2023-2024學(xué)年莆田市擢英中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年莆田市擢英中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

2023.11

（滿(mǎn)分150分考試，時(shí)長(zhǎng)120分鐘.）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目

要求的）

1.如圖，在平行六面體A'。。一ABCQ中，M是8G的中點(diǎn)，設(shè)"=。，仞=匕，的=。，則AM=（）

11,JijI

—a+b+cciH—b+ccibc-(—bt—c

22

A.B.C.2D.22

2.已知直線I：7加+2y—2=0與直線4：5x+(m+3)y—5=0,若k〃I2,貝()

A.巧B.2C.2或一5D.5

3.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M、N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成

角的余弦值等于（）

^23

A.2B.4c5D.5

4.設(shè)直線4?+3y_7=O與直線Lx_y+l=0的交點(diǎn)為尸，則尸到直線/：》+毆+2-。=0的距離最大值為

A.而B(niǎo).4c.3亞D.V1T

5.圓0：/+丁=4和圓Q:x2+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為人，B；貝第（）

A.公共弦AB所在直線方程為》一2丁+1=°

士至

B.公共弦AB的長(zhǎng)為5

C.線段AB中垂線方程為2》-'=0

1

n

ZAO.B>-

D.2

￡￡

6.已知橢圓?2+廿=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐

標(biāo)為（1,—1）,則E的方程為

.21

A.45+36=1B.36+27=1C,藥+布=1D.18+9=1

7.如圖，在正方體ABCD-A用GA中，0是AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段AG上，若直線°P與平面ABC所成

的角為6,貝Usin。的取值范圍是（）.

V26「11][走走]「11]

545

R32c3n4*3

D.1-」C.1-」D.1-」

8.己知AC,3。為圓°：尤2+^=4的兩條互相垂直的弦，且垂足為加（1"2）,則四邊形ABCD面積的

最大值為（）

A.4B.5C.8D.10

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.）

9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤有（）

A.=-1”是“--y+1=0與直線x—3—2=0互相垂直，，的充要條件

B.過(guò)（/‘兀），（毛，人）兩點(diǎn)的所有直線的方程為%一%一起一玉

"乃[[3"）

0,—u,兀

C.直線xcosc+y+l=0的傾斜角6的取值范圍是L4JL4）

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（L2）且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為尤+y-3=0

22

工-匕=1

10.已知雙曲線C：84上的兩點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是C上的任意點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

,悶>變

A.若直線'=近與雙曲線C無(wú)交點(diǎn)，貝『2

2

B.焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

8

C.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為§

D.當(dāng)P與A,B不重合時(shí)，且直線PA,PB的斜率存在，則直線PA,PB的斜率之積為2

%2_,

----Fy2=1077

11.已知橢圓C：4,心分別為它的左右焦點(diǎn)，A,B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）

71

ZFXPF2=-

A.不存在P使得2

3

B.cosNAPb的最小值為5

若/百Pg=H,則AGP鳥(niǎo)的面積為行

C.

D.P到點(diǎn)（1°）的距離的最小值為了

12.橢圓4土三一1的左、右焦點(diǎn)分別是”、片,尸（工。，幾）是橢圓第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），

△尸牝的重心是G,4戶(hù)2的角平分線交x軸于點(diǎn)加（九°）,下列說(shuō)法正確的有（）

A.G的軌跡是橢圓的一部分

B.OG的長(zhǎng)度范圍是I33>

幽

C.Ml的取值范圍是（L3）

1

m=—xn

D.4

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知點(diǎn)A"?）,，（-1,1,2）,則點(diǎn)A到直線BC的距離是

/y2/\221

14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)p（%y）在橢圓石+宅=1上，過(guò)點(diǎn)p作圓"+-a的切線，切點(diǎn)為M,貝I儼叫的最小

值是

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)&（2,3（4，°）.若直線3x-2y+m=°上存在點(diǎn)p,使得照=#明，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

16.已知雙曲線C：?2段的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為M,交另一條漸

3

近線于N,若5FM=2FN,則C的離心率為

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.一條光線從點(diǎn)尸（一21）射出，經(jīng)x軸反射后穿過(guò)點(diǎn)°（4,2）.

（1）求反射光線所在直線1的方程.

