2024一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型復(fù)數(shù)專題：利用復(fù)數(shù)幾何意義求與模有關(guān)的最值問題-2024一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

復(fù)數(shù)專題：利用復(fù)數(shù)幾何意義求與模有關(guān)的最值問題一、復(fù)數(shù)的幾何意義每個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，復(fù)數(shù)z=a+二、復(fù)數(shù)模的幾何意義1、向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作z或a+bi，即z=a+bi=az表示復(fù)平面內(nèi)的點Za,b2、z1?z2的幾何意義：復(fù)平面中點Z示例：z+(1+2i)表示：點Z到點?1,?2的距離小結(jié)：復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式，若z=x+yi，則z?(a+bi)表示復(fù)平面內(nèi)點(x,y)與點(a,b)則z?(a+bi)=r表示以(a,b)為圓心，以r三、圓外一點到圓上一點的距離最值問題如圖所示，點P在圓O上運動，在圓上找一點P使得PA最?。ù螅┤鐖D，當P為OA連線與圓O交點時，PA最小，最小為OA?r當P在AO延長線與圓O交點P'時，PA最大，最大為OA+r題型一與復(fù)數(shù)有關(guān)的軌跡（圖形）【例1】已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的軌跡是什么圖形？【答案】以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包含圓周)，如圖所示．【解析】|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.因為|z|的幾何意義就是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圓外部所有點組成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圓內(nèi)部所有點組成的集合，故符合題設(shè)條件點的集合是:以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)(包含圓周)，如圖所示．【變式1-1】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡為()A．一個圓B．線段C．兩點D．兩個圓【答案】A【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一個圓．故選A.【變式1-2】若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________．【答案】2π【解析】設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z－i|≤eq\r(2)可得eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以點(0,1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓及其內(nèi)部，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為2π.【變式1-3】（多選）3+2i?(1+i)A．點與點之間的距離B．點與點之間的距離C．點到原點的距離D．坐標為的向量的?！敬鸢浮緼CD【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義,知復(fù)數(shù),分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點與點,所以表示點與點之間的距離,故A說法正確,B說法錯誤；,可表示點到原點的距離,故C說法正確；,可表示表示點到原點的距離,即坐標為的向量的模,故D說法正確.【變式1-4】滿足條件|z－2i|＋|z＋1|＝eq\r(5)的點的軌跡是()A．橢圓B．直線C．線段D．圓【答案】C.【解析】|z－2i|＋|z＋1|＝eq\r(5)表示動點Z到兩定點(0，2)與(－1，0)的距離之和為常數(shù)eq\r(5)，又點(0，2)與(－1，0)之間的距離為eq\r(5)，所以動點的軌跡為以兩定點(0，2)與(－1，0)為端點的線段．【變式1-5】在復(fù)平面內(nèi)，已知定點M與復(fù)數(shù)m=1+2i，那個點Z與復(fù)數(shù)z=x+yi，問：滿足不等式z?m【答案】以(1,2)為圓心，半徑為2的圓及圓的內(nèi)部【解析】不等式z?m≤2即根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得：點(x,y)到點(1,2)的距離小于等于2所以點Z的集合表示以(1,2)為圓心，半徑為2的圓及圓的內(nèi)部題型二模長最值問題【例2】已知復(fù)數(shù)z的模為2，則|z－i|的最大值為（）A．1B．2C．eq\r(5)D．3【答案】D【解析】∵|z|＝2，∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，而|z－i|表示圓上一點到點(0,1)的距離，∴|z－i|的最大值為圓上點(0，－2)到點(0,1)的距離，易知此距離為3，故選D．【變式2-1】已知復(fù)數(shù)的模為1，則的最大值為__________.【答案】3【解析】設(shè)，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模為1，表示以原點為原點，1為半徑的圓，∴，即表示的是圓上的點到點的距離，因此的最大值為，【變式2-2】已知|z|＝2，求|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值．【答案】最大值為4，最小值為0【解析】設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z對應(yīng)的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，又|z＋1＋eq\r(3)i|表示點(x，y)到點(－1，－eq\r(3))的距離．又因為點(－1，－eq\r(3))在圓x2＋y2＝4上，所以圓上的點到點(－1，－eq\r(3))的距離的最小值為0，最大值為圓的直徑4，即|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值分別為4和0.【變式2-3】已知復(fù)數(shù)z，且|z|＝1，則|z+3+4i|的最小值是________．【答案】4【解析】方法一：∵復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，點z表示以原點為圓心、1為半徑的圓．則|z+3+4i|表示z點對應(yīng)的復(fù)數(shù)與點（﹣3，﹣4）之間的距離，圓心O到點（﹣3，﹣4）之間的距離d5，∴|z+3+4i|的最小值為5﹣1＝4，【變式2-4】若且則的取值范圍是________.【答案】【解析】因為所以設(shè)因為所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的軌跡是以原點為圓心半徑為4的圓O.式子的幾何意義是：圓上任意一點到的距離,圓心O到的距離為,由圓的幾何性質(zhì)可知：圓上任意一點到的距離的最大值為,最小值為,因此的取值范圍是.【變式2-5】已知復(fù)數(shù)z滿足等式，則的最大值為______【答案】【解析】|z﹣1﹣i|＝1的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)動點到定點(1,1)距離為1的點的軌跡，如圖：|z﹣3|可以看作圓上的點到點(3,0)的距離.由圖可知，|z﹣3|的最大值為．【變式2-6】若復(fù)數(shù)z滿足|z＋eq\r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．【答案】最大值為3，最小值為1【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知|z＋eq\r(3)＋i|≤1表示以(?3,?1)為圓心，1為半徑的圓上及圓內(nèi)如圖所示，2OM=由圓的幾何性質(zhì)可知：|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.【變式2-7】若且，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】的幾何意義為：復(fù)平面內(nèi)動點Z到定點的距離小于等于2的點的集合，表示復(fù)平面內(nèi)動點Z到