二次函數(shù)知識點總結(jié)復(fù)習高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

《二次函數(shù)》知識點總結(jié)二次函數(shù)基本概念二次函數(shù)圖像變換二次函數(shù)性質(zhì)深入探究二次不等式與區(qū)間求解技巧二次函數(shù)在幾何中應(yīng)用舉例二次函數(shù)綜合題型剖析與備考建議目錄二次函數(shù)基本概念01一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。定義二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸為x=-b/2a，頂點坐標為(-b/2a,c-b2/4a)。性質(zhì)二次函數(shù)定義及性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，根據(jù)a的正負和絕對值大小，拋物線開口方向、寬窄和頂點位置會有所不同。拋物線具有對稱性，對稱軸兩側(cè)的圖像關(guān)于對稱軸對稱；拋物線頂點是函數(shù)的最值點，根據(jù)a的正負可以確定是最大值還是最小值。二次函數(shù)圖像與特點特點圖像y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）一般式頂點式交點式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0），其中(h,k)為頂點坐標。y=a(x-x1)(x-x2)（a、x1、x2為常數(shù)，a≠0），其中x1、x2為拋物線與x軸的交點橫坐標。030201二次函數(shù)表達式形式通過求解一元二次方程，可以得到二次函數(shù)的根，進而確定拋物線與x軸的交點位置。二次函數(shù)的圖像可以幫助我們更直觀地理解一元二次方程的解的情況，如判別式的正負、根的個數(shù)和分布等。二次函數(shù)與一元二次方程緊密相關(guān)，一元二次方程的解就是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)圖像變換02二次函數(shù)圖像在x軸方向上的平移，左加右減，即函數(shù)$y=f(x)$向左平移$a$個單位得到$y=f(x+a)$，向右平移$a$個單位得到$y=f(x-a)$。水平平移二次函數(shù)圖像在y軸方向上的平移，上加下減，即函數(shù)$y=f(x)$向上平移$b$個單位得到$y=f(x)+b$，向下平移$b$個單位得到$y=f(x)-b$。垂直平移平移變換規(guī)律x軸方向伸縮函數(shù)$y=f(x)$的圖像在x軸方向上放大或縮小，橫坐標伸長或縮短為原來的$frac{1}{a}$倍，得到$y=f(ax)$。y軸方向伸縮函數(shù)$y=f(x)$的圖像在y軸方向上放大或縮小，縱坐標伸長或縮短為原來的$a$倍，得到$y=af(x)$。伸縮變換規(guī)律若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于x軸對稱，則其對稱函數(shù)為$y=-f(x)$。關(guān)于x軸對稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于y軸對稱，則其對稱函數(shù)為$y=f(-x)$。關(guān)于y軸對稱若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于原點對稱，則其對稱函數(shù)為$y=-f(-x)$。關(guān)于原點對稱對稱變換規(guī)律復(fù)雜圖像變換通常涉及多種基本變換的組合，如平移、伸縮和對稱等。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題靈活選擇和應(yīng)用這些基本變換規(guī)律。解決復(fù)雜圖像變換問題的關(guān)鍵是明確變換的順序和步驟，通常按照“水平平移→伸縮變換→垂直平移”的順序進行變換。在解決具體問題時，還需要注意變換過程中函數(shù)解析式的變化，確保每一步變換都正確無誤。復(fù)雜圖像變換綜合應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)深入探究03開口方向二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的開口方向由系數(shù)$a$決定，當$a>0$時，開口向上；當$a<0$時，開口向下。最值問題對于開口向上的二次函數(shù)，其最小值出現(xiàn)在對稱軸上，對于開口向下的二次函數(shù)，其最大值也出現(xiàn)在對稱軸上。對稱軸的公式為$x=-frac{2a}$。開口方向及最值問題零點存在性定理應(yīng)用零點存在性定理如果二次函數(shù)在區(qū)間[a,b]的兩端取值異號，則該函數(shù)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點。應(yīng)用利用零點存在性定理，可以判斷二次函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)是否有解，進而求解相關(guān)問題。判別式Δ=b2-4ac用于判斷二次方程的根的情況，當Δ>0時，方程有兩個不相等的實根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實根；當Δ<0時，方程無實根。