⑵圓心在x軸，半徑為3的圓A與（1）中的1相交弦長(zhǎng)為4,求圓A的方程.

18.如圖，三棱錐尸一.C中，叢，底面ABC,AB1BC,AC=2,BC=1,點(diǎn)M滿(mǎn)足加=/生（0<“<1）,

N是PC的中點(diǎn).

⑴請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)力的值使得BC//平面AMN,并加以證明；

2=-

⑵若二面角尸-BC-A大小為45。，且3,求點(diǎn)M到平面PAC的距離.

19.如圖，有一碼頭?和三個(gè)島嶼A'，。，PC=306nmile,PB=9Qnmile,AB=30nmile,ZPCB=120°

ZABC=90°

（1）求8，C兩個(gè)島嶼間的距離；

（2）某游船擬載游客從碼頭「前往這三個(gè)島嶼游玩，然后返回碼頭P問(wèn)該游船應(yīng)按何路線航行，才能使得

總航程最短？求出最短航程.

4

x2y2,、

從一1a>>0過(guò)點(diǎn)4(2,1),且焦距為2G

20.已知橢圓C：/+

(1)求C的方程;

211

---------------.............—I-..................

⑵已知點(diǎn)'(2T),0(3，°),E為線段AB上一點(diǎn)，且直線。E交C于G,H兩點(diǎn).證明：口同lDGl憐叫.

21.如圖，四邊形ABCD是圓臺(tái)EF的軸截面，M是上底面圓周上異于C,D的一點(diǎn)，圓臺(tái)的高七尸二上,

AB^2CD=4

(1)證明：4W3是直角三角形;

(2)是否存在點(diǎn)M使得平面ADM與平面DME的夾角的余弦值為5,若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是圓A：(x+2)+丁=4上任意一點(diǎn)，點(diǎn)3(2,0),線段BP的垂直平分線與直

線AP交于點(diǎn)Q,記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線1與曲線C(在y軸右側(cè))恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且1與直線分別交于M,N兩點(diǎn)，求BMN

面積S的最小值.

5

1.B

【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則即可計(jì)算.

【詳解】解：因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD中，M是旦G的中點(diǎn)，

AM=AB+BB}+B,M=AB+AAl+-BlCl=AB+AAl+-AD=a+-b+c

所以222

故選：B

2.A

【分析】解方程雙加+3)一2x5=°,再檢驗(yàn)即得解.

【詳解】解:若k〃1,貝-W(〃Z+3)-2X5="22+37"-1°=(〃L2)O+5)=°,所以機(jī)=2或:〃=-5.

當(dāng)〃2=2時(shí)，44重合，不符合題意，所以舍去；

當(dāng)初=-5時(shí)，符合題意.

故選：A

3.D

【分析】將異面直線平移至有交點(diǎn)的位置,在三角形中求出各邊，再用余弦定理即可求出夾角余弦值,即異面

直線夾角余弦值.

【詳解】解屈題知找BC中點(diǎn)尸及靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)為°，連接B\P,MQ,AQ如圖所示：

尸是BC中點(diǎn)，二B\N//PC且4N=PC.四邊形B.PCN為平行四邊形,，4尸〃CN,

?%。是瓦氏8尸中點(diǎn),‘M2//”.?.AM與CN所成角即為AM知。夾角，

:.BtP=y/5,MQ=—,AM=45,PQ=-,AP=43,AQ=—

因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1,AB=A1A=2,222,

在△40Q中由余弦定理可得:

4叱+校—越

cosZAMQ=44J

2AMMQ2.6a5

2

3

故直線AM與CN所成角的余弦值等于5.

6

故選:D

4.A

【分析】先求出尸的坐標(biāo)，再求出直線,所過(guò)的定點(diǎn)Q,則所求距離的最大值就是尸。的長(zhǎng)度.

Jx+3y-7=0\x=l

【詳解】由1尤7+1=°可以得至ub=2,故尸（i，2）,

直線/的方程可整理為：x+2+a（y-l）=°,故直線/過(guò)定點(diǎn)（一2』），

因?yàn)閜到直線I的距離d-\p^,當(dāng)且僅當(dāng)/'PQ時(shí)等號(hào)成立，

故4儂=/（1+2）2+（2-1『=加,

故選A.

