備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

專題10.3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

日題型目錄

題型一分類及分步的簡單應(yīng)用

題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題

題型三捆綁法及插空法

題型四倍縮法

題型五隔板法

題型六特殊元素法

題型七染色問題

題型八平均分組問題

題型九部分平均分組問題

集練—

題型一分類及分步的簡單應(yīng)用

例1.“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)

氣有關(guān)的古詩.他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少

選出1個(gè)，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

小滿立夏谷雨

芒種清明

夏至春分

小暑季驚蟄

大暑夏李雨水

二十四節(jié)

立秋立春

氣與四季

處暑秋季大寒

白露季小寒

秋分冬至

寒露大雪

霜降立冬小雪

A.90B.180C.270D.360

例2.有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第

四節(jié)，共有種不同的安排方法.（用數(shù)字回答）

舉一反三

練習(xí)1.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10

部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某校擬從這10部專著

中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時(shí)期的情況共有（）

A.42種B.39種C.10種D.35種

練習(xí)2.甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種承包方

式（用數(shù)字作答）.

練習(xí)3.從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少

有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

練習(xí)4.2014年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進(jìn)入“3+1+2”選科模式，即

語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學(xué)、政治、生物、地理四選二，在此規(guī)則下，學(xué)生共有

種選科方式.

練習(xí)5.有兩個(gè)家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個(gè)家庭包括一對(duì)夫妻和兩個(gè)孩子），他們?cè)跒豸斈君R租了兩輛不

同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對(duì)夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個(gè)該夫妻自己的孩子，

則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為.

題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題

例3.已知A；=30（〃eN*,且〃22）,則C；+2C；+C：=（）

A.28B.42C.43D.56

例4.（1）解不等式A：＜4A「.

（2）若C；+C：+C；++C：=55,求正整數(shù)加

第二反三

練習(xí)6.（多選）滿足不等式冬＞12（〃eN+）的〃的值可能為（）

n

A.12B.11C.8D.10

練習(xí)7.已知C＞；=A3+I,求加

練習(xí)8.計(jì)算：

⑴若C1=C",求〃

⑵若12C；=A：,求"

2

練習(xí)9（1）解方程:C：：*=C：；；+C：+|+C：-

（2）解不等式A；＜6A-；

練習(xí)10.（1）若3A：=2A：+|+6Aj,則戶.

（2）不等式C：＞C：的解集為.

題型三捆綁法及插空法

例5.為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六

門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法

B.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法

例6.澈浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老

筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請(qǐng)遠(yuǎn)方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜,

請(qǐng)問不同的上菜順序種數(shù)為（）

A.480B.240C.384D.1440

舉一反三

練習(xí)11.要從甲、乙等8人中選5人在座談會(huì)上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的

發(fā)言順序共有種.（用數(shù)字作答）

練習(xí)12.（多選）我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新

人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)科拓展（X）、體藝特長（T）、實(shí)踐創(chuàng)新（S）、

生涯規(guī)劃（C）、國際視野（/）、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（。）、PBL項(xiàng)目課程（P）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)

這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）

A.某學(xué)生從中選3類，共有56種選法

B.課程排在不相鄰兩天，共有A：A；種排法

C.課程中排在相鄰三天，且“C只能排在“歹與“尸的中間，共有720種排法

D.課程“廠不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有A；+C；C：A；種排法

練習(xí)13.一條長椅上有七個(gè)座位，四人坐，要求三個(gè)空位中，有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與這兩個(gè)相鄰空位不相

鄰，共有幾種坐法？

練習(xí)14.喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像（排成一

排）.

（1）要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？

（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？

練習(xí)15.一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有種；要使

數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有種.

題型四倍縮法

例7.某學(xué)習(xí)小組A、B、。、D、E、F、G七名同學(xué)站成一排照相，要求A與區(qū)相鄰，并且。在。的左邊，E

在。的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)為（）

A.120B.160C.240D.360

例8.某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”為主題的元旦文藝晚會(huì).晚會(huì)組委會(huì)計(jì)劃在原定

排好的5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來5個(gè)節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個(gè)教師節(jié)目有

種不同排法（用數(shù)字作答）

舉一反三

練習(xí)16.小武是1993年12月18日出生的，他設(shè)置家里的電子門鎖的時(shí)候打算用他的出生年、月、日中的8個(gè)數(shù)

字進(jìn)行排列得到一個(gè)8位數(shù)的密碼，那么小武同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼的個(gè)數(shù)為（）

A.2760B.3180C.3200D.3360

練習(xí)17.五一國際勞動(dòng)節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動(dòng)，我快樂”的演講比賽.某班有甲、乙、丙等5名同學(xué)參加，抽簽

確定出場順序.在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的前提下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（）.

