2022年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題課件 幾何最值問(wèn)題的變式探究

TOPICTHREE專題

(三)規(guī)律探索型問(wèn)題幾何最值問(wèn)題的變式探究中考第二輪復(fù)習(xí)專題湖北省咸寧市第三初級(jí)中學(xué)唐先祥

新人教版八上數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)，最短路徑問(wèn)題中“飲馬問(wèn)題”、“造橋選址問(wèn)題”如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題？

回歸課本1.條件：如圖（1）,點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)的兩定點(diǎn)。

問(wèn)題：在直線上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小。（飲馬問(wèn)題）

2.條件：如圖(2)，點(diǎn)A、B是兩平行直線a、b外的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是直線a、b上兩動(dòng)點(diǎn)，且MN垂直于直線a、b。

問(wèn)題：確定MN的位置,使AM+MN+NB的值最小。（造橋選址問(wèn)題）1.幾何最值問(wèn)題的依據(jù)是：“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“垂線段最短”回歸課本

2.解決幾何最值問(wèn)題的方法:通常利用軸對(duì)稱、平移等變換作出最值位置，從而把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題。1.條件：如圖1，點(diǎn)A、B是直線l異側(cè)的兩定點(diǎn)。問(wèn)題：在直線上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小。

2.

條件:如圖2，點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)的兩定點(diǎn)。問(wèn)題:在直線上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小.(飲馬問(wèn)題）

基本圖形及方法3.條件：如圖3，點(diǎn)A是直線

l外一定點(diǎn)。問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA的值最小。圖1圖2圖3方法：連接AB交直線l于點(diǎn)P,則PA+PB=AB的值

最小。方法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A/,連接A’B交直線l于點(diǎn)P,

則PA+PB=A/B的值最小。方法：過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為P,則PA的值最小.幾何模型變式圖形及方法圖4變式1：（圖1變式，將直線l變?yōu)閮善叫兄本€a、b）

條件：如圖4，點(diǎn)A、B是兩平行直線a、b外的兩定點(diǎn)，點(diǎn)

M、N分別是直線a、b上兩動(dòng)點(diǎn),且MN垂直于直線a、b.問(wèn)題：確定MN的位置,使AM+MN+NB的值最小.(造橋選址問(wèn)題）

圖1?方法：將點(diǎn)A沿垂直于直線a的方向平移到A＇,使AA＇=MN,連接A＇B交直線b于點(diǎn)N,

過(guò)點(diǎn)N作MN垂直于直線b,交直線a于點(diǎn)M.則AM+MN+NB的值最小.圖2?圖5變式2:

（圖2變式，將點(diǎn)P變?yōu)榫€段PQ）

條件：如圖5，點(diǎn)A、B是直線l同側(cè)的兩定點(diǎn),

線段PQ在直線l移動(dòng)上。

問(wèn)題：確定PQ的位置,使PA+PQ+QB的值最小。

方法：將點(diǎn)B沿平行于直線l的方向平移到B＇,使BB＇=PQ,再作點(diǎn)A關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)A’,連接A’

B＇交直線l于點(diǎn)P,則PA+PQ+QB的值最小。幾何模型變式圖形及方法圖2?圖6變式3:

（圖2變式,將直線l變?yōu)閮蓷l直線a、b,

兩點(diǎn)A、B變?yōu)橐稽c(diǎn)A）

條件：如圖6，點(diǎn)A是兩相交直線a、b內(nèi)一定點(diǎn)，

點(diǎn)P、Q分別是直線a、b上兩動(dòng)點(diǎn)。問(wèn)題：確定P，Q的位置,使PA+PQ+QA的值最小。方法：過(guò)點(diǎn)A分別作點(diǎn)A關(guān)于直線a、b的對(duì)稱點(diǎn)A/

、A//,連接A/A//，

分別交直線a、b于點(diǎn)P、Q,則PA+PQ+QA=A/A//的值最小。圖2?圖7變式4:

（圖2變式,將直線l變?yōu)閮蓷l直線a、b）

條件：如圖7，點(diǎn)A、B是兩相交直線a、b內(nèi)兩定點(diǎn)，

點(diǎn)P、Q分別是直線a、b上兩動(dòng)點(diǎn)。問(wèn)題：確定P，Q的位置,使PA+PQ+QB的值最小。方法：過(guò)點(diǎn)A、B分別作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A/,作點(diǎn)B關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)B＇,

連接A/B＇，分別交直線a、b于點(diǎn)P、Q,則PA+PQ+QB=A/B＇的值最小。幾何模型幾何模型變式圖形及方法圖3圖3??圖8圖9變式5:

（圖3變式）

條件：如圖8，定點(diǎn)A、B,動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)B.問(wèn)題：確定直線l的位置,使點(diǎn)A到直線l的距離最大。圖10方法：連接AB,當(dāng)直線l垂直于AB時(shí)，點(diǎn)A到直線l的

距離最大（為AB）.變式6:

