2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題1(含解析)

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

第I卷

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.在等差數(shù)列中，若"4=11,%=15,則｛為｝的公差為()

A.-2B.2C.-3D.3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，列出方程，解之即可.

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d，

則q+3d=11嗎+5"=15,

解得d=2.

故選：B.

2.如果直線au平面a,直線平面〃，且a〃/，則a與b()

A.共面B.平行

C,是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線

【正確答案】D

【分析】根據(jù)線面和面面的位置關(guān)系直接得出結(jié)論.

【詳解】a//p,說(shuō)明。與6無(wú)公共點(diǎn)，

?“與b可能平行也可能是異面直線.

故選：D.

3.4位同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每位同學(xué)只能去一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方

法共有()

A.3今種B.43種C.A：種D.

種

【正確答案】A

【分析】由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】4位同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每位同學(xué)只能去一個(gè)小區(qū)，則每位同

學(xué)都有3種選擇，

所以共有34種不同的安排方法，

故選：A

4.（X-1）"的展開(kāi)式的第6項(xiàng)的系數(shù)是

A.-C*B.C%C.一%D.C,o

【正確答案】C

【分析】先寫出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，通過(guò)通項(xiàng)求解.

【詳解】由題得-1）?=0,1,2,10）,

5555

令r=5,所以7；=q>（-1）=-C,0x,

所以（x-iy°的展開(kāi)式的第6項(xiàng)的系數(shù)是一

故選C

本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)

題.

5.己知等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S,,；等比數(shù)列｛“｝的前〃項(xiàng)和為7；,且

%=a=1也=2%=8,則S5+4=（）

A.22B.34C.46D.50

【正確答案】C

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為力等比數(shù)列｛a｝的公比為g,解出d和g,再求出S5和

4，即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列也“｝的公比為q,

因?yàn)閝=b}=I,"=2%=8,

a4=ax+3d=1+3d=4也=a1",=/=8

解得：d=\,q=2.

則=%+/+%+。4+a,=l+2+3+4+5=15,

4=4+a+”+“+仇=1+2+4+8+16=31,

所以S5+7；=15+31=46.

故選：C

等差（比）數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換和靈活運(yùn)用性質(zhì).

6.己知編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3

號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若

第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放

入球的盒子中任取一個(gè)球，則第二次抽到3號(hào)球的概率為（）

17111

A.~B.—C.—D.一

236486

【正確答案】C

【分析】記第一次抽到第i號(hào)球的事件分別為4（,=1，2,3）,記第二次在第i號(hào)盒內(nèi)抽到3

號(hào)球的事件分別為與（i=1,2,3）,再利用全概率公式求解即可.

【詳解】記第一次抽到第i號(hào)球的事件分別為4（'=1,2,3）,

則有尸（4）=；，尸（4）=尸（4）=；，

記第二次在第i號(hào)盒內(nèi)抽到3號(hào)球的事件分別為用。=1,2,3）,

而4，4，4兩兩互斥，和為Q,P（引4）=；，尸（見(jiàn)4）=；，尸（困4）=：，

記第二次抽到3號(hào)球的事件為8,

尸（3）=岑尸（44）=￡［尸（4）?尸（瓦［4）］=；x；+；x；+；x：=1.

故選:C.

22

rv

7.已知橢圓=1(。>b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。，口是橢圓E的焦點(diǎn).若橢圓E

上存在點(diǎn)尸，使△。氏P是等邊三角形，則橢圓E的離心率為()

A.gB.4-273C.V3-1D.B

2

【正確答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)P為橢圓石上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)耳為橢圓E的左焦點(diǎn)，計(jì)算出|尸制、

|尸￡|,利用橢圓的定義可得出關(guān)于a、C的等式，進(jìn)而可求得橢圓E的離心率.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P為橢圓E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)片為橢圓E的左焦點(diǎn)，

因?yàn)?OFP是等邊三角形，則\PF\=\OF\=\OP\=c,ZPOF=60",

\OP\=\OF\=c,所以，乙OPF、=NO片尸=30”，：.NFPF、=ZOPF+NOPF、=90”,

所以，歸耳|=5鵬|2一歸殲=&,

由橢圓的定義可得2a=|PE|+1產(chǎn)用=(6+1卜，

C2r~

因此，橢圓￡的離心率為e=,=m=6T.

故選：C.

方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得“、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于“、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.