【點(diǎn)睛】一般地，若直線4：Ax+&y+G=o和直線/2：4x+B2y+C2=o相交，那么動(dòng)直線

4工+4〉+。|+處4*+82＞。2）=°（2G7?）必過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)為44的交點(diǎn)）.

5.D

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)兩圓的方程求公共弦所在直線的方程；B選項(xiàng)，利用勾股定理求弦長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根

據(jù)圓的性質(zhì)得到線段相中垂線過(guò)圓心°、然后求直線方程；D選項(xiàng)，利用余弦定理得到COSNA.BVO,

聯(lián)立兩圓的方程得到2》一分+4=0,即x-2y+2=0,所以公共弦A3所在的直線方程為“2y+2=0,故

A錯(cuò)；

z2d=a=述

由。Lf+y2=4得4（。，。），半徑4=2,則。I到直線的距離A/1^45,所以

|陰=2M

故B錯(cuò);

由直線A3的方程得線段川中垂線的斜率為-2,根據(jù)圓的性質(zhì)得線段48中垂線過(guò)圓心°、所以中垂線方

程為：V=_2x,即2x+y=0,故C錯(cuò)；

7

圓°?的方程可整理為G+丁+(y-2)一=5,所以2A=0/=%

…64

5+5々

_______5__2_

cosZAOB_M±MdK_=<0

2x6x君25，所以

在三角形A02B中，根據(jù)余弦定理得2-\O2B\-\O2A\

ZAO,B>-

2,故D正確.

故選：D.

6.D

+

京=1

因

+=1

【詳解】設(shè)4和%)、8(%，%),所以b2，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線Afi的斜率為〃，設(shè)直線方

程為，=*3)6b2

，聯(lián)立直線與橢圓的方程(片+片口2-6/尤+耐一/=0,所以為+%一/+/=2

;又因

22解得

為a-b=9f/=9,Q2=18

【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

7.A

-^-=A(O<2<1)

［分析］先設(shè)棱長(zhǎng)為1,AG,建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)4P="AG計(jì)算點(diǎn)P坐標(biāo)和向量°P,

Annsin0=cos(OP,DB.

再寫(xiě)出平面43G的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，根據(jù)I\1構(gòu)建關(guān)系，求其值域即可.

【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AG,則4尸=4AC,

以。為原點(diǎn)，分別以加，DC,所在直線為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

A(1,0,0),C(0,1,0),0[1,1,0

,故AG=AC=(TLO),4P=(-42o),又則p(i—44i).

則

OP=”"一g,l

所以

8

在正方體A'CO-A耳GA中，可知體對(duì)角線4"，平面4BG,

所以。4是平面”G的一個(gè)法向量,

_1y/3屈

A5———--------

所以當(dāng)2時(shí)，sin。取得最大值3,當(dāng)a=0或1時(shí)，sin。取得最小值3.

V2叵

sin6?e

所以

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

求空間中直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；

(2)等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值;

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.

8.B

,,,2,.2_oS=—ACxBD

【分析】設(shè)圓心到AC,BD的距離分別是4,%,則4+出=3,代入面積公式2,利用基本

不等式即可求出四邊形ABC。的面積最大值.

【詳解】設(shè)圓心。到AC,5D的距離分別為4,小，則d；+d；=°"2=3.

S=-ACxBD=--2d4-d；-2d4-d；=2.4-d：?14

四邊形ABCD的面積為：22'i7z'i7z,

<4-力+4-以=5,當(dāng)且僅當(dāng)片二/時(shí)取等號(hào).

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了圓中弦長(zhǎng)公式以及基本不等式的應(yīng)用，四邊形面積可用互相垂直的兩條對(duì)

角線長(zhǎng)度之積的一半來(lái)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

9.ABD

【分析】A.由兩直線互相垂直求解判斷；，B.根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程判斷；C.利用直線的傾斜角和斜率

求解判斷；D分直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)求解判斷.