練習(xí)18.《紅樓夢(mèng)》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄餐”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、

新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋,

雞湯最后下鍋，則烹飪“茄餐”時(shí)不同的下鍋順序共有（）

A.6種B.12種C.36種D.72種

練習(xí)19.（多選）用3,4,5,6,7,9六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）

A.這樣的六位數(shù)共有720個(gè)

B.在這樣的六位數(shù)中，偶數(shù)共有240個(gè)

C.在這樣的六位數(shù)中，4,6不相鄰的共有144個(gè)

D.在這樣的六位數(shù)中，4個(gè)奇數(shù)數(shù)字從左到右、從小到大排序的共有30個(gè)

練習(xí)20.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)從周一至周五輪流安排寫作練習(xí)，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙

之前，則不同的排列方式共有種.

題型五隔板法

例9.方程為+%+忍+匕+%=9的非負(fù)整數(shù)解的組的個(gè)數(shù)為（）

A.黑B.M

C.C；CjD.C；C；

例10.現(xiàn)有6個(gè)三好學(xué)生名額，計(jì)劃分到三個(gè)班級(jí)，則恰有兩個(gè)班分到三好學(xué)生名額的概率為.

舉1-1反㈢

練習(xí)21.在空間直角坐標(biāo)系。-盯z中，A（8,O,O）,B（O,8,O）,C（O,O,8）,則三棱錐。-ABC內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整

數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（）

A.35B.36C.84D.21

練習(xí)22.（x+2y+z尸的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（）

A.72項(xiàng)B.75項(xiàng)C.78項(xiàng)D.81項(xiàng)

練習(xí)23.（多選）把8個(gè)相同的小球放到編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒子中，貝U（）

A.每個(gè)盒子中至少放1個(gè)小球的放法共有35種

B.有空盒的放法共有161種

C.恰有1個(gè)空盒的放法共有21種

D.編號(hào)為2的盒子中至少放2個(gè)小球，其他3個(gè)盒子每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球的放法共有20種

練習(xí)24.在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)字“8”是

當(dāng)之無愧的新時(shí)代“英雄數(shù)字”.如果一個(gè)四位數(shù)，各個(gè)位置上數(shù)字之和等于8,這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223,

1+2+2+3=8,就是一個(gè)“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)”有個(gè)（用數(shù)字回答）

練習(xí)25.用。~9十個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個(gè)位、十位、百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長久數(shù)”，

貝『‘長久數(shù)"一共有個(gè).

題型六特殊元素法

例H.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于6月26日至7月7日在成都舉辦，現(xiàn)在從6男4女共10名青年志愿者中，選

出3男2女共5名志愿者，安排到編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)賽場，每個(gè)賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲

不能安排在編號(hào)為1、2的賽場，編號(hào)為2的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（）

A.1440種B.2352種C.2880種D.3960種

例12.為了紀(jì)念世界地球日，復(fù)興中學(xué)高三年級(jí)參觀了地球自然博物館，觀后某班級(jí)小組7位同學(xué)合影，若同學(xué)A

與同學(xué)8站在一起，同學(xué)C站在邊緣，則同學(xué)C不與同學(xué)A或8相鄰的概率為.

舉一

練習(xí)26.從0,1,2,9中選出三個(gè)不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個(gè)數(shù)字用兩次），如5242.這樣的四位數(shù)

共有（）

A.1692個(gè)B.3672個(gè)C.3708個(gè)D.3888個(gè)

練習(xí)27.用0,1,2,3,4,5共6個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位奇數(shù).