8.設(shè)a=ln3,/>=V3In2(c=&ln3，則。、b、c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【正確答案】D

。1

【分析】利用函數(shù)/（月=一?在（O,e）上的單調(diào)性可得到6、c的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性可得出。、b的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/（x）=2巫，其中x>0,則/"）=2（1鑼）,

XX

當(dāng)0<x<e時(shí)，"（x）>0,所以，函數(shù)/（X）在（o,e）上單調(diào)遞增，

因?yàn)?<正<e，則/（行）</（6），即2'nJJ舊金,即JJln2<J^ln3,

v2v3

所以，b<c,

o

因?yàn)?5=243<256=2%故51n3<81n2,即ln3<—ln2〈百ln2,即a<6,

因此，c>b>a.

故選：D.

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的

得0分）

22

9.已知曲線C：二一+二一=1,則（）

4-7772+加

A,加=2時(shí)，則C的焦點(diǎn)是耳倒,后），?

B.當(dāng)〃?=6時(shí)，則。的漸近線方程為〉=±2x

C.當(dāng)。表示雙曲線時(shí)，則加的取值范圍為加<一2

D.存在加，使C表示圓

【正確答案】ABD

【分析】AB選項(xiàng)，代入加的值，分別得出是什么類型的曲線，進(jìn)而作出判斷；C選項(xiàng)，要

想使曲線。表示雙曲線要滿足（4一加）（2+M）＜0；D選項(xiàng)，求出曲線C表示圓時(shí)機(jī)的值.

【詳解】當(dāng)〃?=2時(shí)，曲線C：y+^=l,是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且。2=4-2=2，

所以交點(diǎn)坐標(biāo)為耳（0,J5）,g（0,—&），A正確；當(dāng)加=6時(shí)，曲線C：y=l,

是焦點(diǎn)在在y軸上的雙曲線，則C的漸近線為y=±2x,B正確；當(dāng)。表示雙曲線時(shí)，要

滿足：（4一加）（2+加）＜0,解得：〃？＞4或機(jī)＜-2,C錯(cuò)誤；當(dāng)4-m=2+相，即心=1

時(shí)，x2+y2=3,表示圓，D正確

故選：ABD

10.設(shè)直線/：y=丘+1（〃€11）與圓。：》2+夕2=5,則下列結(jié)論正確的為（）

A./與C可能相離

B./不可能將C的周長(zhǎng)平分

c.當(dāng)％=1時(shí)，/被c截得的弦長(zhǎng)為m

2

D./被。截得的最短弦長(zhǎng)為4

【正確答案】BD

【分析】求出直線/所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；假設(shè)假設(shè)法可判斷B選項(xiàng)的正

誤；利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線/過(guò)定點(diǎn)（0,1）,且點(diǎn)（0』）在圓。內(nèi)，則直線/與圓。必相交，

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若直線/將圓C平分，則直線/過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線/的斜率不存在，B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)左=1時(shí)，直線/的方程為X—夕+1=0,圓心。到直線/的距離為d=絲，

2

所以，直線/被C截得的弦長(zhǎng)為2,5—（交〕=3后，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，圓心。到直線/的距離為4=41,

“/21+1

所以，直線/被C截得的弦長(zhǎng)為2,554,D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法

（1）幾何法：求圓的半徑為"，弦心距為d,弦長(zhǎng)為/,則/=2,產(chǎn)一屋；

（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式|力同=〃17記卜-馬|?

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體48。-4囪。。|中，點(diǎn)尸在線段8。上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷

中正確的是（）

\.DP//^AB\D\

B.三棱錐力-9PC的體積為」"

12

C.平面尸與平面ZC￡>i所成二面角為90。

7T7T

D.異面直線4P與所成角的范圍是

【正確答案】ACD

【分析】A利用面面平行的性質(zhì)證。尸//面/4R；B應(yīng)用等體積法，根據(jù)特殊點(diǎn)：P與B

重合時(shí)求/-2PC的體積：c先證明。4_L面/C，，再利用面面垂直的判定定理證面

PBQ1面ACR即可;D由ADJIBC.,根據(jù)p在線段BCt的位置，即可確定異面直線4P

與所成角的范圍.