2

[詳解]A.當(dāng)/尤―'+1=0與直線丁一3_2=0互相垂直時(shí)，a-a=0,解得。=0或a=l,故錯(cuò)誤；

y-y,

B.過(guò)("J,(王2，%)(且玉*尤2，%*%)

兩點(diǎn)的所有直線的方程為％一坊Z-玉故錯(cuò)誤;

C.直線xcose+y+l=0的傾斜角。，則tane=-sin/e[Tl],所以?xún)A斜角，的取值范圍是

9

L4」L4J,故正確；

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（L2）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)為x-y=°,當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)

原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y-a=°,將點(diǎn)（L2）代入得。=2,則直線方程為x+y-3=0,故錯(cuò)誤；

故選：ABD

10.BC

【分析】由雙曲線的漸近線可以判斷A；

求出雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷B；

設(shè)點(diǎn)尸進(jìn)而求出該點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積，并結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判斷C；

求出PA,尸3的斜率之積，并結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判斷D.

y一±—x

【詳解】對(duì)A,雙曲線的漸近線方程為.2,

,小也

若直線'=近與雙曲線C無(wú)交點(diǎn)，則J2.A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由A漸近線方程為x土&>=°,

|±2A/3±O|

d=/2=2

''焦點(diǎn)為（±2否'0）,則焦點(diǎn)到漸近線的距離也+（土母）.B正確；

22

p（\———=\=>x2-2y2=8

對(duì)C,設(shè)點(diǎn)尸小xv刈，則84,

卜+&V卜-_|x2-2/|_8

3一3

點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為4+（2）V1+卜2）

.C正確；

對(duì)D,設(shè)V=8+2y2

,22221

UK%+%--%一1

KpAKpB——22-/22\~o

則為一天再+龍。玉-$2o（必一%）2口錯(cuò)誤

故選：BC.

11.BCD

【分析】由以.。入<°即可判斷A,由余弦定理，即可判斷B,結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理即可判斷C,

由兩點(diǎn)間距離公式，代入計(jì)算，即可判斷D.

10

【詳解】

----1-y2=1r~

設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為“石，因?yàn)闄E圓C：4?,則。=2*=l,c=，3,

所以耳卜瘋0）,馬（后0）,4（-2,0）,3（2,0）,。（0,1）,石（0,-1）

貝產(chǎn)=N，T），W=（"T）,所以外.叫=一3+1=-2<0,

71

則/耳「鳥(niǎo)的最大角為鈍角，即存在P使得-5,故A錯(cuò)誤;

當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到?；駿的位置時(shí)，/APB最大,則cos/4PB最小，

此時(shí)|A*忸*J（-2）2+（力=四且朋=2a=4,

在△ABO中，由余弦定理可得，

|AD|2+|BD2-|AB|25+5-16_3

cosZADB=

21Ao卜BD\2xV5xV5-5

3

所以的最小值為-

cos/4PB5,故B正確;

設(shè)=閶=〃，由橢圓定義可得，〃]+〃=2a=4,即療+/+？根〃二房①,

由余弦定理可得，曜『回『+作「-2電卜1明。若，

4

mn=—

即加十?幾一?根〃=12②，則①―②可得，3加=4,即3,

所以12232323,故C正確;

P（X'I—+Jo=1

設(shè)。知九r人因?yàn)閜為橢圓上的點(diǎn)，所以4-

11

其中-2WX0W2,當(dāng)無(wú)。一］時(shí)，MD"1-3,故D正確；

故選：BCD

12.AD

【分析】A選項(xiàng)，利用重心坐標(biāo)公式和代入法求軌跡方程；B選項(xiàng)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求°G長(zhǎng)度的范圍；C

四=四|沙|I*

選項(xiàng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到眼用歸國(guó)，然后求范圍即可；D選項(xiàng)，根據(jù)M州「周列等式，然后

整理即可.

考y；

由題意得。＜不＜2,°＜%＜石,1十石一1①,耳（-2，。），6（2,0）,

-2+x0+2

A,一

＜3

_0+為+0［冗0=3元

設(shè)G（x，y）,因?yàn)镚是△巴第的中心，所以卜3,即［%=3乙

代入黃牛二】中得？+3心1

因?yàn)?。＜無(wú)。＜2,0＜%＜。3,所以3,3,

所以G的軌跡為橢圓的一部分，故A正確；

2昱|OG|ef—,-＞1

因?yàn)镚的軌跡為橢圓的一部分，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5,短半周長(zhǎng)為3,所以I33人故B錯(cuò);

由橢圓定義得四出尸可=2。=4,設(shè)用=”，〃?2,3）,

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得附用閥?n"S'人故c錯(cuò)；

12

2.3

1-m2一/

m+l2+-x0m=—x0

由①得’4,代入②得2,整理得4故D正確.

