2023年全國卷高考數(shù)學(xué)真題題源按解讀 平面向量含詳解

專題03平面向量

目錄一覽

①2023真題展現(xiàn)

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

考向二平面向量的夾角

②真題考查解讀

③近年真題對比

考向一平面向量的數(shù)量積的運算-

考向二平面向量的模長

考向三兩個向量的垂直問題

考向四兩個向量的平行（共線）問題

④命題規(guī)律解密

⑤名校模擬探源

⑥易錯易混速記

：2。23年真題展現(xiàn)

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

1.（2023?全國乙卷文數(shù)第6題）正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則￡。即=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

2.（2023?全國乙卷理數(shù)第12題）已知。的半徑為1,直線以與。相切于點A,直線尸2與。交于8,C兩點,

。為BC的中點，若|尸O|=0,則P4PD的最大值為（）

A1+3n1+272

A.-----------D.------------------

22

C.1+72D.2+72

考向二平面向量的夾角

1.（2023?全國甲卷文數(shù)第3題）已知向量。=（3,1）,6=（2,2）,則cos,+b,a-6）=（）

A.—B.姮C.—D.述

171755

2.(2023?全國甲卷理數(shù)第4題)已知向量°也c滿足同=W=L|c|=應(yīng)，^.a+b+c=0,則cos〈a-c,6-c〉=()

真題考查解讀

【命題意圖】

1.平面向量的基本定理及坐標表示…，

(1)了解平面向量的基本定理及其意義.

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.

(3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.

.(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

2.平面向量的數(shù)量積

(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.

(3)掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向.量數(shù)量積的運算.

(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【考查要點】

平面向量重點考查向量的概念、共線、垂直、線性運算及標運算等知識，側(cè)重考查數(shù)量積的坐標運算，難度較低,

同時也有可能出現(xiàn)在解答題中，突出其工具功能。因此向量備考應(yīng)重視基礎(chǔ)知識，要求學(xué)生熟練掌握基本技能。

(1)向量的線性運算中，用已知的兩個不共線的向量作為基底可以表示平面上的其他向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到平

行四邊形或三角形中去，利用平面圖形的幾何特征建立關(guān)系。數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常涉及數(shù)量積的定義、模、

夾角公式。

(2)向量是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，利用向量解決問題時，能建立直角坐標系，選擇坐標運算往往更簡單，使問題代數(shù)

化。

(3)求參數(shù)取值時，可根據(jù)平行、垂直、模等條件應(yīng)用方程的思想。

(4)適當(dāng)關(guān)注向量與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列等知識的交匯問題。

【得分要點】

高頻考點：線性運算、夾角計算、數(shù)量積。

中頻考點：模的計算、向量的垂直與平行。

低頻考點：綜合問題

近年真題對比

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

一、單選題

1.(2022?全國乙卷理數(shù)第3題)已知向量￡力滿足|。|=1,|勿=百,|。-2切=3,則￡.(=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題

2.（2022.全國甲卷理數(shù)第13題）設(shè)向量°,6的夾角的余弦值為;，且忖=1,忖=3,貝42a+今6=

考向二平面向量的模長

一、單選題

1.（2022?全國乙卷文數(shù)第3題）已知向量。=（2,1）0=（-2,4）,則上一0（）

A.2B.3C.4D.5

一、填空題

1.（2021.全國甲卷文數(shù)第13題）若向量滿足M=如-6卜5,〃加=1,則慟=.

考向三兩個向量的垂直問題

二、填空題

1.（2022?全國甲卷文數(shù)第13題）已知向量。=（九3）,6=（1,機+1）.若則，7，=.

2.（2021?全國乙卷理數(shù)第14題）已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（a-2b）D,則幾=.

3.（2021?全國甲卷理數(shù)第14題）已知向量a=（3,l）/=（l,0）,c=a+左氏若a,c，則左=.