【詳解】A：連接。8,DC},AB],D&1,由于BC、"AD\,DB//D,B\,由面面平行的

判定定理，可證明面Z8QJ/面,又DPu面BDC1,所以。P//面工用。，正確:

B：VA_D^PC=VC_AD]P,因?yàn)镃到面Z。/的距離不變，且的面積不變，所以三棱

錐C-ZOf的體積不變，當(dāng)P與B重合時(shí)得VC_ADB=Vc=1x'x1x1x1=',錯(cuò)誤;

,326

C：由三垂線定理，可證明,再由線面垂直的判定定理可得。與J■面

ACD、,又￡＞用＜=面尸片￡＞,則面尸片。，面ZCj,正確：

D：由異面直線4P與NA所成角即為//與8G所成角，又V48G為等邊

三角形，當(dāng)P與線段8cl的兩端點(diǎn)重合時(shí)，40與所成角取最小值t，當(dāng)P與線段8G

JTTTTT

的中點(diǎn)重合時(shí)，4。與所成角取最大值故4尸與/功所成角的范圍,正

確.

D

12.己知拋物線_/=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)。的動(dòng)直線/交拋物線于另一點(diǎn)P,交拋物線

的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。為線段尸。中點(diǎn)，則歸目=2B.若歸曰=4,則|0P|=2后

C.存在直線/,使得PFLQFD.△PFQ面積的最小值為2

【正確答案】AD

【分析】對(duì)于A,求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義求出|PE|,即可判斷：

對(duì)于B,根據(jù)拋物線的定義求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出|。尸|,即可判斷，

對(duì)于C,P（a2,2a）,則《一1,一/），判斷而是否有解，即可判斷；

對(duì)于D,根據(jù)5秒.2=（?|?？趞?|力一坨|，結(jié)合基本不等式即可判斷.

【詳解】解：拋物線_/=4x的準(zhǔn)線為x=—1,焦點(diǎn)廠（1,0）,

若。為尸。中點(diǎn)，所以與=1,所以PE=%+1=2,故A正確；

若忸目=4,則巧,=4—1=3,所以|（9尸］=6""=1君+4項(xiàng),=后,故B錯(cuò)誤;

設(shè)尸（片,2a）,則所以加:（二一i,2a）,求（2,：）,

所以RP-QE=2a2-2+4=2a2+2>0，所以尸尸與尸。不垂直，故C錯(cuò)誤；

S也=；?|。叩力_%卜;Xlx勿+2=同+1之2,

IatI

當(dāng)且僅當(dāng)14=百，即4=±1時(shí)，取等號(hào)，

所以△PF0面積的最小值為2,故D正確.

故選：AD.

第n卷

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.圓G:x2+V—2x+10y—24=0與圓。2：/+歹2+2》+2y一8=0的公共弦所在直

線的方程為.

【正確答案】x-2y+4=0

【分析】利用兩圓的一般方程相減即可得出結(jié)果.

x2+y2-2x+1-24=0

【詳解】聯(lián)立兩圓的方程得

x2+y2+2x+2y-S=0

兩式相減并化簡(jiǎn)，得工-2歹+4=0,

所以兩圓公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0.

故答案為.x-2y+4=0

14.函數(shù)/(x)=e'+：在其圖象上的點(diǎn)(l,e+1)處的切線方程為.

【正確答案】y=(e-l)x+2

【分析1對(duì)/(x)=e'+g求導(dǎo)，求出/'(l)=e-l,再由點(diǎn)斜式方程即可得出答案.

【詳解】/'(力=砂一★,=又切點(diǎn)為(l,e+l),

切線斜率左=/'(l)=e-l,即切線方程為y-(e+l)=(e-D(x-l),

即N=(e-l)x+2.

故答案為.y=(e—1)%+2

5y432

15.己知(2x-1)=a5x+a4x+a3x+a2x+a}x4-tz0,則

同+同++同=.

【正確答案】243

【分析】利用賦值法，根據(jù)方程思想，可得答案.

【詳解】令%=1,得%+%+。3+“2+?！?。0=1，①

令x=—1,得—%+。4—。3+。2—+。0=-243,②

②+①，得2(%+%+〃0)=-242,即為+出+〃0=一121.

①一②，得2(%+4+6)=244,即生+/+6=122.

所以同+同++|a5|=122+121=243.

故答案為.243

16.已知甲、乙兩人的投籃命中率都為p(O<p<l),丙的投籃命中率為1-2，如果他們

三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為.

23

【正確答案】—

【分析】利用對(duì)立事件概率公式可求得P（N）=l-p（l-2）2,利用導(dǎo)數(shù)可求得尸（Z）的最

小值.

