2024八年級下數(shù)學(xué)專題1.1 二次根式章末重難點題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024八年級下數(shù)學(xué)專題1.1二次根式章末重難點題型【人教版】【考點1二次根式相關(guān)概念】【方法點撥】1．二次根式：形如（）的代數(shù)式叫做二次根式．2．最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類二次根式．【例1】（2019春?浉河區(qū)校級月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式1-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【變式1-2】（2019春?左貢縣期中）二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【變式1-3】（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【考點2二次根式有意義條件】【方法點撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級期中）為使有意義，x的取值范圍是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【變式2-2】（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式2-3】（2019秋?安岳縣校級期中）如果有意義，則x的取值范圍（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【考點3利用二次根式性質(zhì)化簡符號】【方法點撥】二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3】（2019春?海陽市期中）把a根號外的因式移入根號內(nèi)，運算結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【變式3-1】（2019春?漢陽區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【變式3-2】（2018春?宜興市期中）（a﹣1）變形正確的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【變式3-3】（2019春?城區(qū)校級期中）化簡﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【考點4利用二次根式的性質(zhì)化簡】【方法點撥】二次根式的性質(zhì)：（1）（2）【例4】（2019春?廬陽區(qū)校級期中）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣b+3 B．a(chǎn)+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【變式4-1】（2019春?豐潤區(qū)期中）若2＜a＜3，則＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【變式4-2】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）實數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡|c+a|+﹣的正確結(jié)果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【變式4-3】（2018春?漢陽區(qū)期中）若0＜x＜1，則﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【考點5二次根式的乘除運算】【方法點撥】掌握二次根式的乘除法則（1）（2）【例5】（2019春?邗江區(qū)校級期中）計算：（1）÷（2）÷3×【變式5-1】（2018秋?松江區(qū)期中）計算：?（﹣）÷（a＞0）【變式5-2】（2019秋?閘北區(qū)期中）計算：【變式5-3】（2019春?新泰市期中）化簡下列式子：?3．【考點6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【變式6-1】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值；（1）x2+y2；（2）．【變式6-2】（2019春?長白縣期中）已知﹣＝2，求的值．【變式6-3】（2018秋?通川區(qū)校級期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考點7二次根式的加減運算】【方法點撥】二次根式的運算法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡，再把同類二次根式合并．【例7】（2019春?武昌區(qū)期中）計算：（1）（2）【變式7-1】（2019春?蕭山區(qū)期中）計算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【變式7-2】（2018春?襄城區(qū)期中）計算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【變式7-3】（2018春?羅山縣期中）（1）（2）【考點8二次根式的混合運算】【例8】（2019春?泰興市校級期中）計算：（1）（2）3【變式8-1】（2019春?廣東期中）計算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【變式8-2】（2019春?杭錦后旗期中）計算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【變式8-3】（2019春?萊州市期中）計算：（1）（2）【考點9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2019春?西城區(qū)校級期中）閱讀下述材料：我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較﹣和﹣的大小可以先將它們分子有理化如下：﹣＝﹣＝因為﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝當(dāng)x＝2時，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解決下述兩題：（1）比較3﹣4和2的大?。唬?）求y＝+﹣的最大值和最小值．【變式9-1】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達到化去分母中根號的目的例如：化簡解：材料二：化簡的方法：如果能找到兩個實數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化簡解：+1【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡的結(jié)果等于；（2）計算：①；②．【變式9-2】（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：，＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【變式9-3】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：＝＝；＝＝＝﹣1．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝﹣1．請任用其中一種方法化簡：①；②．【考點10二次根式的應(yīng)用】【例10】（2018春?嘉祥縣期中）閱讀理解：對于任意正整數(shù)a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時，等號成立；結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，只有當(dāng)a＝b時，a+b有最小值2．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，當(dāng)m為何值時，m+有最小值，最小值是多少？【變式10-1】（2019?