青海省西寧市2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為；故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以．故選:A.3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、俯視圖中的圓以及側(cè)視圖中的圓弧的半徑都相等，側(cè)視圖中的兩條半徑互相垂直，若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三視圖該幾何體是球的部分，由該幾何體體積為，可得球的半徑為的球的，如圖所示，所以該幾何體的表面積為.故選：D.4.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，面積為S，且，則角的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，則，所以，又，則.故選：A5.已知是奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.-2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以滿足，即，化簡(jiǎn)為，得，，此時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，成?故選：A6.已知向量，，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗.故選：A7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形.若向圖2隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在白色部分的概率是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓的半徑為2，如圖設(shè)與交于，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.則，設(shè)，則，故，而題設(shè)中空白部分的面積為，故點(diǎn)落在白色部分的概率是，故選：D.8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，由得，或；由得，，則當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.則時(shí)取得極大值；時(shí)取得極小值.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與直線的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是故選：A9.江南的周莊、同里、甪直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有種情況，只選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為．故選：B10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由是奇函數(shù)，則，，又，可得，當(dāng)，，則，不合題設(shè)；當(dāng)，，則，故；所以，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，故.故選：A11.圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，的垂直平分線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解法一：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，設(shè)，由點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，得，得，代入拋物線的方程得，所以．由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故的垂直平分線的方程為，令，得，即．所以的面積為．故選：B.解法二：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，設(shè)，由到準(zhǔn)線的距離為6，得，得，代入拋物線的方程得，所以．由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，所以．過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，連接，則，而，所以是等邊三角形，于是邊的垂直平分線過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以的面積為．故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是______.〖答案〗〖解析〗由題意得：拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，解得準(zhǔn)線方程為故〖答案〗為：14.已知是第三象限角，則的值為__________.〖答案〗〖解析〗由可知，由在第三象限，可知，則，代入，解得，則.故〖答案〗為：.15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為________．〖答案〗12〖解析〗作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分），由，則，由解得點(diǎn)，作出，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大，故，即z＝3x＋4y－4的最大值為.故〖答案〗為：12.16.已知一個(gè)體積為球內(nèi)切于直三棱柱（即與三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,則該直三棱柱的外接球（即使所有頂點(diǎn)均落在球面上）的表面積為________．〖答案〗〖解析〗由題知，記內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,內(nèi)切圓、外接圓半徑為r,R,則,解得,因?yàn)樵撉騼?nèi)切于一個(gè)直三棱柱,當(dāng)且僅當(dāng)球半徑與底面三角形內(nèi)切圓半徑相等,同時(shí)棱柱的高恰為球半徑的2倍,所以;由題意,設(shè),則在中由余弦定理得,,,所以,由內(nèi)切圓半徑公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱內(nèi)接于一個(gè)球,當(dāng)且僅當(dāng)兩全等的底面位于距球心距離相同且平行的兩個(gè)小圓上,顯然該兩個(gè)小圓距球心的距離d應(yīng)為棱柱高h(yuǎn)的一半,所以平面與球心間的距離,且其所在小圓的半徑即為其本身外接圓的半徑,為,由球的垂徑定理,,所以球的表面積為．三、問答題17.信陽(yáng)市旅游部門為了促進(jìn)信陽(yáng)生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙，丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行推廣宣傳.該平臺(tái)邀請(qǐng)部分曾在這三家民宿體驗(yàn)過的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評(píng)分，評(píng)分越高表明游客體驗(yàn)越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評(píng)分中各隨機(jī)抽取10個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.a.甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的折線圖：b.丙家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1c.甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的平均數(shù)、中位數(shù)：甲乙丙平均數(shù)4.54.2中位數(shù)4.54.7根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中值是______，的值是______；（2）設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評(píng)分的方差分別為、、，試比較其大小.（3）根據(jù)“綜合滿意度”的評(píng)分情況，該平臺(tái)打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認(rèn)為該平臺(tái)會(huì)將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說明理由（至少?gòu)膬蓚€(gè)方面說明）.解：（1）甲家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，∴，丙家民宿“綜合滿意度”評(píng)分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，從小到大排列為：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.∴中位數(shù)，（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可知，乙的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)在4分與5分之間波動(dòng)，甲的數(shù)據(jù)在3.2分和5分之間波動(dòng)，根據(jù)丙的數(shù)據(jù)可以在2.6至5分之間波動(dòng)，∴；（3）推薦乙，理由：乙的方差最小，數(shù)據(jù)穩(wěn)定，平均分比丙高，〖答案〗不唯一，合理即可.18.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題意，設(shè)的公差為，，因?yàn)?，，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，故.19.正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求四面體的體積．（1）證明：在正四棱錐中為底面中心，連接，，則與交于點(diǎn)，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）解：因?yàn)?，，所以，又為上靠近的三等分點(diǎn)，所以，則.20.已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，又曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化恒成立即恒成立令當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，函數(shù)有最小值，由恒成立，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)的直線，與該橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率依次為，滿足，試問：當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）根據(jù)題意可得：，解方程組可得，故橢圓方程（2）當(dāng)變化時(shí)，為定值，證明如下：由，把代入橢圓方程得：；設(shè)，由二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系得：因?yàn)橹本€斜率依次是，且滿足，所以，該式化為，代入根與系數(shù)關(guān)系得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿足：即為定值22.在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程是．（1）在直角坐標(biāo)系中，若直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓和圓的公共弦所在直線平行，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與圓的交點(diǎn)為，與圓的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的周長(zhǎng)．解：（1）由圓的參數(shù)方程，則，由，則，即①，由圓的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘可得，由，則②，可得，故圓與圓的公共弦所在直線的方程為，其斜率為，由直線與兩圓公共弦所在直線平行，且直線過，則，化簡(jiǎn)可得，由，則