考向四兩個向量的平行（共線）問題

一、填空題i

1.（2021?全國乙卷文數(shù)第13題）已知向量a=（2,5）,b=（/l,4）,若〃〃6，則4=

命題規(guī)律解密

向量題考的比較基礎(chǔ)，每年都有考查，主要是突出向量的幾何運算或代數(shù)運算，不側(cè)重于與其他知識交匯，難度不

大。這樣有利于考查向量的基本運算，符合課標要求。預(yù)計2024年主要還是考查與平面向量數(shù)量積有關(guān)的計算。

名校模擬探源

一、單選題

1.（2023?四川瀘州三模）已知向量“，b滿足。力=_2,g|=l,則（a-2b”=（）

A.-4B.-2C.0D.4

2.（2023?河南?襄城三模）已知向量d=（2,l）,6=（x,2）,若（。+36）//,-6）,則實數(shù)彳=（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2023?廣東廣州三模）已知向量a=（3,4）,6=（4即），且卜+0=卜-4，則忖=（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2023?山東濰坊三模）已知平面向量a與b的夾角是60。，且M=2,b=（1,2）,則“2。-6）=（）

A.8+2-75B.4-75C.8-若D.4+26

5.（2023?人大附中三模）已知向量。=（1,2）8=（3丹），a與Z+B共線，則|加6卜（）

A.6B.20C.275D.5

6.（2023?河北衡水?衡水市三模）已知向量〃，。滿足同=2網(wǎng)=2,（〃-根2〃+。）=8,則d與石的夾角為（）

A.巴B.工C.2D.包

6336

7.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知向量〃=（-2,1）,0二（八2）,卜+司=|〃-可，則實數(shù)機的值為（）.

A.—1B.—C.；D.1

22

8.（2023?湖南長沙三模）已知平面向量°力滿足,=2,4=6,且°與a.b的夾角為60。，則|〉力|=（）

A.2B.73C.0D.1

9.（2023?河南鄭州?三模）若向量外萬滿足忖=忖=卜+0,則向量）與向量的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

10.（2023?湖南長沙三模）已知向量工=（2,1）,b=（-1，3）,則向量a在6方向上的投影向量為（）

1,1,11

A.B.-T=bC.—bD.——b

回V101010

11.（2023?河南?襄城三模）已知等腰梯形ABC。中，AB//DC,/R=2DC=2AD=2,BC的中點為E,則4片=（）

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1125

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

12.（2023?河南安陽三模）已知正方形ABC。的邊長為1,。為正方形的中心，E是的中點，則。石.OO=（）

A.B.c.D.1

42

13.（2023?河南安陽三模）已知菱形ABC。的邊長為1,cosNBA。=g

。為菱形的中心，E是線段上的動點,

則。的最小值為（）

1

A.1B.；D.

6

二、填空題

14.（2023?上海黃浦三模）已知平面向量￡=（私1）,6=（2,2）,若://%,則加=—.

15.（2023?河南開封三模）已知向量。=（肛-1）,1=（1,3）,若則切=

16.（2023?四川內(nèi)江三模）已知|。|=4,且a，（a+2b）,則0小=.

17.（2023?四川南充二模）已知a）為單位向量，且滿足卜-后卜斯，則囚+b卜.

18.（2023?河南新鄉(xiāng)三模）已知向量a=（f-5,3）,b=（2,-3）,且（a-6），b,則/=

19.（2023.河南駐馬店二模）若單位向量￡,6滿足囚-。卜迷，則向量方夾角的余弦值為.

20.（2023?新疆阿勒泰三模）已知平面向量a,6,滿足a|=3,出|=2,貝小。+23|=.

21.（2023?黑龍江哈爾濱三模）已知向量建（2,1）,6=（2,x）,若b在a方向上的投影向量為a,則尤的值為.

22.（2023?遼寧大連三模）已知平面向量d=（l,2）,A=（-2,l）,c=（2j）,若（a+b），c,則仁.

23.（2023?四川雅安三模）已知向量口與匕的夾角為60。，且a=2,則a-（a+b）=.

k227

24.（2023?山東煙臺二模）已知向量a=（l,道）,屹|(zhì)=0,|。+2w=26，則a與b夾角的大小為.

25.（2023?廣東廣州三模）在ABC中，已知AB=2,AC=6,ZBAC=60a,BC,AC邊上兩條中線AM,BN相

交于點P,則/MPN的余弦值為.

26.（2023?江蘇鹽城三模）在—ABC中，AB=4,B=|,則跟泥的取值范圍是.

［二級結(jié)論速記］

已知非零向量。=（石，x）,b=（x2,y2）,。為向量〃、辦的夾角.