判別式意義判別式在求解二次方程、判斷二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)等問題中有著廣泛應(yīng)用。運用判別式Δ=b2-4ac意義及運用求解策略對于區(qū)間上的最值問題，首先判斷二次函數(shù)的開口方向和對稱軸位置，然后結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，得出最值。注意事項在求解區(qū)間上最值問題時，需要注意區(qū)間的開閉情況，以及對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)等因素。區(qū)間上最值問題求解策略二次不等式與區(qū)間求解技巧04確定二次項系數(shù)正負，判斷開口方向。計算判別式，判斷根的情況。利用求根公式或配方法求出不等式的根。根據(jù)開口方向和根的情況，確定不等式的解集。01020304二次不等式解法步驟梳理區(qū)間的表示方法用括號或方括號表示區(qū)間的開閉，如$(a,b)$、$[a,b]$等。0102區(qū)間的運算規(guī)則包括區(qū)間的并集、交集、差集等運算，注意運算結(jié)果的開閉情況。區(qū)間表示方法及運算規(guī)則回顧在數(shù)軸上標出不等式的解集，通過觀察數(shù)軸確定復(fù)雜區(qū)間的解集。數(shù)軸分析法對于含有參數(shù)的不等式，需要根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行分類討論，確定每種情況下的解集。分類討論法將復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡單的不等式組進行求解，注意等價轉(zhuǎn)化的條件。轉(zhuǎn)化法復(fù)雜區(qū)間求解策略分享實際問題中的區(qū)間求解往往與函數(shù)的定義域、值域有關(guān)，需要注意這些限制條件。對于實際問題中的最值問題，可以通過求解函數(shù)的極值和端點值來確定最值所在的區(qū)間。在解決實際問題時，需要注意單位換算和量綱一致，避免出現(xiàn)計算錯誤。實際應(yīng)用問題中區(qū)間求解技巧二次函數(shù)在幾何中應(yīng)用舉例05拋物線標準方程及其幾何意義$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）表示一個拋物線，其頂點坐標為$(-b/2a,c-b^2/4a)$，對稱軸為$x=-b/2a$。拋物線標準方程拋物線在幾何中代表著一種對稱的圖形，其開口方向由系數(shù)$a$決定。當$a>0$時，拋物線開口向上；當$a<0$時，拋物線開口向下。幾何意義VS聯(lián)立直線與拋物線方程，消去一個未知數(shù)后得到一元二次方程，利用判別式$Delta=b^2-4ac$判斷方程的解的情況，從而確定直線與拋物線的位置關(guān)系。交點個數(shù)當$Delta>0$時，直線與拋物線有兩個交點；當$Delta=0$時，直線與拋物線有且僅有一個交點；當$Delta<0$時，直線與拋物線無交點。判別式法直線與拋物線位置關(guān)系判斷將兩個曲線的方程聯(lián)立起來，解這個方程組即可得到交點的坐標。對于一些難以直接求解的方程組，可以采用數(shù)值解法（如牛頓迭代法）來逼近交點的坐標。聯(lián)立方程法數(shù)值解法曲線交點坐標求解方法利用二次函數(shù)性質(zhì)在某些幾何圖形面積最值問題中，可以將面積表示為某個變量的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)（如頂點坐標公式）來求解面積的最值。實際應(yīng)用舉例例如，在求解矩形面積最值時，可以設(shè)矩形的一邊長為自變量$x$，另一邊長用含$x$的表達式表示，然后將面積表示為$x$的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最值。幾何圖形面積最值問題優(yōu)化二次函數(shù)綜合題型剖析與備考建議0603二次函數(shù)的實際應(yīng)用如拋物線型問題、最大最小值問題等。01二次函數(shù)的基本性質(zhì)和圖像包括開口方向、頂點坐標、對稱軸等。02二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系理解二次函數(shù)與對應(yīng)的一元二次方程之間的聯(lián)系，如根與系數(shù)的關(guān)系等。選擇填空題常見考點梳理明確題目要求建立數(shù)學模型利用已知條件求解檢驗解的合理性解答題解題思路總結(jié)與分享01020304仔細審題，明確題目要求解的是什么，需要用到哪些知識點。將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立相應(yīng)的二次函數(shù)模型。根據(jù)已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識進行求解。對求得的解進行檢驗，確保其符合題目要求和實際情況。難題攻克策略對于難題，首先要保持冷靜，然后嘗試從多個角度進行思考和分析，尋找突破口。同時，可以運用一些特殊方法進行求解，如數(shù)形結(jié)合法、分類討論法等。備考建議在備考過程中，要注重對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，建立完整的知識體系。同時，要多做練習題，提高解題速度和準確率。此外，還要注重對歷年真題的研究和分析，了解考試趨勢和命題規(guī)律。難題攻克策略及備