練習(xí)28.“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等.數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回

文數(shù)”.“回文數(shù)，，是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121,241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有

兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).（用數(shù)字作答）

練習(xí)29.某34人班級(jí)派5人參觀展覽，班級(jí)里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡r即，14人喜歡籃球，每個(gè)

人只喜歡一種.5人站一隊(duì)參觀，但是當(dāng)隊(duì)伍中第匕4+L左+2,4+3個(gè)人分別喜歡唱、跳、rap、籃球時(shí)，上述4人會(huì)

討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)隊(duì)伍中至少有一個(gè)位置上的人的喜好不同，兩個(gè)隊(duì)伍才被

認(rèn)為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊(duì)方案數(shù)為.

練習(xí)30.現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則符合要求

的排列方法共有種

題型七染色問題

例13.某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹,

則共有（）種不同的方法.

A.120B.360C.420D.480

例14.在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同一種莊稼，共有

（）種植方式.

2

135

4

A.240種B.300種C.360種D.420種

舉一m

練習(xí)31.某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個(gè)廣場布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域.現(xiàn)有6種不同的花

卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案

A.720種B.1440種C.1560種D.2520種

練習(xí)32.中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨

分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,8,現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏

色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏

料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.1050種B.1260種C.1302種D.1512種

練習(xí)33.（多選）如圖，用〃種不同的顏色把圖中A3,C2E四塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則

)

X.D）

A.n>3

B.當(dāng)”=4時(shí)，若氏D同色，共有48種涂法

C.當(dāng)〃=4時(shí)，若民。不同色，共有48種涂法

D.當(dāng)〃=5時(shí)，總的涂色方法有420種

練習(xí)34.有三種不同顏色供選擇，給圖中六個(gè)格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.

練習(xí)35.用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不

能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種.

2人3

5V4

題型八平均分組問題

例15.新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為語文，數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門

科目中選考1門科目，“2”由考生在化學(xué)、生物，政治，地理4門科目中選考2門科目，若學(xué)生甲、乙隨機(jī)選擇自

己的選考科目，則甲、乙選考的三門科目均不相同的概率為（）

例16.臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人.春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無

論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同.經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶

各要2副短聯(lián).書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為.

舉一反三

練習(xí)36.某冷飲店有“桃喜芒芒”“草莓瞰哦”“蜜桃四季春”“芋圓葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同學(xué)到店每人購

買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為（）

練習(xí)37.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日我國將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”

成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“廠字形

架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名

航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）

A.450種B.360種C.90種D.70種

練習(xí)38.在某項(xiàng)建造任務(wù)中，需6名航天員在天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙這三個(gè)艙內(nèi)同時(shí)進(jìn)行工作，由

于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（）

A.450種B.180種C.720種D.360種

練習(xí)39.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天

員開展實(shí)驗(yàn)，三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙每個(gè)至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）

A.450種B.72種C.900種D.360種

練習(xí)40.近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多.某貓舍只有5個(gè)不同的貓籠，金漸層貓3只（貓媽媽和2只小貓需）、

銀漸層貓4只、布偶貓1只.該貓舍計(jì)劃將3只金漸層貓放在同一個(gè)貓籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個(gè)貓籠里，

布偶貓單獨(dú)放在一個(gè)貓籠里，則不同的安排有（）

A.8種B.30種C.360種D.1440種

題型九部分平均分組問題

例17.教育扶貧是我國重點(diǎn)扶貧項(xiàng)目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵(lì)教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師

到A、。三個(gè)鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個(gè)學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有（）

種

A.25B.60C.90D.150

例18.為了提高命題質(zhì)量，命題組指派5名教師對(duì)數(shù)學(xué)卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進(jìn)行改編，則每種題

型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數(shù)為（）

A.144B.120C.150D.180

舉一反三

練習(xí)41.某中學(xué)舉行全區(qū)教研活動(dòng)，有10名志愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人

每天值一班，則教研活動(dòng)當(dāng)天不同的排班種數(shù)為

3343

cCCCA3

B.

A；A；

J。5y

C.D.A：°A；A：

練習(xí)42.有6名同學(xué)要分到4個(gè)不同的單位去實(shí)習(xí)，要求每個(gè)單位至少接收1名同學(xué)，則不同的分配方法有

種.

