湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，故，故.故選：D.2.已知點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：為相反向量，故A錯(cuò)誤；為相反向量，故B錯(cuò)誤；方向相反，故，C正確；因平行四邊形不一定為矩形，所以對(duì)角線不一定相等，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，或，即或，即是的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，又因?yàn)椋曰蚧?，?dāng)或時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，滿足題意；所以.故選：B.5.已知某物種在某特定環(huán)境下的某項(xiàng)指標(biāo)與時(shí)間（天）滿足函數(shù)關(guān)系式：，則在該特定環(huán)境下，至少經(jīng)過（）天，該物種的該項(xiàng)指標(biāo)不低于初始值時(shí)的100倍.（參考值：）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，令，化簡(jiǎn)得：，即，則至少經(jīng)過5天該物種的該項(xiàng)指標(biāo)不低于初始值時(shí)的100倍.故選：B.6.已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖像恰有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，的圖象過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由圖可知，函數(shù)與的圖像無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與相切，聯(lián)立方程有，則，解得或，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)位于x軸下方，不滿足題意，舍去，由圖可知，要使函數(shù)與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.定義在的函數(shù)的圖像位于軸上方，且是連續(xù)不斷的.若的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A. B.1 C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，故，故，因?yàn)榈膱D像位于軸上方，故，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故最大值為9，故最小值為.故選：A.8.已知函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)圖象如下：，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以存在，使成立，所以，，解得，所以的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部答對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若實(shí)數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，若，則當(dāng)時(shí)，有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，故，故B正確；對(duì)于C，成立，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由不等式的性質(zhì)可得成立，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若的最大值為，則的最小值為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A，由，得到，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，所以的對(duì)稱中心為，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，當(dāng)時(shí)，，又，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由題有，得到，此時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)，由題有，得到，此時(shí)的最小值為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11.函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.時(shí)，C.若對(duì)任意的，都有，則的最大值為D.若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋郑玫剑赃x項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，得到，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，又，而，所以時(shí)，恒有，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，以此類推，所以的圖象如圖所示，由，得到或，由圖知，在上關(guān)于對(duì)稱，且，所以，當(dāng)時(shí)恒成立，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，令，得到，令，因?yàn)椋瑒t，所以，，，又函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖知，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?故〖答案〗為：.13.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)可得平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式為，因?yàn)?，故，因?yàn)樵诓粏握{(diào)，故或，即或，所以或，故.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若，當(dāng)時(shí)，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以即，故為上的奇函數(shù)，令，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，都有，故為上的減函數(shù)，而，故為上的偶函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，時(shí)，，故的解為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個(gè)內(nèi)角滿足：.（1）求的值；（2）求角的大小.解：（1），因?yàn)?，，故為銳角且，所以.（2）因?yàn)?，，故為銳角且，故，故，而，故.16.已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式：；（2）命題“”是真命題，求的最大值.解：（1）由，得到，即，當(dāng)，即時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)，即時(shí)，得到，綜上所述，時(shí)，原不等式的解為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解為.（2）由題知，在區(qū)間上恒成立，又對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，即滿足條件，當(dāng)，即，由題有，得到，所以，綜上，的最大值為.17.學(xué)校為了鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分鐘，）的函數(shù)關(guān)系式，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天鍛煉時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（iii）每天鍛煉時(shí)間為9分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為6分；（iiii）每天得分最多不超過12分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)條件，從中選擇一個(gè)最合適的函數(shù)模型并求出〖解析〗式；（2）若學(xué)校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？（參考值：）解：（1）模型①，由圖象過點(diǎn)，得，解得，，在原點(diǎn)附近增長(zhǎng)速度先快后慢，不符合；模型②為爆炸增長(zhǎng)型函數(shù)，不符合，故選模型③，由題知，，解得，所以.（2）由（1）知，，令，得，解得，所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要鍛煉29.25分鐘.18.函數(shù)的部分圖像如圖所示，（1）求函數(shù)的〖解析〗式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖像，若時(shí)，的圖像與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，記三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為且，求的值.解：（1）由圖易知，，得到，所以，又圖象過點(diǎn)，所以，得到，又，所以，故函數(shù)的〖解析〗式為，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題知，又因?yàn)?，所以，令，則，由的圖象知，，且，得到，又由圖知，所以，又，得到，所以，又因，所以.19.設(shè)，我們常用來表示不超過的最大整數(shù).如：.（1）求證：；（2）解方程：；（3）已知，若對(duì)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)，若，則，，故，而，，故，若，則，，故，而，，故，綜上，（