人教版小學(xué)數(shù)學(xué)《圓》教材分析

《圓》教材分析

本單元的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形等平面圖形以及它們的周長(zhǎng)、面積計(jì)算，直觀的認(rèn)識(shí)圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段的最后一個(gè)認(rèn)識(shí)平面圖形的單元。圓這個(gè)平面圖形與以往學(xué)習(xí)的平面圖形有顯著的不同，長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。由此，教學(xué)將從對(duì)直線圖形的研究過(guò)渡到對(duì)曲線圖形的研究，這對(duì)學(xué)生而言是一種跨越與挑戰(zhàn)。因?yàn)闊o(wú)論是研究曲線圖形的思想還是方法，與直線圖形相比，都有顯著的變化和提升。因此，通過(guò)對(duì)圓的研究教學(xué)，不僅要讓學(xué)生掌握?qǐng)A的一些基礎(chǔ)知識(shí)，還要讓學(xué)生感受與體悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和問(wèn)題解決的能力。本單元的內(nèi)容主要有：圓的認(rèn)識(shí)、圓的周長(zhǎng)、圓的面積、扇形的認(rèn)識(shí)等。

一、與實(shí)驗(yàn)教材（《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)》，下同）的主要區(qū)別

（一）改變圓的各部分名稱的引入方式，用圓規(guī)畫圓引出圓的各部分名稱，繼而研究圓的性質(zhì)。實(shí)驗(yàn)教材在引入圓時(shí)，先讓學(xué)生利用圓形杯蓋、圓柱體物體、三角板上的圓孔描出圓，再把圓剪下來(lái)，通過(guò)多次對(duì)折等方式引出圓心、半徑、直徑等概念；在認(rèn)識(shí)了圓的半徑和直徑的特點(diǎn)之后，再專門教學(xué)用圓規(guī)畫圓的方法?？紤]到學(xué)生在生活中已經(jīng)具備初步的用圓規(guī)畫圓的知識(shí)，本次修訂時(shí)，對(duì)于“你能想辦法在紙上畫一個(gè)圓嗎”這一問(wèn)題，教材同時(shí)給出了用杯蓋、三角尺上的圓孔、圓規(guī)畫圓的方法，符合真實(shí)的學(xué)情。接下來(lái)，利用圓規(guī)畫圓的方法引出圓心、半徑、直徑等概念，水到渠成，這樣的引入方式也能更好地體現(xiàn)圓“一中同長(zhǎng)”的本質(zhì)特征。接下來(lái)，通過(guò)讓學(xué)生用圓規(guī)畫幾個(gè)大小不同的圓，探討直徑、半徑的特點(diǎn)，在這一過(guò)程中，使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握用圓規(guī)畫圓的方法。

（二）增加圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小的內(nèi)容。“圓，一中同長(zhǎng)也”，這是《墨子》中對(duì)圓的定義。只要確定了“中”和“長(zhǎng)”，圓的位置與大小就確定下來(lái)了。圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小這一事實(shí)，過(guò)去雖然沒(méi)在教材中明確指出，但實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)在自覺(jué)應(yīng)用了。例如，用圓規(guī)畫圓時(shí)，不可避免地會(huì)遇到“針尖定在哪兒”“畫多大的圓”等問(wèn)題，如果要畫半徑是3cm的圓，針尖到紙邊緣的距離必須大于3cm，才能在紙上畫出一個(gè)完整的圓來(lái)。在本冊(cè)教材中，接下來(lái)還編排了利用圓設(shè)計(jì)圖案的內(nèi)容，在設(shè)計(jì)圖案的過(guò)程，學(xué)生會(huì)時(shí)時(shí)處處遇到“要畫一個(gè)多大的圓”“這個(gè)圓的圓心應(yīng)該在哪兒”等問(wèn)題。因此，教材增加這一部分內(nèi)容，能幫助學(xué)生在應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中更好地認(rèn)識(shí)圓的數(shù)學(xué)特征。

（三）降低圓的對(duì)稱性的篇幅，新增利用圓設(shè)計(jì)圖案的內(nèi)容。由于在“軸對(duì)稱圖形”的相關(guān)內(nèi)容中，已經(jīng)對(duì)圓的對(duì)稱性有過(guò)比較充分的探討，所以，本單元不再單獨(dú)編排圓的對(duì)稱性的例題，只在相關(guān)練習(xí)中加以鞏固。