（圖3變式）

條件:如圖9,定點(diǎn)A、B、C,動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)B,且直線l在點(diǎn)A、C之間。問(wèn)題：確定直線l的位置,使點(diǎn)A、C分別到直線l的距離之

和最大。圖2?方法：連接AC,當(dāng)直線l垂直于AC時(shí)，則點(diǎn)A、C分別到

直線l的距離之和最大（為AC）.變式7:

（圖2變式）

條件：如圖10，點(diǎn)A、B是直線l異側(cè)的兩定點(diǎn)。問(wèn)題：在直線上確定一點(diǎn)P,使︱PA-PB︱的值最大。方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’,連接A’B并延長(zhǎng)交直線l

于點(diǎn)P,則︱PA-PB︱=A’B的值最大。幾何模型變式圖形及方法圖1?圖11變式8:

（圖1變式）

條件：如圖11，線段AB、BC為定長(zhǎng),且線段AB、

BC

可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)。

問(wèn)題：確定線段AB、BC的位置,使A、C兩點(diǎn)之

間的距離最大（小）。

方法：

當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，A、C兩點(diǎn)之間的距離最大（小）。圖2?圖3圖12變式9:

（圖2，圖3的綜合變式）條件：如圖12，點(diǎn)A是兩相交直線a、b內(nèi)一

定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是直線a、b上兩動(dòng)點(diǎn)。問(wèn)題：確定P，Q的位置,使PA+PQ的值最小。方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A’

,過(guò)

點(diǎn)A’

作直線b的垂線

，垂足為Q,交

直線a于點(diǎn)P,則PA+PQ=A’

Q的值最小模型應(yīng)用例舉例

1.（天津

·中考）如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3,OB=4,D為邊OB的中點(diǎn)。（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

解法：找位置，（1）利用基本圖形2作圖;(2)利用變式2作圖；計(jì)算（略）。模型應(yīng)用例舉例2.(蘭州

·中考)如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,

過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F.

則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（）A.2

B.4.75C.5D.4.8解法：利用基本圖形1和基本圖形3作圖,連接OD、CO、CD,過(guò)C作△ABC的高CH;則EF=OC+OD≥CD≥CH,

EF的最小值是CH例

3.（武漢市

·

競(jìng)賽）如圖，在直角梯形ABCD中，

∠A為直角，AB//CD,AB=7,CD=5,AD=2.一條動(dòng)直線l交

AB于P,交CD于Q,且將梯形ABCD分為面積相等的兩部分，

則點(diǎn)A到直線l的距離最大值為_______解法：利用變式5作圖，作梯形的中位線EF,

取EF的中點(diǎn)為O,

連接OA,當(dāng)直線l垂直于AO時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離最大值為AO.D模型應(yīng)用例舉例4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB為直角，AB=8,AC=6,

頂點(diǎn)B、A分別在x軸、y軸上滑動(dòng)。求OC的最大值解法：利用變式8作圖，取AB的中點(diǎn)為D,

連接OD、CD,線段OD、CD為定長(zhǎng)，則OC≤OD+CD，OC的最大值為OD+CD=8例5.（鄂州?中考）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距

離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，

AB=試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足

MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（

）

A.6B.8C,10D.12解法：利用變式1作圖，將點(diǎn)A沿垂直于直線a的方向平移到A＇,使AA＇=MN,連接A＇B交直線b于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作MN垂直于直線b,交直線a于點(diǎn)M.則AM+MN+NB的值最小.C模型應(yīng)用例舉例

6.（鄂州?中考）如圖18，在銳角三角形ABC中，BC=

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是

。解法：利用變式9和基本圖形3作圖，作點(diǎn)C關(guān)于ＢＤ的對(duì)稱點(diǎn)Ｃ’

,過(guò)點(diǎn)Ｃ’

作ＢＣ的垂線

，垂足為Ｎ,交ＢＤ于點(diǎn)Ｍ,則CM+MN=Ｃ’Ｎ的值最小例

7.（武漢?中考）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是

解法：利用變式8作圖，取AB的中點(diǎn)為Ｇ,

連接ＧD、ＧＨ,線段ＧD、ＧＨ為定長(zhǎng)，則ＤＨ≥ＧD－ＧＨ，ＤＨ的最小值為ＧD－ＧＨ4歸納總結(jié)

幾何最值問(wèn)題的形式多種多樣，求解時(shí)離不開“基本圖形”.

掌握“萬(wàn)變不離其宗”的解題技巧后，將會(huì)使形式多種多樣的幾何最值問(wèn)題迎刃而解。主題訓(xùn)練自主體驗(yàn)1.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，－3），B（4，－1）。（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=____時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短。（2）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=____,n=___（不必寫解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=____時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短主題訓(xùn)練自主體驗(yàn)C3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，O是AC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，且MD＝1，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM－PO的最大值為()A.B.

C.

D.3

A

4.如圖,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=3,△ACD為等邊三角形,則BD的