太原一模）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，設(shè)p＝，則三角形的面積S＝．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則三角形的面積S＝．（1）若一個三角形的三邊長分別是5，6，7，則這個三角形的面積等于．（2）若一個三角形的三邊長分別是，求這個三角形的面積．【變式10-2】已知一個三角形的三邊長分別為12，，．（1）求此三角形的周長P（結(jié)果化成最簡二次根式）；（2）請你給出一個適當(dāng)?shù)腶的值，使P為整數(shù)，并求出此時P的值．【變式10-3】斐波那契（約1170﹣1250，意大利數(shù)學(xué)家）數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第n（n為正整數(shù)）個數(shù)an可表示為[（）n﹣（）n]．（1）計算第一個數(shù)a1；（2）計算第二個數(shù)a2；（3）證明連續(xù)三個數(shù)之間an﹣1，an，an+1存在以下關(guān)系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）寫出斐波那契數(shù)列中的前8個數(shù)．專題1.1二次根式章末重難點題型【人教版】【考點1二次根式相關(guān)概念】【方法點撥】1．二次根式：形如（）的代數(shù)式叫做二次根式．2．最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，像這樣的二次根式稱為同類二次根式．【例1】（2019春?浉河區(qū)校級月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式進行分析即可．【答案】解：式子，，（y≤0），（a＜0，b＜0）是二次根式，共4個，故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開方數(shù)為非負數(shù)．【變式1-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【答案】解：③＝＝|a﹣1|，被開方數(shù)含有開得盡方的因式，不是最簡二次根式；④＝＝，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式；⑤＝＝，被開方數(shù)含有小數(shù)（分數(shù)），不是最簡二次根式；因此只有①②符合最簡二次根式的條件．故選：A．【點睛】根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．被開方數(shù)是多項式時，還需將被開方數(shù)進行因式分解，然后再觀察判斷．【變式1-2】（2019春?左貢縣期中）二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．【答案】解：∵，，，∴與是同類二次根式的是①和③故選：B．【點睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．需要注意化簡前，被開方數(shù)不同也可能是同類二次根式．【變式1-3】（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【分析】根據(jù)最簡二次根式以及同類二次根式即可求出答案．【答案】解：由題意可知：n2﹣2n＝n+4，∴解得：n＝4或n＝﹣1，當(dāng)n＝4時，n+4＝8＞0，此時不是最簡二次根式，不符合題意，當(dāng)n＝﹣1時，n+4＝3＞0，綜上所述，n＝﹣1故選：A．【點睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點2二次根式有意義條件】【方法點撥】二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．【例2】（2019春?泰山區(qū)期中）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【答案】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級期中）為使有意義，x的取值范圍是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件題意可得2x+4≥0，再根據(jù)分式有意義的條件可得3x﹣6≠0，再解即可．【答案】解：由題意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，解得：x≥﹣2且x≠2，故選：A．【點睛】此題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【變式2-2】（2018春?西華縣期中）使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范圍，進而得出整數(shù)x的值．【答案】解：∵代數(shù)式有意義，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，則﹣3＜x≤1，故代數(shù)式有意義的整數(shù)x有：﹣2，﹣1，0，1，共4個數(shù)．故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出x的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2019秋?安岳縣校級期中）如果有意義，則x的取值范圍（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)和分式分母不為零的條件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由題意得：3﹣x＜0，解得：x＞3，故選：C．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．【考點3利用二次根式性質(zhì)化簡符號】【方法點撥】二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3】（2019春?海陽市期中）把a根號外的因式移入根號內(nèi)，運算結(jié)果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【答案】解：a根號外的因式移到根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是﹣，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，注意化簡后不能改變原數(shù)的大?。咀兪?-1】（2019春?漢陽區(qū)期中）已知ab＜0，則化簡后為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．a(chǎn) D．﹣a【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的性質(zhì)＝|a|，進行化簡即可．【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，掌握算術(shù)平方根和絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2018春?宜興市期中）（a﹣1）變形正確的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【答案】解：∵有意義，∴1﹣a＞0，∴a﹣1＜0，∴（a﹣1）＝﹣＝﹣．故選：C．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2019春?城區(qū)校級期中）化簡﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【分析】根據(jù)已知式子得出x＜0，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號內(nèi)的因式移入根號外，最后合并即可．【答案】解：∵要使和有意義，必須x＜0，∴﹣x＝﹣x﹣x?（﹣）＝﹣x+＝（1﹣x），故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡的應(yīng)用，能把各個部分根式化成最簡根式是解此題的關(guān)鍵．【考點4利用二次根式的性質(zhì)化簡】【方法點撥】二次根式的性質(zhì)：（1）（2）【例4】（2019春?