在修訂過(guò)程中，新增了利用圓設(shè)計(jì)圖案的內(nèi)容。先讓學(xué)生模仿教材上提供的步驟，畫出美麗的圖案，再放手讓學(xué)生試著畫出教材上提供的圖案。在這一過(guò)程中，需要用到用圓規(guī)畫圓的方法，需要觀察這些圖案是由哪些圖形組成的，是如何組成的。需要學(xué)生對(duì)圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對(duì)稱性等知識(shí)加以綜合應(yīng)用。一方面，幫助學(xué)生進(jìn)一步了解圓的特征；另一方面，使學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美。

例如，下面左圖中大圓內(nèi)部的每個(gè)“水滴”是由三個(gè)半圓圍成的，其中兩個(gè)半圓的直徑是大圓半徑的一半，還有一個(gè)半圓的直徑是大圓的半徑，除此之外，還要關(guān)注這些半圓的圓心位置在哪里。右圖中，大圓的內(nèi)部有八個(gè)小圓，這些圓的直徑都是大圓的半徑，依次排列在大圓的八等分線上，互相重疊，形成了美麗的圖案。

教學(xué)時(shí)，還可以讓學(xué)生自由創(chuàng)作出更多的作品。此外，還可以借助這些圖案，復(fù)習(xí)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的知識(shí)。由于這一內(nèi)容的操作性、綜合性、探究性都很強(qiáng)，也可以把它設(shè)計(jì)成一個(gè)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)。

（四）增加求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間面積的內(nèi)容。在“圓的面積”部分，增加了解決實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)容，即求圓與外切正方形、內(nèi)接正方形之間的面積。要求學(xué)生利用圖形之間的關(guān)系，靈活計(jì)算這兩部分的面積，并在“討論”環(huán)節(jié)進(jìn)一步得出更為一般化的結(jié)論。要計(jì)算正方形的面積，首先要求出正方形的邊長(zhǎng)，這是比較常規(guī)的思路。例如，求圓的外切正方形的面積時(shí)，觀察到正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑相等，所以很容易求出來(lái)。但在求圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)時(shí)學(xué)生卻遇到了困難，圓的直徑和正方形的對(duì)角線相等，但沒(méi)有辦法直接求出正方形的邊長(zhǎng)。此時(shí)，教材引導(dǎo)學(xué)生改變觀察角度，把正方形分割成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，很容易求出其面積。在解決幾何問(wèn)題時(shí)，有時(shí)換一個(gè)角度看問(wèn)題，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)全新的世界。經(jīng)歷這樣的問(wèn)題解決過(guò)程，有助于提高學(xué)生多角度分析問(wèn)題的意識(shí)和能力。

解決了圓半徑是1m的特殊問(wèn)題后，教材在“回顧與反思”環(huán)節(jié)，進(jìn)一步討論兩個(gè)圓的半徑都為的情況，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓的外切正方形面積是，外切正方形與圓之間的面積是,內(nèi)接正方形的面積是，圓與內(nèi)接正方形之間的面積是。這些結(jié)果中隱藏著很多有意思的數(shù)學(xué)事實(shí)，如：外切正方形的面積始終是內(nèi)接正方形面積的2倍，外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是,即和內(nèi)接正方形的面積相等，等。

（五）“扇形”由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。扇形的內(nèi)容是學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的必要基礎(chǔ)，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，此次修訂把這部分內(nèi)容由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。

二、教材例題分析

（一）圓的認(rèn)識(shí)

1．圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)

“你能想辦法在紙上畫一個(gè)圓嗎？”，教材呈現(xiàn)用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進(jìn)行描摹以及用圓規(guī)畫圓的情境。學(xué)生在課外應(yīng)該都嘗試過(guò)用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標(biāo)準(zhǔn)，畫得輕松，還需教師進(jìn)一步指導(dǎo)。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動(dòng)自然銜接；另一方面，畫圓的過(guò)程非常切合“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合”這一幾何學(xué)的定義。通過(guò)這一過(guò)程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動(dòng)手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。

對(duì)圓特征的認(rèn)識(shí)，分四個(gè)層次編排：首先，讓學(xué)生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對(duì)折，兩邊可以重合，說(shuō)明了圓是軸對(duì)稱圖形。第二，通過(guò)對(duì)折痕的觀察和想象，讓學(xué)生理解半徑和直徑都有無(wú)數(shù)條。第三，通過(guò)測(cè)量與比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗(yàn)，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。

2．利用圓設(shè)計(jì)圖案

這是一個(gè)實(shí)踐性內(nèi)容。在畫圓設(shè)計(jì)圖案過(guò)程中，涉及充分利用圓的對(duì)稱性，需要學(xué)生學(xué)會(huì)確定某個(gè)圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應(yīng)用。此外，還需要學(xué)生添加一些輔助線。因此，這樣的活動(dòng)體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性。通過(guò)教學(xué)，既可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進(jìn)學(xué)生對(duì)圓的特征的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，又能讓學(xué)生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過(guò)程中提高動(dòng)手操作的能力，學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)熱愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。