故選：AD.

13.2面

【分析】利用空間向量的方法求點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】設(shè)直線8C與直線班夾角為，,

BC=(2,0,-4)溫=(5,2,0)網(wǎng)=，25+4+0=后

uunuir

I/umuir>BCBA|(2,0,-4)-(5,2,0)|57145

cos0=cos(BC,BA

uuP||Utr-

BC\\BA74+0+16x725+4+0145sin".-cos?。=嚼

|S|-sin(9=V29x^^^=2V6

所以點(diǎn)A到直線BC的距離為

故答案為：2面.

叵

14.2

222

\PM\=J\PF1|-r=./|PF,|--

【分析】結(jié)合圖形得'4,即求焦半徑I尸用的最小值.

(x+3)2+y2~(-3,0),r=-

【詳解】圓4的圓心2,

橢圓石+!?=1的焦點(diǎn)為耳(-3,0),尸2(3,。)，Q=5,C=3,

\PM\=JiP*F-嚴(yán)=J,PFip_1

因?yàn)?工

即求焦半徑13I的最小值.

先證焦半徑公式：

22

p(\—+=l(a>b>0)

設(shè)"%x，%v)是橢圓/b?上任一點(diǎn),

耳(-C,0),與(C，。)是橢圓的兩焦點(diǎn)，

13

MP=J（x（）+c）2+y2=，（八+°）2+加."Jo=\".*+25+/=a+詈

則Vav。。

a

因?yàn)?aVx（）Va,所以"十°-;.\PF\=a+ex0

由焦半徑公式知上用="+氣，則當(dāng)％=一。時(shí)，取得最小值1尸用="0=2,

四|=小如一產(chǎn)=J咫F-：=，=羋

人U,

A/15

故答案為：2

15[-2后,2屈]

\PA\=-\PB\,,“

【分析】根據(jù)21I得到廠+A=4,再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到答案.

尸（xv）向1=3冏（x-4）2+/=4r（x-l）2+y2l

整理得到爐+丁=4,圓心為（°，°）,半徑廠=2,

_^L<2

由題意直線3x-2y+m=°與圓有交點(diǎn)，則,解得-2而VmW2&i.

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是卜2小，2屈1

故答案為」一2屈，2碼.

屈

16.3

y=~~（x~c）

【分析】根據(jù)ww垂直漸近線得到直線方用的方程為b，然后分別于漸近線方程聯(lián)立得到點(diǎn)",

N的坐標(biāo)，最后根據(jù)5根=2網(wǎng)列方程求離心率即可.

14

設(shè)P（c，°）,漸近線方程為，=一一+。%,則直線尸河的方程為‘-一-一-石（’"一-"）

a2c

x=----

a-b

babca2cabc、

y=——xv_N

聯(lián)立a得',貝］J

5ab2abcC^_W

因?yàn)?所以5yM=2班，即C~b2-a2,整理得3,

V30

所以C的離心率為亍.

V30

故答案為：3

x-2y=0(x+5)2+/=9^(x-5)2+/=9

17.(1)(2)

【分析】利用尸（一2」）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在反射光線所在的直線上，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可解答案;

利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)與半徑的值可求圓心坐標(biāo)，則圓的方程可求.

【詳解】（1）（1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為S（—2，T）,

2-(T)1

y=：(x+2)-l

2

則直線SQ的斜率為4一（一2）,則SQ方程為2,即1方程為x-2y=0.

M

（2）設(shè)圓心（區(qū)°）,則圓心到直線1的距離為君,

I+22=32

由弦長(zhǎng)等于4得，解得"±5.

15

所以圓A的方程為（x+5『+y2=9或（x-5y+y2=9.

.1V3

X-=-...

18.（1）2,證明見(jiàn)解析⑵3.