結(jié)論幾何表ZF坐標表示

模|a|=\Jaa|a|=y|x2+y2

a?萬=|a||〃|cos8

數(shù)量積ab=x1x2+yxy2

cos*jcos。=J+產(chǎn)

夾角

\a\\b\jK+y；?&+￡

a_L〃的充要

ab=0為超+%為=°

條件

a〃6的充要

a=AbQbw0)玉%-工2乂=°

條件

|。/|與lalSI|a,Wga|SI（當(dāng)且僅當(dāng)

1元述2+%%W小片+y；7君+￡

的關(guān)系a//b時等號成立）

專題03平面向量

目錄一覽

①2023真題展現(xiàn)

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

考向二平面向量的夾角

②真題考查解讀

③近年真題對比

考向一平面向量的數(shù)量積的運算-

考向二平面向量的模長

考向三兩個向量的垂直問題

考向四兩個向量的平行（共線）問題

④命題規(guī)律解密

⑤名校模擬探源

⑥易錯易混速記

：2。23年真題展現(xiàn)

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

1.（2023?全國乙卷文數(shù)第6題）正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點，則=

A.75B.3C.2.x/5D.5

【答案】B

（、IUUHIIUUUIutmuum

【詳解】方法一：以｛四，"?｝為基底向量，可知M=|A*2,AB.AO=。，

uumuuruumiuimuumuunuiruumiuunuum

貝!|EC=防+5C=]A5+AD,E。=EA+A。=-]A5+A。，

uunuum（\uunuumA（iumutnnAiuun?uum

所以ECEH,AB+AD?[-]A5+AD+AD2=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，

uuuiuum

則E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

ULIUUUU

所以EC?血=—1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=?CD=2,

DF2+CF2-DC2S+5-43

在。E中，由余弦定理可得cosNDEC：一:二以="之"

2.DE-CE2xj5xj55

uunuumlUUDnUtnii3

所以ECED=|￡C||ED|COSZDEC=V5XV5X-=3.故選：B.

2.（2023?全國乙卷理數(shù)第12題）已知。的半徑為1,直線以與。相切于點A,直線尸2與。交于8,C兩點,

。為5C的中點，若1Poi=&，則尸4PQ的最大值為（）

A1+也R1+20

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【詳解】如圖所示，|。匈=1,|0升=3,則由題意可知:ZAPO=45，

7T

當(dāng)點A,。位于直線P0異側(cè)時，設(shè)/OPC=a,OWaW：,

則：PAPD=1PAITPD|cos(a+?]=lx夜cosacos(tz+?)

nz(V2五.121+cos2a1.1&.(兀

=V2coscu——cos<2——sin?=s2tz-sin?cosa=-----------sin2a=----------sm2a---

(22)CO2222<4

0<a<-,貝！]_工42&—生4生

4444

二當(dāng)時，加即有最大值1.

TT

當(dāng)點AO位于直線R?同側(cè)時，設(shè)NOPC=%O?］《T，

4

貝［］：尸4po=|FA|?|PD|cosja—工1=1x^/5coscrcosfer--1=V2coscr|^^-coscr+^-sincr

2^l+cos2?1.1A/2.f_萬)

=coscr+smcrcosa=---------H—sinLa=—H---sin2aH?一

2222I4)

?！肮?則5

.?.當(dāng)2a+（=1時，PA.p。有最大值L手.綜上可得，pa.尸。的最大值為12.故選：A.

考向二平面向量的夾角

1.（2023?全國甲卷文數(shù)第3題）已知向量。=（3,1）力=（2,2）,則cos（“+b,”6）=

B.近c

A-fD.—

-17175

【答案】B

【詳解】因為a=（3,1）,6=（2,2）,所以￡+】=（5,3）,Z—方=（1,一1）,

貝！|卜+6卜J52+32=后,卜_0=7171=71,(a+^).(a-Z?)=5xl+3x(-l)=2,

a+b^-^a-b2=絲.故選：B.

所以cos<〃+b,a-。)=

tz+Z?||a—Z?|扃X0—17

2.（2023?全國甲卷理數(shù)第4題）已知向量滿足同=網(wǎng)=1,同=應(yīng)，且〃+B+e=o，則cos〈a—c,b—c〉=

【答案】D

【詳解】因為d+b+e=0,所以A+。=」，

即/+。2+2々./?=〃,即1+1+254=2,所以〃包=0.