練習(xí)43.習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)說，調(diào)查研究是謀事之基、成事之道.瓊中縣委、縣政府根據(jù)黨中央、國務(wù)院《關(guān)于在

全黨大興調(diào)查研究的工作方案》文件精神，決定派出7人分成3個(gè)小組，到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展調(diào)查研究工作，其中2個(gè)

小組各2人，1個(gè)小組3人，則不同的安排方法共有.

練習(xí)44.為了落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)AB,C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四

位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有.

練習(xí)45.有3名黨員干部到5個(gè)貧困戶家里扶貧，每名黨員干部至少幫扶一個(gè)貧困戶，且每個(gè)貧困戶家里有且僅有

一名黨員干部幫扶，則共有種不同的安排方案.（用數(shù)字作答）

專題10.3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

日題型目錄

題型一分類及分步的簡單應(yīng)用

題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題

題型三捆綁法及插空法

題型四倍縮法

題型五隔板法

題型六特殊元素法

題型七染色問題

題型八平均分組問題

題型九部分平均分組問題

集練—

題型一分類及分步的簡單應(yīng)用

例1.“二十四節(jié)氣”是中國古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)

氣有關(guān)的古詩.他準(zhǔn)備在春季的6個(gè)節(jié)氣與夏季的6個(gè)節(jié)氣中共選出3個(gè)節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏季的節(jié)氣各至少

選出1個(gè)，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

小滿立夏谷雨

芒種一清明

夏至春分

小暑李驚蟄

大暑夏季雨水

二十四節(jié)

立秋立春

氣與四季

處暑秋季大寒

白露季冬小寒

秋分冬至

寒露

霜降立冬小雪

A.90B.180C.270D.360

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，由組合數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，

其中1春2夏的不同情況有：C；?或=90種；

2春1夏的不同情況有：C〉C；=90種，

所以小明選取節(jié)氣的不同情況有：90+90=180種.

故選：B.

例2.有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第

四節(jié)，共有種不同的安排方法.（用數(shù)字回答）

【答案】300

【分析】解法一，分類考慮，化學(xué)是否被排在上午，根據(jù)分類加法原理求得答案；

解法二，先排上午第四節(jié)，再排其余節(jié)次的課，根據(jù)分步乘法原理求得答案；

解法三，利用間接法，即求出從6門課程中任意選4門安排在上午的排法，減去化學(xué)排在第四節(jié)課的排法數(shù)，即得

答案.

【詳解】解法一，第一類：化學(xué)被選上，有A；A；=180種不同的安排方法；

第二類：化學(xué)不被選上，有A：=120種不同的安排方法.

故共有180+120=300種不同的安排方法，

故答案為：300

解法二，第一步：化學(xué)不排在第四節(jié)，故第四節(jié)有A；種排法；

第二步：其余三節(jié)有A；種排法，故共有A；A；=5x60=300種不同的安排方法，

故答案為：300

解法三（間接法），從6門課程中任意選4門安排在上午，有A：種排法，

而化學(xué)排第四節(jié)，有A；種排法，故共有A：-A；=36。-60=300種不同的安排方法.

故答案為：300

舉1-1反㈢

練習(xí)1.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10

部專著是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某校擬從這10部專著

中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北朝時(shí)期的情況共有（）

A.42種B.39種C.10種D.35種

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時(shí)期的，二是所選的2部專著都是魏晉

南北朝時(shí)期的，求出各個(gè)情況的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時(shí)期的，有C；C；=21種方法，

二是所選的2部專著都是魏晉南北朝時(shí)期的，有C；=21種方法，

所以由分類加法原理可知共有21+21=42種方法，

故選：A

練習(xí)2.甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種

承包方式（用數(shù)字作答）.

【答案】60

【分析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，再讓乙承包2項(xiàng)，剩下的3項(xiàng)丙承包，根據(jù)分步

乘法原理可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，有C：=6種，再讓乙承包2項(xiàng)，有C；=10,剩下

的3項(xiàng)丙承包，

所以由分步乘法原理可得共有6x10=60種方案，

故答案為：60

練習(xí)3.從5男3女共8名學(xué)生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少

有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）

【答案】480

【分析】根據(jù)題意，可分為志愿組有3名男生，2名女生和志愿組有4名男生，1名女生，兩類情況，結(jié)合分類計(jì)

數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意可知，當(dāng)志愿組有3名男生，2名女生時(shí)，有C；C；C；C；A；=36。種方法；

當(dāng)志愿組有4名男生，1名女生時(shí)，有C；C；C；A；=120種方法，

由分類計(jì)數(shù)原理得，共有360+120=480種不同的選法.