廬陽區(qū)校級期中）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（）A．a(chǎn)﹣b+3 B．a(chǎn)+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案．【答案】解：由數(shù)軸可知：﹣1＜a＜0＜2＜b，∴a+1＞0，b﹣2＞0，∴原式＝|a+1|﹣|b﹣2|＝a+1﹣b+2＝a﹣b+3，故選：A．【點睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-1】（2019春?豐潤區(qū)期中）若2＜a＜3，則＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．【答案】解：因為2＜a＜3，所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，故選：D．【點睛】此題考查二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【變式4-2】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）實數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置所示，那么化簡|c+a|+﹣的正確結(jié)果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【分析】先由數(shù)軸知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，據(jù)此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根據(jù)絕對值性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)2化簡可得．【答案】解：由數(shù)軸知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，則c+a＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a﹣c，故選：D．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)2：＝|a|．【變式4-3】（2018春?漢陽區(qū)期中）若0＜x＜1，則﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【分析】首先利用完全平方公式化簡，進而利用二次根式的性質(zhì)求出即可．【答案】解：﹣＝﹣＝﹣＝|x+|﹣|x﹣|∵0＜x＜1，∴x﹣＜0，∴原式＝x++x﹣＝2x．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【考點5二次根式的乘除運算】【方法點撥】掌握二次根式的乘除法則（1）（2）【例5】（2019春?邗江區(qū)校級期中）計算：（1）÷（2）÷3×【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把除式變形，根據(jù)二次根式的乘法法則計算；（2）根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．【答案】解：（1）÷＝×＝＝；（2）÷3×＝××＝＝．【點睛】本題考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2018秋?松江區(qū)期中）計算：?（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進而得出答案．【答案】解：?（﹣）÷（a＞0）＝﹣?a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2019秋?閘北區(qū)期中）計算：【分析】利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)轉(zhuǎn)化后利用二次根式的乘法運算法則進行計算即可．【答案】解：原式＝（2×6）＝12＝4【點睛】本題考查了二次根式的乘除法運算，解題的關(guān)鍵是能夠了解法則并能熟練的將除法轉(zhuǎn)化為乘法進行運算．【變式5-3】（2019春?新泰市期中）化簡下列式子：?3．【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡得出答案．【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）＝﹣12ab?a2＝﹣12a3b．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【考點6利用二次根式性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例6】（2019春?蕭山區(qū)期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）先分解因式，然后將a、b的值代入求值；（2）先變形，然后將a、b的值代入求值；（3）直接代入求值．【答案】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝（）＝1×2；（2）a2﹣30b+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣30b＝2﹣﹣30＝（2）2﹣2﹣30+60＝78﹣30；（3）（a﹣2）（b﹣2）＝（）（）＝（）＝5﹣4．【點睛】本題考查了根式的化簡求值，適當(dāng)對整式進行變形是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數(shù)式的值；（1）x2+y2；（2）．【分析】（1）先將x、y進行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y與xy的值，然后根據(jù)完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整體代入即可；（2）將所求式子變形為，再整體代入即可．【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是運用完全平方公式以及整體思想，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式6-2】（2019春?長白縣期中）已知﹣＝2，求的值．【分析】利用已知結(jié)合完全平方公式求出x2+＝34，進而代入求出即可．【答案】解：∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴x+＝6，∴（x+）2＝36，∴x2+＝34，∴＝＝4．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2018秋?通川區(qū)校級期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先將x和y的值分母有理化后，計算xy和x+y的值，再分別代入（1）和（2）問代入計算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，在解答時應(yīng)先化簡x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式將所求式子進行變形是關(guān)鍵．【考點7二次根式的加減運算】【方法點撥】二次根式的運算法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡，再把同類二次根式合并．【例7】（2019春?武昌區(qū)期中）計算：（1）（2）【分析】（1）直接化簡二次根式進而合并得出答案；（2）直接化簡二次根式進而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝2+3﹣＝0；（2）原式＝×3+6×﹣5＝2+3﹣5＝0．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2019春?蕭山區(qū)期中）計算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化簡二次根式，然后再合并同類二次根式；（2）首先化簡二次根式，然后再合并同類二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，關(guān)鍵是掌握二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【變式7-2】（2018春?