如圖，設(shè)04=a,OB=b,OC=c,

c

由題知,。4=O8=1,OC=0,048是等腰直角三角形，

AB邊上的高。。=受,4￡>=正，

22

^T(UCD=CO+(9r>=V2+—=—,tanZACD=^=|,cosZACD=-^,

2233V10

cos〈〃-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1=2x1~^=j-1=-^.故選:D.

真題考查解讀

【命題意圖】

【考查要點】

【得分要點】

近年真題對比

考向一平面向量的數(shù)量積的運算

一、單選題

1.（2022?全國乙卷理數(shù)第3題）已知向量滿足|“|=1,屹|(zhì)=石,|。-2切=3,則￡%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【詳解】解：|a—2Z>|2=|a|2—4a-Z?+4|,

又［°|=1,|6|=拒,\a-2b|=3,

.?.9=U+4x3=13-4d/,

，eb=l故選：C.

二、填空題

1.（2022?全國甲卷理數(shù)第13題）設(shè)向量a,6的夾角的余弦值為g,且忖=1,收=3,則（2a+6）%=

【答案】11

11

【詳解】解：設(shè)a與6的夾角為凡因為a與》的夾角的余弦值為:，即cosO=；,

又忖=1,2|=3,所以=|?|-|&|cos^=lx3x-i=l,

所以（2〃+b）心=2〃/+//=2〃2+1［=2*1+32=11.故答案為：11.

考向二平面向量的模長

一、單選題

1.（2022?全國乙卷文數(shù)第3題）已知向量。=（2,1）力=（-2,4）,則［-方|（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】因為。-匕=（2,1）-（-2,4）=（4,-3）,所以卜一4=52+（-3）2=5.故選：D

一、填空題

1.（2021.全國甲卷文數(shù)第13題）若向量1/滿足口=如-@=5,人6=1,則忸卜

【答案】3亞

【詳解】?.平45

\a-^a+b2-2a-b=9+一2=25|i|=3&.故答案為：3行?

考向三兩個向量的垂直問題

二、填空題

1.（2022?全國甲卷文數(shù)第13題）已知向量a=（加,3）,Z?=（1,根+1）.若aJ_b,則根=

【答案】-J3

4

3—3

【詳解】由題意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得力=-二.故答案為：-了.

44

2.（2021?全國乙卷理數(shù)第14題）已知向量a=（l,3）］=（3,4）,若Q-求），人則;1=

【答案】|3

【詳解】因為=（1,3）-〃3,4）=。-343-4孫所以由訓(xùn)，6可得，

3（l-3A）+4（3-42）=0,解得2=（.故答案為：

3.（2021?全國甲卷理數(shù)第14題）已知向量0=（3,1）/=（1,0）,。=4+左氏若aJ.c,貝代=

【答案】

【詳解】?=（3,1）,/?=（l,O）,/.c=儀+劭=（3+左,1）,

a±c,:.a-c=3（3+k）+M=O,解得左=_￡，故答案為：-日

考向四兩個向量的平行（共線）問題

一、填空題

1.（2021?全國乙卷文數(shù)第13題）已知向量a=（2,5）,Z?=（Z4）,若〃〃人則2=.

Q

【答案】I

OQ

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-4x5=0,解方程可得：幾）.故答案為：

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

一、單選題

1.（2023?四川瀘州三模）已知向量°,b滿足。力=_2，|6=1，則,-26”=（）

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

【詳解】由已知，（a-1b^-b=a-b-2b=-2-2xl*123=-4.故選：A.

2.（2023?河南?襄城三模）已知向量d=（2,l）,6=（x,2）,若（。+36）//,-6）,則實數(shù)x=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【詳解】a+3Z?=（2+3x,7）,a-b=（2-九,-1）,

因為（a+36）〃（a-b）,所以（2+3x）x（-l）=7x（2r）,解得x=4.故選：B

3.（2023廣東廣州三模）已知向量a=（3,4）,8=（4,m），且卜+6卜卜-囚，則慟=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】\a+b\=\a-b\,兩邊平方得,+,

展開整理得.?々?6=0.