故答案為：480.

練習(xí)4.2014年國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化考試招生制度改革意見》，福建省在2021年高考進(jìn)入“3+1+2”選科模式，即

語文、數(shù)學(xué)、英語三門必考，物理和歷史二選一，化學(xué)、政治、生物、地理四選二，在此規(guī)則下，學(xué)生共有種

選科方式.

【答案】12

【分析】根據(jù)分步乘法原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.

4x3

【詳解】依題意，根據(jù)計(jì)數(shù)乘法原理，有C[C；=2x三=12種方法.

故答案為：12

練習(xí)5.有兩個(gè)家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游(每個(gè)家庭包括一對(duì)夫妻和兩個(gè)孩子)，他們?cè)跒豸斈君R租了兩輛不

同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對(duì)夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個(gè)該夫妻自己的孩子，

則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為.

【答案】10

【分析】分兩種情況考慮，即每個(gè)家庭乘坐一輛車和每對(duì)夫妻乘坐的車上恰有一個(gè)自己的孩子，根據(jù)分類加法原理

即可得答案.

【詳解】由題意得當(dāng)每個(gè)家庭各乘坐一輛車時(shí)，有2種乘車方案；

當(dāng)每對(duì)夫妻乘坐的車上恰有一個(gè)自己的孩子時(shí)，乘車方案種數(shù)為2xC；C；=8,

故滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為2+8=10,

故答案為：10

題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題

例3.已知A：=30(〃eN*,且“22),貝ijC：+2C：+C；=()

A.28B.42C.43D.56

【答案】A

【分析】先根據(jù)排列數(shù)得出〃，再計(jì)算組合數(shù)即可.

【詳解】A^=w(n-l)=30,n2-w-30=(n-6)(n+5)=0,neN*.-.n=6,

6xS

C：+2C；,+C；=屋+2C：+C；=1+2X6+—^-=1+12+15=28.

故選:A.

例4.(1)解不等式A：<4A「.

(2)若C；+C：+C；++C：=55,求正整數(shù)w.

【答案】(1){6}；(2)n=7.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)及排列數(shù)公式，計(jì)算即可；

(2)根據(jù)組合數(shù)及組合數(shù)公式，計(jì)算即可.

0<x<6

【詳解】(1)由A：<4A「，可得<0?x-2W6,可得

xeN

6!/6!

可得

4,

所以(8-司(7-力>1，即爐一15x+52<0,

因?yàn)?2-15X2+52>0,32-15X3+52>0,42-15x4+52>0,

52-15X5+52>0,62-15X6+52<0,

所以x=6；

(2)C；+C；+C；++C：

=c；+c；+c；+C++C-1

=c：+c；+c；++c：-i

=G+c；++c；-i

=C-1=55,

故C"=56=C；,解得〃=7.

幽一反三

練習(xí)6.(多選)滿足不等式冬>12("wN+)的"的值可能為()

n

A.12B.11C.8D.10

【答案】ABD

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式得到不等式，解得"的取值范圍，即可判斷.

【詳解】由排列數(shù)公式得當(dāng)="*=盧?=(〃—5).(〃-6),

(n-7)!n!(n-7)!

依題意可得6)>12,解得〃>9或“<2(舍去)，

又〃eN+，所以〃可以取10,11,12.

故選：ABD.

練習(xí)7.已知C>：=A3+I,求”.

【答案】6

【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將C>；=A"+1化簡并展開，解方程即可求得答案.

【詳解】由C\：=A"+1得C3=A3+1,

即],即〃2-7〃+6=0,

角畢得〃=1,或〃=6,由A，1知

故〃=6.

練習(xí)8.計(jì)算：

⑴若C；2=C*,求"

(2)若12C；=A：,求"

【答案】⑴"=3或〃=5

(2)〃=8

【分析】(1)根據(jù)組合式的性質(zhì)計(jì)算可得；

(2)根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)镃；2=C；/，所以〃=2〃-3或〃+2〃-3=12,

解得鼠=3或〃=5.