襄城區(qū)期中）計算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化簡二次根式進而合并得出答案；（2）首先化簡二次根式進而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（2）原式＝﹣﹣+10＝9．【點睛】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2018春?羅山縣期中）（1）（2）【分析】（1）先進行二次根式、三次根式的化簡，然后進行加減合并．（2）先去絕對值符號，然后化簡二次根式，最后進行合并運算．【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．【點睛】本題主要考查了二次根式的加減運算，要先進行二次根式的化簡，然后再進行合并運算．【考點8二次根式的混合運算】【例8】（2019春?泰興市校級期中）計算：（1）（2）3【分析】（1）先化簡各二次根式，再進一步計算可得；（2）先化簡各二次根式、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再進一步計算可得．【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）＝2﹣﹣﹣3＝﹣﹣；（2）原式＝??（﹣）＝﹣2．【點睛】本題主要考查二次根式混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．【變式8-1】（2019春?廣東期中）計算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【分析】（1）先化簡各二次根式，再計算括號內(nèi)的加減，最后計算除法即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式計算可得．【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3；（2）原式＝19﹣6﹣3+4＝20﹣6．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順序和運算法則及完全平方公式、平方差公式．【變式8-2】（2019春?杭錦后旗期中）計算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運算；（2）根據(jù)積的乘方和零指數(shù)冪的意義計算．【答案】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018?（2+）﹣2×﹣1＝（4﹣3）2018?（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式8-3】（2019春?萊州市期中）計算：（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減法和除法可以解答本題；（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運算的計算方法．【考點9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2019春?西城區(qū)校級期中）閱讀下述材料：我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較﹣和﹣的大小可以先將它們分子有理化如下：﹣＝﹣＝因為﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝當(dāng)x＝2時，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解決下述兩題：（1）比較3﹣4和2的大??；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比較3+4和2+的大小即可得到3﹣4與2﹣的大小；（2）利用二次根式有意義的條件得到0≤x≤1，而y＝+，利用當(dāng)x＝0時，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用當(dāng)x＝1時，有最小值﹣1，有最下值0得到y(tǒng)的最小值．【答案】解：（1）3﹣4＝＝，2﹣＝＝，而3＞2，4＞，∴3+4＞2+，∴3﹣4＜2﹣；（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，y＝+，當(dāng)x＝0時，+有最小值，則有最大值1，此時有最大值1，所以y的最大值為2；當(dāng)x＝1時，+有最大值，則有最小值﹣1，此時有最下值0，所以y的最小值為﹣1．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式9-1】（2019春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達到化去分母中根號的目的例如：化簡解：材料二：化簡的方法：如果能找到兩個實數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化簡解：+1【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡的結(jié)果等于；（2）計算：①；②．【分析】（1）根據(jù)分母有理化法則計算；（2）①根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)化簡；②先把原式分母有理化，再合并同類二次根式即可．【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，故答案為：4+；（2）①＝＝＝﹣；②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．【點睛】本題考查的是分母有理化、二次根式的化簡，掌握分母有理化法則、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：，＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①將x與y分母有理化后代入原式計算即可得到結(jié)果．②原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果．【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝，故答案為：4+，；（2）①當(dāng)x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣時，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝16﹣2×1＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【點睛】此題考查了分母有理化，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：＝＝；＝＝＝﹣1．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝＝＝＝﹣1．請任用其中一種方法化簡：①；②．【分析】①根據(jù)平方差公式分母有理化即可求解；②把分子5變?yōu)?2﹣7，再根據(jù)平方差公式分解因式，再約分計算即可求解．【答案】解：①＝＝；②＝＝＝2﹣．【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)有理化因式．【考點10二次根式的應(yīng)用】【例10】（2018春?嘉祥縣期中）閱讀理解：對于任意正整數(shù)a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時，等號成立；結(jié)論：在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，只有當(dāng)a＝b時，a+b有最小值2．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，當(dāng)m為何值時，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根據(jù)a+b≥2（a、b均為正實數(shù)），進而得出即可；（2）根據(jù)a+b≥2（a、b均為正實數(shù)），進而得出即可．