危）的最小正周期7=無，從而。=率=2.

又因?yàn)殪叮┑膱D象關(guān)于直線x=翔稱,

jrTT

所以2q+s=E+2，kGZ,

由一蕓9寫得％=0,

兀2兀冗

所rr以（p=]—在=-%.

（2）由⑴得/像=小sin（2.g*）=,，

所以sin（a-^）=；.

?7C2兀/口兀兀

由4<。<亍得0<a—^<2,

所以cos（a*）=31_sin2（a_（川1―護(hù)牛

=sina=sin["+*sin兀7t1,返>

因此X+X

66=4242

V3+V15

=8

第3章綜合測(cè)試

（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=（巾2—〃?-6）+（,"+2"1—8）i（i為虛數(shù)單位），若z<6,則實(shí)數(shù)《?=（）

A.2B.2或一4C.4D.-2或4

2.設(shè)（l+i）x=l+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則x+y的值為（）

A.1B.y[2C.小D.2

3.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（l+ai）（2+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。等于（）

A.一：B，2C.-2D.2

4.在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)按順序分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是l+2i,-2+i,0,那

么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.3+iB.3-IC.l-3iD.-l+3i

5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x,y）,則（）

A.（x+l）2+/=lB.（x-l）2+/=l

C.1+&-1）2=1D.『+（）'+1）2=1

6.已知復(fù)數(shù)Z滿足泊2。2。=1+[2。19（其中1為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

7.已知復(fù)數(shù)z=-^+坐L貝！1z+|z|=（）

A.亭B.—"iC.1+fiD.|-^i

8.歐拉公式ett=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了

三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.當(dāng)時(shí)，泗+1=0.根據(jù)歐拉公式可知，e,i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平

面內(nèi)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知ZI與Z2是共扼虛數(shù)，以下四個(gè)命題一定正確的是（）

A.Z?<|Z2pB.Z]Z2=|Z]Z2|C.Z]+Z20RD.^GR

10.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=詈,則下列結(jié)論正確的是()

A.z的共規(guī)復(fù)數(shù)為:冶I74B.z8的虛部為最

C.怙|=隼D.Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

z+1

11.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足-=i,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.z為純虛數(shù)B.z的虛部為一

C.在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).|才=乎

12.已知集合n={〃力zn=i",nEN},其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是

()

1—i1+i

A.(1—i)(l+i)B.yTprC.D.(1—i)92

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)z=(^2-2)+(/n-l)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)m的范圍為.

14.若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=4+3i,則|z|=.

15.在平行四邊形0ABe中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zo=0,ZA=2+3i,zB^-2a

+3i,

zc=-b+ai,則實(shí)數(shù)a—b的值為.

16.復(fù)數(shù)zi=l—2i,|Z2|=3,則|Z2—Z]]的最大值是,最小值是?

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)已知z,3為復(fù)數(shù)，(l+3i)z為實(shí)數(shù)，。=養(yǎng)：且|。1=5啦，

求CD.

18.(本小題滿分12分)己知復(fù)數(shù)z滿足|3+4i|+z=l+3i.

⑴求z；

(1+i)2(3+4i)

(2)求,的值.

z

19.體小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z=(l+i)2+含，其中i為虛數(shù)單位.

(1)求復(fù)數(shù)Z及憶I；

(2)若z2+〃z+b=2+3i,求實(shí)數(shù)4,〃的值.

20.(本小題滿分12分).已知復(fù)數(shù)z滿足|z尸也，zz的虛部是2.

⑴求復(fù)數(shù)z；

(2)設(shè)z,z2,Z—z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,求AABC的面積.

21.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)zi=a+i,Z2=l—i,aGR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求z「z2的值：

(2)若ZLZ2是純虛數(shù),求a的值;

(3)若鄉(xiāng)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求a的取值范圍.

Z2

22.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足團(tuán)=啦,z2的虛部為2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第一象限.

⑴求z；

(2)若z,z2,Z-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4,B,C,求cos/ABC.

第3章綜合測(cè)試

答案解析

一、單項(xiàng)選擇題：

1.【答案】A