(2)因?yàn)?2C：=A：,

所以12X"("T)=M〃T)(〃_2),Xn>3,所以〃(〃-1片0,

2x1

所以〃一2=6,解得n=8.

練習(xí)9.(1)解方程：C：：；=C,；+C；+|+C丁

(2)解不等式A；<6A「；

【答案】(1)〃=4；(2)x=8

【分析】(1)利用組合數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算公式解方程作答.

(2)利用排列數(shù)公式化簡不等式，再求解不等式作答.

【詳解】(1)由組合數(shù)性質(zhì)及c：：；=c：：：+cq+c：-2,得C3=C3+C3+C，

而c>=c3+CL=C"++c；+2,則c"+c"+c1=c"+ct+1+c：,

因此C；+2=C；,即〃+2=*2,〃N2,解得見=4,

所以原方程的解為〃=4.

_[0<x—2^8

(2)由A；<6A；9~,得〈且無eN*,解得2〈尤W8,xeN*,

[尤48

8!,8!

又(8—x)!<6,(10_x)!，化簡得x?—19尤+84<°，解得7Vx<12,因此x=8,

所以不等式A；<6A=的解為x=8.

練習(xí)10.(1)若3A：=2A'+6Aj,則4.

(2)不等式C：>C：的解集為.

【答案】5(6,7,8,9}

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)公式即可求解;

(2)根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算公式及性質(zhì)化簡不等式求其解集即可.

【詳解】(1).3A^=2A^+1+6A^,x>3>xeN+,

3x(x-l)(%-2)=2x(x+l)+6x(x-l),化簡得3--17x+10=0,

2

解得％=5,%=](不合題意，舍去)，廠.％=5；

n\n\

n2-9n-10<0

(2)VC>C?,"4!x(n-4)!6!x(n-6)!,即，解得6<n<10.

77>6

n>6

?//eN+,.?.〃=6,7,8,9.”的取值集合為{6,7,8,9}.

故答案為：5；{6,7,8,9}.

題型三捆綁法及插空法

例5.為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六

門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法

B.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識(shí)可以判斷A正確；利用特殊位置法可以判斷B錯(cuò)誤；相鄰問題利用捆綁法可

以判斷C正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,從六門課程中選兩門的不同選法有C，=15種，A正確；

對(duì)于B,從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗(yàn)課程共有4A；=480種，B正確；

對(duì)于C,“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個(gè)元素，不同排法共有A：A：=144種，C正確；

對(duì)于D,先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有A：A；=480種，D錯(cuò)誤.

故選：D.

例6.澈浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老

筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請(qǐng)遠(yuǎn)方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜,

請(qǐng)問不同的上菜順序種數(shù)為()

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】應(yīng)用排列數(shù)求出“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)，間接法求出上述兩道菜不能接連相鄰上菜

的方法種數(shù)即可.

【詳解】若“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜，則有A；=2種，

再將其與其它4道菜作全排列，共有A：=12。種，

所以“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)有240種；

而六道菜依次上菜的總順序有A。=720種，

所以其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜的方法數(shù)720-240=480種.

故選：A

舉一反三

練習(xí)11.要從甲、乙等8人中選5人在座談會(huì)上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的

發(fā)言順序共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】720

【分析】根據(jù)先選后排原理，再根據(jù)插空法，進(jìn)行排列組合即可得解.

【詳解】除甲乙外再選3人共有C：種可能，

從選中的3人中選一人插在甲乙中間，此三人再進(jìn)行排列共有A；C*種可能，

再將此三人看作整體和另外兩人進(jìn)行全排列，共有A；種可能，

則共有=20x3x2x6=72。，

故答案為：720.

練習(xí)12.（多選）我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高中創(chuàng)新

人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，具體為學(xué)科拓展（X）、體藝特長（T）、實(shí)踐創(chuàng)新（S）、

生涯規(guī)劃（C）、國際視野（/）、公民素養(yǎng)（G）、大學(xué)先修（。）、PBL項(xiàng)目課程（尸）八大類，假期里決定繼續(xù)開設(shè)

這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）

A.某學(xué)生從中選3類，共有56種選法

B.課程排在不相鄰兩天，共有A；A；種排法

C.課程中排在相鄰三天，且“C只能排在"S’與"尸的中間，共有720種排法

D.課程“7‘不排在第一天，課程“G”不排在最后一天，共有A；+C：C；A；種排法

【答案】ABD

【分析】由題意，利用組合數(shù)、插空法、捆綁法、特殊元素優(yōu)先法，解得分類加法原理，可得答案.