【答案】解：（1）∵a+b≥2（a、b均為正實數(shù)），∴a+b＝9，則a+b≥2，即≤；故答案為：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，當(dāng)m＝時，m＝1（負數(shù)舍去），故m+有最小值，最小值是2．【點睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)題意結(jié)合a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）求出是解題關(guān)鍵．【變式10-1】（2019?太原一模）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的《度量》一書中給出了利用三角形的三邊求三角形面積的“海倫公式”：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，設(shè)p＝，則三角形的面積S＝．我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：如果一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則三角形的面積S＝．（1）若一個三角形的三邊長分別是5，6，7，則這個三角形的面積等于．（2）若一個三角形的三邊長分別是，求這個三角形的面積．【分析】（1）把a、b、c的長代入求出S2，再開方計算即可得解；（2）把a、b、c的長代入求出S2，再開方計算即可得解．【答案】解：（1）p＝＝＝9，S＝＝＝6．答：這個三角形的面積等于6．（2）S＝＝＝＝＝．答：這個三角形的面積是．故答案為：6．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，難點在于對各項整理利用算術(shù)平方根的定義計算．【變式10-2】已知一個三角形的三邊長分別為12，，．（1）求此三角形的周長P（結(jié)果化成最簡二次根式）；（2）請你給出一個適當(dāng)?shù)腶的值，使P為整數(shù)，并求出此時P的值．【分析】（1）列出算式，先化簡，再進一步合并命即可；（2）給出一個能使根號下開得盡方a的值即可．【答案】解：（1）P＝12++＝4+4+＝．（2）要使P為整數(shù)，選a＝12，則P＝51．【點睛】此題考查二次根式的實際運用，注意先化簡，再進一步計算即可．【變式10-3】斐波那契（約1170﹣1250，意大利數(shù)學(xué)家）數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第n（n為正整數(shù)）個數(shù)an可表示為[（）n﹣（）n]．（1）計算第一個數(shù)a1；（2）計算第二個數(shù)a2；（3）證明連續(xù)三個數(shù)之間an﹣1，an，an+1存在以下關(guān)系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）寫出斐波那契數(shù)列中的前8個數(shù)．【分析】（1）（2）代入計算即可求解；（3）根據(jù)乘法分配律即可證明：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）根據(jù)（3）的關(guān)系可求斐波那契數(shù)列中的前8個數(shù)．【答案】解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；（3）證明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；（4）斐波那契數(shù)列中的前8個數(shù)是1，1，2，3，5，8，13，21．【點睛】此題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟悉斐波那契數(shù)列的規(guī)律．專題1.2勾股定理章末重難點題型【人教版】【考點1利用勾股定理求面積】【方法點撥】解決此類問題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在中，，，，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是A．5 B．25 C．7 D．10【變式1-1】（2019春?賓陽縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長為10，則四個正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【變式1-2】（2019春?武昌區(qū)校級期中）如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長為A．16 B．8 C．4 D．2【變式1-3】（2019春?蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40【考點2判斷直角三角形】【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段，，的長三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【變式2-1】（2018春?淮南期中）、、為三邊，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【變式2-2】（2018秋?金牛區(qū)校級期中）下列說法中，正確的有①如果，那么是直角三角形；②如果，則是直角三角形；③如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；④如果三角形三邊長分別是、、，則是直角三角形；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-3】（2019春?壽光市期中）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個點，則在下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是點、點、點 B．點、點、點 C．點、點、點 D．點、點、點【考點3利用勾股定理求最短路徑】【方法點撥】解決此類問題需先將立體圖形進行展開，在平面上利用兩點之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋?福田區(qū)校級期中）如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點爬到點處吃食，且，則最短路線長為A． B． C． D．【變式3-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點，點處有一只螞蟻，想到點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【變式3-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細線從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達，那么所用細線最短需要A． B． C． D．【變式3-3】（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【考點4勾股數(shù)相關(guān)問題】【方法點撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例4】（2018秋?新密市校級期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【變式4-1】（2019春?閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個關(guān)于，，的方程，顯然這個方程有無數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，，通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，，是勾股數(shù)，則（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【變式4-2】（2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：．