【詳解】設(shè)事件A為“三人每人投籃一次，至少一人命中”，則尸（彳）=?（1一夕）2,

.?.尸（Z）=l-P（l-P）2,

設(shè)/（2）=1-2（1-夕）2，O<P<1，

則/'（p）=-（l-p）2+2p（l-p）=-（3p-l）（p—l）,

.?.當(dāng)0<p<；時(shí)，/'（2）<0；當(dāng):<P<1時(shí)，/"（'）>0；

二/（0）在（（）,§）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；./（p）mM=./=1--X—=—>

23

即三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為

27

23

故答案為.—

27

思路點(diǎn)睛：利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的求解思路為：

（1）將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)單事件的和；

（2）將彼此互斥簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知（易求）概率的相互獨(dú)立事件的

積事件；

（3）代入概率的積、和公式求解.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步聚）

+《）的二項(xiàng)展開(kāi)式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

17.已知|2x2

（1）求展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)；

（2）求出展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)（即x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）.

【正確答案】（1）240；

（2）64”，160x5，x-2.

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知N=6,求出展開(kāi)式通項(xiàng)（句，令，=2可求第三項(xiàng)

系數(shù);

（2）根據(jù)展開(kāi)式通項(xiàng)，當(dāng)r=0,3,6時(shí)為有理項(xiàng)，代入計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題可知，77=6,

6r2

則二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為1+1=C>（2x2）6[=C'6-2--x~,

\7

展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)為：C>2^2=240；

【小問(wèn)2詳解】

展開(kāi)式中有理項(xiàng)為r=0,3,6時(shí)，

即7；=《.26-2=64”,

7；=C<26'3-X5=160X\

7；=C<26-6X-2=X_2.

18.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足q=3,an+1=3an-4n.

（1）計(jì)算外,%，猜想｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛2"4｝的前〃項(xiàng)和S,,.

【正確答案】（1）%=5,%=7,an=2n+\

（2）S?=（2?-l）-2n+1+2

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算，并結(jié)合等差數(shù)列猜想求解即可；

（2）結(jié)合（1）得=（2〃+1>2”,進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足q=3,%=3%-4〃，

所以，。2=3[-4=9一4=5,a3=3%-8=15-8=7,

所以，由數(shù)列｛6,｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列｛%,｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即

an=2〃+1.

【小問(wèn)2詳解】

解：由(1)知an=2〃+1,代入a?+1=3a?-4n檢驗(yàn)知其滿足,

n

所以，=2/1+1,an-2=(2n+l)-2",

所以，S,=3x2+5x22+7x23++(2〃一1).2"T+(2〃+1>2",①

2s,=3x22+5x23+7x24++(2〃-1>2"+(2〃+1>2向，②

由①一②得，—S“=6+2X(2?+23++2")-(2〃+1>2"

=6+2x*(5)

-(2M+1)-2fl+I=(1-2n)-2n+1-2,

所以，S“=(2〃—1>2用+2.

19.如圖,直三棱柱的側(cè)面菱形，B.CVA.B.

B

（1）證明：4￡_1_50；

（2）設(shè)。為3c的中點(diǎn)，CA=CB,記二面角?！?4―C為。，求|cose|的值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】（1）連接利用菱形的性質(zhì)可得Bq_L81C,利用線面垂直的判定定理可得

gC_L平面43C；,即可證明結(jié)論；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求

出平面"A。和平面/片。的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖，連接5G,因?yàn)閭?cè)面8CGa是菱形，

則BC1151C,

因?yàn)?1CJ_48,48c6G=B,A]B,BC[u平面NfG,

則8c，平面48G,

因?yàn)?Gu平面48G,

所以8C_L4G；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)橹比庵鵑BC-44G中，

由⑴可得，B,c1AC,

又B]CcCCi=C,B、C,CC,u平面BCC[B],則4CJ_平面BCC.5,,

故以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)ZC=2,則。(1,0,0),〃(0,2,0),5,(2,0,2),C(0,0,0),

所以。4=(一1,2,0),DB{=(1,0,2),CA=(0,2,0),CB,=(2,0,2),

設(shè)平面ABQ的法向量為片二(x,乂z),

n-DA怎-x+2y=0

則〈Xr*，

n-DB{=x+2z=0

令x=2,貝ijy=l,z=-1,故5二(2』,一1),

設(shè)平面AB、C的法向量為加=(a,Ac),

(A八

m-CA=2b=0

則〈X,

tn-C5(=2a+2c=0

令a=l,貝!|c=-l,故加=(1,0,—1),

AAf-

XX

所以|cos<n>|=

n\~76x^2-2'

20.選手甲分別與乙、丙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果甲、乙比賽，那么每局比賽中獲勝的概

率為|,乙獲勝的概率為g,如果甲、丙比賽，那么每局比賽甲、丙獲勝的概率均為g.