2=-

【分析】（1）根據(jù)題意得到2,利用中位線的性質(zhì)得到W3C,然后根據(jù)線面平行的判定定理證

明即可；

⑵根據(jù)二面角的平面角的定義得到NP8A就是二面角尸-BC-A的平面角，即可得到尸4=48=6，將

2

點(diǎn)M到平面PAC的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面PAC的距離的5,然后求距離即可.

【詳解】⑴

/l=-

當(dāng)2時(shí)，滿(mǎn)足題意.M是心的中點(diǎn)，又因?yàn)镹是PC的中點(diǎn),

所以MN〃BC,

又MNu平面ABC,且平面ABC,所以3c〃平面ABC.

（2）由勾股定理得AB=6,

因?yàn)槭?,平面ABC,3Cu平面ABC,所以玄，87,

又AB，BC,ABPA=A?平面尸胡，所以8C」平面PB4,

而PBu平面PH4,故PBLBC,

故"BA就是二面角尸-BC-A的平面角，所以"BA=45。，

所以—Q4B為等腰直角三角形，且以=48=出，

BH=—

過(guò)8作8〃LAC于a,則3”，平面P4C,易得2,

-Dll---

所以點(diǎn)/到平面尸AC的距離等于3，為3.

1030>^nmile0、（30+606+30萬(wàn)）〃加歷

127.\1J\ZJX7

16

PBPC9030A.1

--------=--------------r=--------smZPBC=—

【詳解】試題分析：（1）由正弦定理得，sin/PCBsin/PBC,即sinl20°sin/PBC,解得2,

得/P5C=30°,所以PBC為等腰從而求解（2）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，最短航線是

“P-A-3-C-P，或，PfCfA-P，，由余弦定理可以算出PA,分別計(jì)算每段長(zhǎng)求和即可得出

結(jié)論

試題解析：

（1）在APBC中，PB=90,PC=30^/3.ZPCB=120°；

PBPC90304.//1

--------=-------------R=------------sinZPBC=—

由正弦定理得，sinZPCBsinZPBC,即sin120sinZPBC,解得2,

又因?yàn)樵贏P8C中，0°<ZPBC<60°,所以/PBC=30°,

所以/BPC=30。，從而B(niǎo)C=PC=306,

即氏C兩個(gè)島嶼間的距離為30如"mile；

（2）因?yàn)?比=90。,々"=30°,所以/尸胡=^/150-/尸30=90°-30°=60<）,

在AR4B中，PB=90,AB=30t由余弦定理得，

22

PA=ylPB+AB-2PB7AB?=J?+_2_x_~~=j

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，

最短航線是“P-■尸”或“PA-P”，

其航程為S=PA+AB+8C+CP=30占+30+30』+30/=30+60省+306.

所以應(yīng)按航線“P-A-3-C-P'或"P-CfA-P，航行，

（30+60^f3+30y/1}nmile

其航程為17

20.（1）63（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由橢圓定義可求得“，由。，6，。關(guān)系可求得結(jié)果；

（2）當(dāng)直線OE與x軸重合時(shí)，易證；當(dāng)直線OE與x軸不重合時(shí)，設(shè)”;：尤=%>+3,與橢圓聯(lián)立可得

17

21?1_2__J_+_l_

根與系數(shù)關(guān)系，要證明口同\DG\您*，即證為%為，根與系數(shù)關(guān)系代入可得證.

【詳解】⑴由己知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一

由橢圓定義知2"#+可+1+"2一石『+1=歷

=國(guó)（6+1）+國(guó)（括T）=2&,：,0=m,

片+匚1

則廿=。2_。2=6-3=3,所以c的方程為63.

（2）①當(dāng)直線與x軸重合時(shí),不妨設(shè)°（而°）,"HM,

2_1]

易得①?lài)?guó)=1"DG|=3-太，。引=3+",滿(mǎn)足網(wǎng)=兩+網(wǎng).

②當(dāng)直線OE與X軸不重合時(shí)，設(shè)DE：工=四+3,6（冷％）,"（和％）,現(xiàn)2,%）

/%=my+3

由1無(wú)2+29=6,得（加2+2）/+6〃。+3=0,

-6m3

△=24"-1）,%+%=斤，

21121.1

要證明口閔lDGl\DH\,等價(jià)于證