【變式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：，4，，，12，，，24，，，40，可發(fā)現(xiàn)，，，請寫出第5個數(shù)組：．【考點5利用勾股定理求長度】【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點，，，求，的長．【變式5-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【變式5-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點，已知，，，求的長．【變式5-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點，求的長．【考點6利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．（1）請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形；（2）請你在圖2中畫一條以格點為端點，長度為的線段；（3）請你在圖3中畫一個以格點為頂點，為直角邊的直角三角形．【變式6-1】（2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，正方形的頂點稱為格點，請在圖中以格點為頂點，畫出一個周長為的，并求它的面積．【變式6-2】（2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，（1）在圖①中，畫一個面積為10的正方形；（2）在圖②、圖③中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)．【變式6-3】（2018秋?高新區(qū)期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形：（1）在圖①中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個三邊長分別為3，，的三角形，一共可畫這樣的三角形個．【考點7勾股定理的證明】【方法點撥】勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理，通常利用面積來證明.【例7】（2019春?洛陽期中）下列兩圖均由四個全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請選擇一個你喜歡的圖形，利用等面積法驗證勾股定理．你選擇的是圖，寫出你的驗證過程．【變式7-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實有很多種證明方法．下圖是1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，把這兩個直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點在一條直線上．（1）求證：；（2）請你利用這個圖形證明勾股定理（即證明：．【變式7-2】（2018秋?東臺市期中）如圖，將繞其銳角頂點旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長、相交于點，則有，且四邊形是一個正方形．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：．【變式7-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．【考點8勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例8】（2018春?賓陽縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【變式8-1】（2019春?長白縣期中）如圖，在四邊形中，已知，，，且，．求四邊形的面積．【變式8-2】（2018春?豐臺區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．【變式8-3】（2019春?鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形中，，，、分別是和邊上的點，且，為的中點，問是什么三角形？請說明理由．【考點9勾股定理的實際應(yīng)用】【方法點撥】將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春?東湖區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)綜合實驗課上，同學(xué)們在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？【變式9-1】（2019春?內(nèi)黃縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）【變式9-2】（2019春?道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距的、兩站之間點修建一個土特產(chǎn)加工基地，使點到、兩村的距離相等，如圖，于點，于點，，，求土特產(chǎn)加工基地應(yīng)建在距離站多少的地方？【變式9-3】（2019春?商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用．請你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問題：一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：【考點10利用勾股定理解折疊問題】【例10】（2019春?番禺區(qū)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將紙片沿折疊，直角邊恰好落在斜邊上，且與重合，求的面積．【變式10-1】（2018秋?建鄴區(qū)期末）如圖，把長為的紙條沿，同時折疊，、兩點恰好落在邊的點處，且，，求的長．【變式10-2】（2019秋?杭州期中）如圖，把長方形沿折疊，落在處，交于點，已知，．（長方形的對邊相等，四個角都為直角）（1）求證：；（2）求的長；（3）求重疊部分的面積．【變式10-3】（2018春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長為的正方形折疊，使點落在邊的中點處，點落在處，折痕為．（1）求線段長．（2）連接，并求的長．專題1.2勾股定理章末重難點題型【人教版】【考點1利用勾股定理求面積】【方法點撥】解決此類問題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在中，，，，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是A．5 B．25 C．7 D．10【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【答案】解：在中，，，，，四邊形是正方形，正方形的面積，故選：．【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2019春?賓陽縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長為10，則四個正方形，，，的面積之和為A．24 B．56 C．121 D．100【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．【答案】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；即四個正方形，，，的面積之和為100；故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式1-2】（2019春?武昌區(qū)校級期中）如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長為A．16 B．8 C．4 D．2【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，，，解得，，則，解得，，故選：．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．【變式1-3】（2019春?蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于A．25 B．31 C．32 D．40【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進而得到，即可解決問題．【答案】解：如圖，由題意得：，，，．故選：．【點睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識點．【考點2判斷直角三角形】【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段，，的長三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【答案】解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；、設(shè)三角形三邊為，，，，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【變式2-1】（2018春?淮南期中）、、為三邊，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【分析】利用勾股定理的逆定理判斷、、選項，用直角三角形各角之間的關(guān)系判斷選項．【答案】解：、，設(shè)，則，，，即，解得，，，故本選項錯誤；、，，故本選項正確；、，，故本選項正確；、，，故本選項正確．故選：．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，若已知三角形的三邊判定其形狀時要根據(jù)勾股定理判斷；若已知三角形各角之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)或求出兩較小角的和再進行判斷．【變式2-2】（2018秋?金牛區(qū)校級期中）下列說法中，正確的有①如果，那么是直角三角形；②如果，則是直角三角形；③如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；④如果三角形三邊長分別是、、，則是直角三角形；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)直角三角形的判定進行分析，從而得到答案．【答案】解：①正確，由三角形內(nèi)角和定理可求出為90度；②不正確，因為根據(jù)三角形的內(nèi)角和得不到的角；③正確，設(shè)三邊分別為，，，則有；④正確，因為．所以正確的有三個．故選：．【點睛】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角為來判定．【變式2-3】（2019春?壽光市期中）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個點，則在下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是點、點、點 B．點、點、點 C．點、點、點 D．點、點、點【分析】根據(jù)勾股定理分別求得每兩個點之間的距離的平方，再進一步利用勾股定理的逆定理進行分析．【答案】解：、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；、，，，，可以構(gòu)成直角三角形、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形．故選：．【點睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．【考點3利用勾股定理求最短路徑】【方法點撥】解決此類問題需先將立體圖形進行展開，在平面上利用兩點之間線段最短作圖，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋?福田區(qū)校級期中）如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點爬到點處吃食，且，則最短路線長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，根據(jù)勾股定理求出即可．【答案】解：如圖展開，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，則，，，，，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路線長是，故選：．【點睛】本題考查了勾股定理和平面展開最短路線問題，題目比較典型，是一道比較好的題目．【變式3-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點，點處有一只螞蟻，想到點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【答案】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．【變式3-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細線從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達，那么所用細線最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【答案】解：將長方體展開，連接、，則，，根據(jù)兩點之間線段最短，．故選：．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，本題就是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決．【變式3-3】（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小蟲從外壁進入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開，，最短路程為．故選：．【點睛】此題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．【考點4勾股數(shù)相關(guān)問題】【方法點撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例4】（2018秋?新密市校級期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進行計算可得答案．【答案】解：因為；，6，8，10，7，24，25都是正整數(shù)勾股數(shù)有2組，故答案為2．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形．【變式4-1】（2019春?閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個關(guān)于，，的方程，顯然這個方程有無數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，，通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，，是勾股數(shù)，則（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【答案】解：，，故答案為：【點睛】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理解答是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：．【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號之間的關(guān)系，如果是第組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個數(shù)是，第二個是：，第三個數(shù)是：．根據(jù)這個規(guī)律即可解答．【答案】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個數(shù)是；第二個是：；第三個數(shù)是：．所以第⑦組勾股數(shù)：16，63，65．故答案為：16，63，65．【點睛】考查了勾股數(shù)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察已知的幾組數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：，4，，，12，，，24，，，40，可發(fā)現(xiàn)，，，請寫出第5個數(shù)組：．