...。-6=3義4+4〃2=0,解得〃？=-3..〔忖=小如+（-3）~=5故選：C

4.(2023?山東濰坊?三模)已知平面向量。與。的夾角是60。，且向=2,6=(1,2),貝!]e(2。-b)=()

A.8+2石B.4-75C.8-6D.4+26

【答案】C

【詳解】由6=(1,2)可得忖=君，

因為平面向量a與b的夾角是60。，且同=2,所以°.(2"6)=2忖-(7.6=21|-忖.降0$60。=8-逐

故選：C

5.(2023?人大附中三模)已知向量a=(1,2)8=(3㈤，a與a+b共線，貝巾-+()

A.6B.20C.2A/5D.5

【答案】C

【詳解】由題意知，a+〃=(4,2+x)

又a〃(a+Z?),所以lx(2+x)=2x4,所以1=6,

所以6=(3,6),所以a-b=(-2,-4),所以|a—Z?|=J(―2>+(―4了.故選：C

6.(2023?河北衡水三模)已知向量%6滿足同=2忖=2,(a-根2a+b)=8,則d與6的夾角為()

A.工B.&C."D.包

6336

【答案】C

【詳解】因為(4-6)?2.+6)=2，一。.6一好=8.又同=2忖=2,所以ad=-l.

/\ci'b1/\2兀

所以cos(a7/)二用“=一,,因為0工,泊卜兀，所以〃與人的夾角為可.故選：C

7.(2023?遼寧?校聯(lián)考二模)已知向量1=(-2,1),6=(私2),卜+囚=H-則實數(shù)機的值為().

A.—1B.—C.；D.1

22

【答案】D

【詳解】解：因為向量。=(-2,1),L

以a+Z?=(—2+機,3),ci—=(—2—rn,—1),

又因為卜+可=卜-6|,所以卜+⑼。=4-2-租)2+(-1)2,解得機=1,故選：D

8.(2023?湖南長沙三模)已知平面向量2/滿足，=2,網(wǎng)=6,且a與a.b的夾角為60。，貝巾,卜()

A.2B.百C.72D.1

【答案】D

【詳解】因為平面向量“力滿足卜|=2,W=6,且a與的夾角為60。，

a\a-b\1|?|-|?||dcos<?,/?>i2

貝!|cos<a,a-b>=-pn-----=彳，貝！I~???P=彳，即4(cos<a,b>)-4,cos<a*>+3=0解

\4a-br\2卜|小『_2硼3<4,6>+忖2I'

得cos<a,，>=《-,所以人一母=｛『一4=ya—2ab+b=1.

故選：D

9.（2023?河南鄭州.三模）若向量°、6滿足忖=忖=,+目，則向量b與向量［匕的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【詳解】忖=忖=卜+0,所以,+耳2=（。+0）2=忖2+2夕6+件=甘=卜］，又°-6=卜帆8$〈。,6）,所以夕6=-3忖2

1_0=J（a-6）2=J"］-2a-/?+|z?|=石卜卜

b-(a-b')=W卜一qcos(/7,a-6)=百|(zhì),cos(b,a-b^,

y^b{a-b)=b-a—b=I=_|H,

所以石Wcos(Aa_6)=_,cos(^b,a-bj=

----------------9

2

又0°?6,。一6號180°,所以（6,a-6）=150。，故選：D.

10.（2023?湖南長沙三模）已知向量—=（2,1）,b=（-I，3）,則向量一在b方向上的投影向量為（）

1,1,

A.~j=bB.一一i=bC.D.--b

710V1010

【答案】C

【詳解】因為向量〃=(2,1),b=(-1,3),

a'bb

^^h=—bt故選.c

所以向量。在％方向上的投影向量為ww=1+910'雙殂v

11.（2023?河南?襄城三模）已知等腰梯形ABCL（中，AB//DC,AB=2OC=2AD=2,BC的中點為E,則AE=（

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1125

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

【答案】B

【詳解】IAB=DB-DA=DB-^DC+CA^=DB-DC-CA=DB-^AB-CA,

322

：.-AB=DB-CA,：.AB=-DB+-ACAE=-(AB+AC}=-\-DB+-AC\+-AC=-DB+-AC.

2332、，2(33)236

故選：B.

12.（2023?河南安陽三模）已知正方形ABCD的邊長為1,。為正方形的中心，E是的中點，則￡>a2）0=（

【答案】C

【詳解】如圖，以A為坐標原點，所在直線為X軸，.V軸，建立平面直角坐標系，則嗎,0）,0（1,

所以O(shè)E=（；,-1）,00=（：,-；）,所以=：+：=：

故選：C.