【詳解】選項(xiàng)A,某同學(xué)從中選3類，共有C；=56（種）選法，A正確；

選項(xiàng)B,若不相鄰，剩余6類排列方法為A。，形成7個(gè)空，則填入7個(gè)空的方法為A；,所以共有A：A；

種排法，B正確；

選項(xiàng)C,先排列"歹”。，”尸三科，則有2種排列方法，3科形成整體與剩余5科再進(jìn)行全排列，則有A；種排列方法,

所以共有2A：=1440（種）排法，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,分成兩類情況，一是“G”排在第一天，則此類情況下排法有A；種，

二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有C；C；A：種方法，

則共有A；+C；C；A：種排法，D正確.

故選：ABD.

練習(xí)13.一條長椅上有七個(gè)座位，四人坐，要求三個(gè)空位中，有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與這兩個(gè)相鄰空位不相

鄰，共有幾種坐法？

【答案】480種

【分析】首先將兩個(gè)空位看成一個(gè)整體，再利用插空法求解.

【詳解】把兩個(gè)相鄰空位看成一個(gè)整體，另一個(gè)空位與這個(gè)整體不相鄰，則是用四個(gè)人把兩個(gè)元素隔開的典型問題，

就可先讓四人坐在四個(gè)位置上，再讓后兩個(gè)“元素”（一個(gè)是兩個(gè)作為一個(gè)整體的空位，另一個(gè)是單獨(dú)的空位）選擇

被四人造成的五個(gè)“空隙”中的兩個(gè)插入，

所以共有用用=480種坐法.

練習(xí)14.喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照合影像（排成一

排）.

（1）要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？

（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？

【答案】（1）144

（2）480

【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行求解即可；

（2）利用插空法進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)橄惭蜓蚣易宓乃奈怀蓡T必須相鄰，

所以可以把它們捆綁一起，然后與灰太狼、紅太狼全排列，

所以一共有A：xA；=144種排法.

（2）喜羊羊家族的四位成員一共形成5個(gè)空，灰太狼、紅太狼進(jìn)行插空,

所以一共有A：xA；=480

練習(xí)15.一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有種；要

使數(shù)學(xué)與物理連排，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，不同的排課方法有種.

【答案】72144

【分析】分類討論文理科的順序可得第一空；利用捆綁法結(jié)合插空法可得第二空.

【詳解】要使文、理科間排，有兩種情況：文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,

共有人，&+&.8=72種排法；

數(shù)學(xué)與物理連排，則把數(shù)學(xué)、物理當(dāng)作一個(gè)元素，化學(xué)不得與數(shù)學(xué)、物理連排，用插空法得：A；?A]A；=144種排

法.

故答案為：72；144.

題型四倍縮法

例7.某學(xué)習(xí)小組A、B、C、D、E、F、G七名同學(xué)站成一排照相，要求A與3相鄰，并且C在。的左邊，E

在。的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)為（）

A.120B.160C.240D.360

【答案】C

【分析】將A與8捆綁，然后要求C在。的左邊，E在。的右邊，結(jié)合倍縮法可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，A與B相鄰，則將A與B捆綁，

然后要求C在。的左邊，E在。的右邊，

由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為=上尸=24。種.

A；6

故選：C.

例8.某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”為主題的元旦文藝晚會(huì).晚會(huì)組委會(huì)計(jì)劃在原定

排好的5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來5個(gè)節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個(gè)教師節(jié)目有種

不同排法（用數(shù)字作答）

【答案】42

【分析】用相對(duì)順序已定的排列模型求解.

【詳解】5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，共有7個(gè)節(jié)目，把7個(gè)節(jié)目看成有順序的7個(gè)位置，

將這7個(gè)位置挑出2個(gè)位置安排給2個(gè)教師節(jié)目，共有A