（二）圓的周長(zhǎng)

1．圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的推導(dǎo)

教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長(zhǎng)度”這一學(xué)生熟悉的實(shí)際情境引入，幫助學(xué)生理解圓的周長(zhǎng)的概念。

學(xué)生已經(jīng)具備了測(cè)量一般圖形（物體）周長(zhǎng)的技能，因此，面對(duì)“分別需要多長(zhǎng)的鐵皮”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生得出了繞、滾、圍等策略的測(cè)量方法。顯然，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生感受到了方法的多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長(zhǎng)概念的內(nèi)涵，就在這樣的過(guò)程中得以清晰化、直觀化。教材在此基礎(chǔ)上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長(zhǎng)呢？”要求學(xué)生跳出繞、滾、圍等策略的測(cè)量方法，找到一種更為一般化的方法。通過(guò)“圓的周長(zhǎng)和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于……”，啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)測(cè)量幾組圓的直徑和周長(zhǎng)，自主發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式。在這個(gè)內(nèi)容中，教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)的手段，通過(guò)測(cè)量、計(jì)算、猜測(cè)圓的周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系、驗(yàn)證猜測(cè)等過(guò)程，理解并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)計(jì)算方法。

2．例1:計(jì)算圓的周長(zhǎng)本例是一個(gè)與圓的周長(zhǎng)計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)學(xué)生經(jīng)?？吹交蚴褂玫淖孕熊囈鰡?wèn)題，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛應(yīng)用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠(yuǎn)，那就是求它的周長(zhǎng)。這樣的問(wèn)題，是“化曲為直”思想的應(yīng)用──用曲的車輪周長(zhǎng)計(jì)量自行車前進(jìn)的距離。第二個(gè)問(wèn)題帶有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性，“小明從家到學(xué)校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學(xué)生必須通過(guò)計(jì)算，才能解決這個(gè)問(wèn)題。得出的相關(guān)結(jié)果也能加強(qiáng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。

（三）圓的面積

1．圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)

把圓分割成若干等份后拼成近似的長(zhǎng)方形的方法，學(xué)生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學(xué)生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來(lái)的過(guò)程，則主要交給學(xué)生自主探索。

教材讓學(xué)生通過(guò)觀察，看到拼出的是近似的長(zhǎng)方形（或平行四邊形），隨著分的份數(shù)越來(lái)越多，拼出的圖形越來(lái)越接近于長(zhǎng)方形，體會(huì)“無(wú)限逼近”的極限思想。這個(gè)近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓的周長(zhǎng)、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比，利用圓與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，自行推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。

2．例1:計(jì)算圓的面積

本例是在學(xué)生推導(dǎo)出了圓面積計(jì)算公式以后，用此公式解決本節(jié)開(kāi)頭的實(shí)際問(wèn)題。求的是“鋪滿草皮需要多少錢”，這一問(wèn)題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實(shí)意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求出圓形草皮的面積。

3．例2：求圓環(huán)的面積

本例是求圓環(huán)的面積，教材通過(guò)插圖幫助學(xué)生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×62－3.14×22和3.14×（62－22）。教材也有意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法分配律，采用相對(duì)簡(jiǎn)便的算法，這樣，可以大大減少計(jì)算的繁雜程度，減少計(jì)算出錯(cuò)的可能性。

4．例3：圓與內(nèi)接正方形、外切正方形之間面積的計(jì)算。

例題以中國(guó)古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設(shè)計(jì)為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題──求正方形與圓之間的那部分面積。兩個(gè)圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個(gè)問(wèn)題：中間部分的面積與圓的面積有沒(méi)有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3給出一個(gè)特殊的圓半徑，先解決特殊問(wèn)題，在“回顧與反思”部分再討論一般性的規(guī)律。

“分析與解答”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個(gè)圖，很容易看出正方形的邊長(zhǎng)就是圓的直徑；第二個(gè)圖，正方形的邊長(zhǎng)不知道，不能用邊長(zhǎng)的平方直接計(jì)算面積。此時(shí)，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個(gè)底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個(gè)小三角形）。

在前面的解題環(huán)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進(jìn)一步探討一般化的結(jié)論。讓學(xué)生利用剛才的方法，得到一個(gè)代數(shù)式的結(jié)果。把=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗(yàn)這個(gè)代數(shù)式的正確性。

（四）扇形的認(rèn)識(shí)