A\EBx

13.（2023?河南安陽三模）已知菱形A3CD的邊長為1,cosNBA。=；,。為菱形的中心，E是線段上的動點,

則。的最小值為（）

【答案】C

【詳解】設(shè)人石二九位），其中OW"1,

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB-AD^\AB[\Ac\cosABAD=1,

DE=AE-AD=AAB-AD,

因為。為菱形A3CD的中心，貝!JOO=；O8=g（AB-A。），

AZ）j=1°加-AABAD-ABAD+AD

所以，DEDO=

+=9+因此，OE.OO的最小值為;.故選：C.

JJyJJJJJ

、填空題

14.（2023?上海黃浦三模）已知平面向量a=（孤1）,8=（2,2）,若；//7,則加=—.

【答案】1

【詳解】由0=（肛1）,人=（2,2）,a/lb，可得2:〃-2x1=0,解之得加=1.故答案為：1

15.(2023?河南開封三模)已知向量〃=(九-1),人=(1,3),若(〃-6)，人則根=.

【答案】13

【詳解】Va=(m,-l),b=(1,3),tz-Z?=(m-1,-4),

又?.,(〃—Z?)J_Z?,(a—b)-b=m—l-12=09解得根=13.故答案為：13

16.(2023?四川內(nèi)江三模)已知|〃|=4,且+則.

【答案】-8

【詳解】因為|。|=4,Q_L(〃+2Z?),因此Q-(Q+2/?)=0,即Q2+2Q?0=0，即=一8,

所以〃.。=-8.故答案為：-8

17.(2023?四川南充二模)已知a,b為單位向量，且滿足卜-顯卜新，則Ra+b卜.

【答案】非

【詳解】為單位向量，且滿足,一后卜后，所以。2-26。2+5。2=6,

即1-2氐m+5=6,解得°6=0,所以|2a+q=j4〃+4aS+/2=6.故答案為:瓜

18.(2023?河南新鄉(xiāng)三模)已知向量。=("5,3),。=(2,-3),且(。一6)，的則/=.

【答案】16

【詳解】因為刊一方=(力一7,6),(a-b)±b,所以2。一7)-3義6=0,解得％=16.故答案為：16.

19.(2023.河南駐馬店二模)若單位向量°,方滿足|2。-0=#，則向量.，b夾角的余弦值為

【答案】

【詳解】設(shè)向量a,b的夾角為。，因為|2。-囚=",所以4J一4〃?Z7+=6?

又M=W=1,所以4一4cos8+l=6,所以cos*-：.故答案為：

20.(2023?新疆阿勒泰三模)已知平面向量6,滿足a，b,|a|=3,M|=2,貝ij|a+26|=.

【答案】5

【詳解】因為a，b,|a|=3,|b|=2,則a.b=0,所以,+24=+4-+4a為=J9+16=5.故答案為:5.

21.(2023?黑龍江哈爾濱三模)已知向量)=(2,1),6=(2,x),若b在0方向上的投影向量為a,則x的值為—

【答案】1

「Ia-ba

【詳解】6在“方向上的投影向量為Wcos0e,其中cosn'==R為與0方向同向的單位向量，

則“cosOe=￥,"="=乎=1,即。=1,解得：*=[.故答案為：1

HH5

22.(2023?遼寧大連三模)已知平面向量4=(L2)/=(-2,l),c=(2j),若(a+b)，c,則仁.

【答案】|

【詳解】4Z+&=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),

因為（a+山心所以（a+b）Y=（-1,3＞（21）=-2+3/=0,解得f=[.故答案為：|

23.（2023?四川雅安三模）已知向量a與6的夾角為60。，且a=2,則e（a+6）=__________.

（22J

【答案】2

【詳解】由"g當(dāng),得忖=。；=1,則a-（a+6）=a2+a.6=l+lx2xg=2.故答案為：2.

24.（2023?山東煙臺二模）已知向量￡=（1,退），屹|(zhì)=忘,|。+2bl=26,則0與b夾角的大小為

【答案廿

【詳解】由。=（1,6），得，=2,

由卜+2@=2石，得（a+2b）2=20,

即J+4a-b+4片=20,得4+4x2x夜cos（a,b）+4x2=20,

所以cos（a