平面曲線的切線與法線

關于平面曲線的切線與法線一、平面曲線的切線與法線曲線L：條件：上一點,近旁,F滿足隱函數定理條件,可確定可微的隱函數:處的切線：第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天總之,當例1求笛卡兒葉形線在點

處的切線與法線.解設由§1例2

的討論近旁滿足隱函數定理第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天的條件.容易算出于是所求的切線與法線分別為例2用數學軟件畫出曲線的圖象；并求該曲線在點處的切線與法線.

第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解在MATLAB指令窗內執(zhí)行如下繪圖指令:

symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

就立即得到曲線L的圖象(見本例末頁).令容易求出:第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天由此得到L在點處的切線與法線分別為：若在上面的MATLAB指令窗里繼續(xù)輸入如下指令,便可畫出上述切線與法線的圖象(如圖).

holdon;

a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))

第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3設一般二次曲線為試證L

在點處的切線方程為證第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天由此得到所求切線為利用滿足曲線L的方程,即整理后便得到第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天二、空間曲線的切線與法平面先從參數方程表示的曲線開始討論.在第五章§3已學過,對于平面曲線若是其上一點,則曲線在點處的切線為下面討論空間曲線.第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(A)用參數方程表示的空間曲線:

類似于平面曲線的情形,不難求得處的切線為過點且垂直于切線的平面,稱為曲線L在點處的法平面.第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天因為切線的方向向量即為法平面的法向量,所以法平面的方程為(B)用直角坐標方程表示的空間曲線：

設近旁具有連續(xù)的一階偏導數,且第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天不妨設于是存在隱函數組這也就是曲線L以z作為參數的一個參數方程.根據公式(2),所求切線方程為第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天應用隱函數組求導公式,有于是最后求得切線方程為相應于(3)式的法平面方程則為第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例4求空間曲線在點處的切線和法平面.解容易求得故切向向量為由此得到切線方程和法平面方程分別為第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);

ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])

繪制上述空間曲線的程序與所得圖形如下:第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例5求曲線在點處的切線與法平面.解曲線L

是一球面與一圓錐面的交線.令根據公式(5)與(6),需先求出切向向量.為此計算F,G

在點處的雅可比矩陣:第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天由此得到所需的雅可比行列式:第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天故切向向量為據此求得第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

三、曲面的切平面與法線以前知道,當f

為可微函數時,曲面z=f(x,y)在點處的切平面為現在的新問題是:曲面由方程給出.若點近旁具有連續(xù)的一階偏導數,而且第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天不妨設則由方程(7)在點近旁惟一地確定了連續(xù)可微的隱函數因為所以在處的切平面為又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天一般應寫成隨之又得到所求的法線方程為回顧1現在知道,函數在點P的梯度其實就是等值面在點P

的法向量:第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天回顧2若把用方程組(4)表示的空間曲線L看作曲面的交線,則L在

點的切線與此二曲面在的法線都相垂直.而這兩條法線的方向向量分別是第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天故曲線(4)的切向向量可取的向量積:這比前面導出(5),(6)兩式的過程更為直觀,也容易記得住.第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例6

求旋轉拋物面在點解令則曲面的法向量為處的切平面和法線.從而由(9),(10)分別得到切平面為法線為第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天()例7證明:曲面的任一切平面都過某個定點(這里f是連續(xù)可微函數).()證令則有第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天()于是曲面在其上任一點處的法向量可取為由此得到切平面方程:將點代入上式,得一恒等式:第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天這說明點恒在任一切平面上.第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天四、用參數方程表示的曲面曲面也可以用如下雙參數方程來表示:這種曲面可看作由一族曲線所構成:每給定v的一個值,(11)就表示一條以u為參數的曲線;當v取某個區(qū)間上的一切值時,這許多曲線的集合構成了一個曲面.現在要來求出這種曲面的切平面和法線的方程.為此假設且第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(11)式中三個函數在近旁都存在連續(xù)的一階偏導數.因為在處的法線必垂直于上過的任意兩條曲線在的切線,所以只需在上取兩條特殊的曲線(

見圖

):它們的切向量分別為第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天則所求的法向量為至此,不難寫出切平面方程和法線方程分別為

第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天解先計算在點處的法向例8設曲面的參數方程為試對此曲面的切平面作出討論.量:第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天由此看到,當時說明在曲面(12)而當時,法向量可取上存在著一條曲線,其方程為在此曲線上各點處,曲面不存在切平面,我們稱這種曲線為該曲面上的一條奇線.

與之對應的切平面則為第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天法線則為當動點趨于奇線(13)上的點時,法向量存在極限:第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天此點處不存在法此時切平面存在極限位置:有時需要用此“極限切平面”來補充定義奇線上的切平面.注曲面上的孤立奇點往往是曲面的尖點,如圓錐面的頂點在線和切平面.而