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進行解答．【答案】解：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，故答案為：11，60，61．【點睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【考點5利用勾股定理求長度】【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點，，，求，的長．【分析】首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊，再根據(jù)直角三角形的面積公式求得斜邊上的高，進一步根據(jù)勾股定理即可求得的長．【答案】解：，，，．根據(jù)直角三角形的面積公式，得．在中，．【點睛】考查了勾股定理、此題要熟練運用勾股定理以及直角三角形的面積公式，直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．【變式5-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余，可以求得的度數(shù)；（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長．【答案】解：（1）在等腰中，，，，，，，，；（2），，，，，設(shè)，則，，，，解得，，即．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點，已知，，，求的長．【分析】先設(shè)，則，再運用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可．【答案】解：設(shè)，則．在中，，，在中，，，，即，解得，，．故的長為8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用，根據(jù)的長度不變列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點，求的長．【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得．然后利用勾股定理求得；則利用面積法來求的長度．【答案】解：正方形的面積為，，，，．，，．【點睛】本題考查了勾股定理．解答該題時，需要熟記正方形的面積公式．【考點6利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．（1）請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形；（2）請你在圖2中畫一條以格點為端點，長度為的線段；（3）請你在圖3中畫一個以格點為頂點，為直角邊的直角三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式畫出圖形即可；（2）畫出以1和2為長方形的寬和長的對角線的長即可；（3）先畫出邊長為的線段，再畫出直角三角形即可．【答案】解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示；（3）如圖3所示．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，正方形的頂點稱為格點，請在圖中以格點為頂點，畫出一個周長為的，并求它的面積．【分析】根據(jù)勾股定理在方格中作出三角形的三條邊，根據(jù)直角三角形的面積公式、矩形的面積公式計算即可．【答案】解：是一個周長為三角形，的面積．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理作出三角形的三條邊是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，（1）在圖①中，畫一個面積為10的正方形；（2）在圖②、圖③中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積為10可得正方形邊長為，畫一個邊長為正方形即可；（2）①畫一個邊長為，，的直角三角形即可；②畫一個邊長為，，的直角三角形即可；【答案】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②③所示．【點睛】此題主要考查了利用勾股定理畫圖，關(guān)鍵是計算出所畫圖形的邊長是直角邊長為多少的直角三角形的斜邊長．【變式6-3】（2018秋?高新區(qū)期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形：（1）在圖①中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖②中，畫一個三邊長分別為3，，的三角形，一共可畫這樣的三角形個．【分析】（1）畫一個邊長3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出結(jié)果．【答案】解：（1），即為所求，如圖1所示：（2）如圖2所示：，，，，，都是符合條件的三角形，一共可畫這樣的三角形16個；故答案為：16．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖；熟記勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．【考點7勾股定理的證明】【方法點撥】勾股定理又稱為畢達哥拉斯定理，通常利用面積來證明.【例7】（2019春?洛陽期中）下列兩圖均由四個全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請選擇一個你喜歡的圖形，利用等面積法驗證勾股定理．你選擇的是圖，寫出你的驗證過程．【分析】直接利用圖形面積得出等式，進而整理得出答案．【答案】解：選擇的是圖2，證明：，，，整理，得，．故答案為：2，【點睛】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實有很多種證明方法．下圖是1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，把這兩個直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點在一條直線上．（1）求證：；（2）請你利用這個圖形證明勾股定理（即證明：．【分析】（1）由全等三角形的判定于性質(zhì)解答；（2）用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．【答案】解：（1），．，，．（2）由（1）知是一個等腰直角三角形，．又，，，即．【點睛】此題考查了勾股定理的證明，此題主要利用了三角形的面積公式：底高，和梯形的面積公式：（上底下底）高證明勾股定理．【變式7-2】（2018秋?東臺市期中）如圖，將繞其銳角頂點旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長、相交于點，則有，且四邊形是一個正方形．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；（3）求證：．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，即可得出的形狀；（2）利用四邊形的面積等于正方形面積，即可得出答案；（3）利用四邊形面積等于和的面積之和進而證明即可．【答案】（1）是等腰直角三角形，證明：繞其銳角頂點旋轉(zhuǎn)得到在，，，又，是等腰直角三角形；（2）四邊形的面積等于正方形面積，四邊形的面積等于：．（3）即：，整理：．【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形面積求法和勾股定理的證明等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．【分析】連結(jié)，過點作邊上的高，根據(jù)即可求解．【答案】證明：連結(jié)，過點作邊上的高，則．．又【點睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．【考點8勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例8】（2018春?賓陽縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即