（1）若采用3局2勝制，兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率分別是多少？

（2）若采用5局3勝制，兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率分別是多少？你能否據(jù)此說(shuō)明賽制與選手

實(shí)力對(duì)比賽結(jié)果的影響？

O1

【正確答案】（1）甲、乙比賽甲獲勝的概率一，甲、丙比賽甲獲勝的概率;；（2）甲、乙

1252

比賽，甲獲勝的概率0.68256,甲、丙比賽，甲獲勝的概率0.5；答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）分甲獲勝的可能分2:0、2:1兩種情況分計(jì)算出兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率，即可

得解；

（2）分甲獲勝的可能有3:0、3:1或3:2三種情況，分別計(jì)算出兩場(chǎng)比賽甲獲勝的概率，

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）采用3局2勝制，甲獲勝的可能分2:0,2:1,

因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，

aa/\2Qo1

所以甲、乙比賽甲獲勝的概率E=±x±+C；x-x-=—f

1

5525125

甲、丙比賽甲獲勝的概率j

（2）采用5局3勝制，甲獲勝的情況有3:0、3:1或3:2,

甲、乙比賽，甲獲勝的概率￡+C；x沁

甲、丙比賽，甲獲勝的概率與=［；）xg+C：

+C；

因?yàn)槠?0.648<鳥(niǎo)，所以甲、乙比賽，采用5局3勝制對(duì)甲有利,

鳥(niǎo)=乙，所以甲、丙比賽，采用5局3勝制還是3局2勝制，甲獲勝的概率都一樣，

這說(shuō)明比賽局?jǐn)?shù)越多對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者有利.

思路點(diǎn)睛：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：

（1）首先確定各事件是相互獨(dú)立的：

（2）再確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生；

（3）先求出每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求其積.

22

21.己知雙曲線。：?一方=i（a>o,/）>o）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,漸近線方程是

y=±半X，點(diǎn)4（0力），且△/斗鳥(niǎo)的面積為6.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/：?=h+加（左。0,加。0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)尸，Q,若|40|=|4。|,

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【正確答案】（1）--4=1

54

98

（2）m<——或0<加<一?

29

【分析】（1）根據(jù)題意，由條件結(jié)合雙曲線。c的關(guān)系，列出方程，即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，設(shè)。（西,弘），聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理，由|/尸|=|4。|

知，列出不等式即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得2=2叵，①

a5

X

^^AFXF2=~2CXZ）=6,②

/+/=M，③

由①②③可得/=5，〃=4,

???雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是E-d=l.

54

【小問(wèn)2詳解】

由題意知直線/不過(guò)點(diǎn)4

設(shè)尸（石,弘）,線段尸0的中點(diǎn)為￡＞（%,%）,連接

將夕=日+力與工一匕=1聯(lián)立，消去V,

54

整理得（4—5女2卜2—1OQ”X—5/-20=0,

4-5左270

由4一5乙。且A〉。叫80-5d+4）＞。'④

10km5m2+20

廠?須+

x22玉Z=

~4-5k4-5k2

xx+x2_5km4m

??XQy=kx+tn=

2~4-5k2Q04-5k2

由|ZP|=M0|知，ADVPQ,又4(0,2),

4m2

L=止2=4一斗--=-1化簡(jiǎn)得10左2=8—9加，⑤

X。5kmk

4—5左2

98

由④⑤，得——或加>0.由10人28—9m〉0，得加＜§.

2

98

綜上，實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是加<一一或0〈加〈一.

29

22.已知函數(shù)/(力二1一八+lnx(x〉0).

(1)若/(x)40在(0,+力)上恒成立，求。的取值范圍；

(2)在(1)的條件下證明:對(duì)任意〃wN*，都有1+，+」++，>ln(〃+

23n

⑶設(shè)g(x)=(x-l)2e"討論函數(shù)尸(x)=/(x)