對號函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

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對號函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在求函數(shù)的最值或值域時，有些函數(shù)不能用均值不等式，主要是由于等號不成立，而用單調(diào)性又難以判斷與證明。掌控對號函數(shù)的性質(zhì)，使這類題目在解題中顯得簡便而精確。

函數(shù)ya*

b*

〔a0,b0〕叫做對號函數(shù)，因其在〔0，+∞〕的圖象似

b*

ba

符號“√”而得名，利用對號函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng)*0時，a*

b*

ba

2

〔當(dāng)且僅當(dāng)a*R+〕的性質(zhì):當(dāng)*

ba

即*時取等號〕，由此可得函數(shù)ya*

b*

〔a0,b0,*∈

時，函數(shù)ya*

b*

〔a0,b0,*∈R+〕有最小值2

b*

ba

，特別地，當(dāng)

ba

a=b=1時函數(shù)有最小值2。函數(shù)ya*

ba

〔a0,b0〕在區(qū)間〔0，〕上是減

函數(shù)，在區(qū)間〔，+∞〕上是增函數(shù)。

b*

由于函數(shù)ya*

-

〔a0,b0〕是奇函數(shù)，所以可得函數(shù)ya*

b*

〔a0,b0,*∈R〕的性質(zhì)：當(dāng)*

ba

時，函數(shù)ya*

b*

〔a0,b0,*∈R-〕有最大值-2

b*

ba

，特別地，當(dāng)

ba

a=b=1時函數(shù)有最大值-2。函數(shù)ya*

ba

〔a0,b0〕在區(qū)間〔-∞，-〕上

是增函數(shù)，在區(qū)間〔-，0〕上是減函數(shù)。

利用對號函數(shù)以上性質(zhì)，在解某些數(shù)學(xué)題時很簡便，下面舉例說明：1、求函數(shù)y解：令t

y

t1t

2

*2*4*2*3

2

2

的最小值。

2

*2*3，那么t

1t

2

(*1)22

t

函數(shù)問題的解答

依據(jù)對號函數(shù)yt在〔1，+∞〕上是增函數(shù)及t的取值范圍，當(dāng)t2時y

t

1

有最小值

322

。此時*=-1.

2sin*

(*k,kZ)的單調(diào)區(qū)間，并求當(dāng)*(0,)時函數(shù)的

2、求函數(shù)ysin*最小值。

解：令t=sin*,對號函數(shù)yt是增函數(shù)，所以ysin*

2

2t

在〔0，2〕上是減函數(shù)，故當(dāng)*(0,]時sin*

2

sin*

22(,)上是增函數(shù)，由于函數(shù)ysin*是奇函數(shù)，所以函數(shù)ysin*2sin*sin*

2在(,0)上是減函數(shù)，在(,)上是增函數(shù)，由周期性，函數(shù)ysin*

22sin*

sin*

在(0,]上是減函數(shù)。同理，ysin*

2

2

在

在每一個區(qū)間(2k

(2k,2k(2k

2

,2k)(kZ)

上是減函數(shù)，在每一個區(qū)間

2sin*

2

)(kZ)

上是減函數(shù)；函數(shù)ysin*在每一個區(qū)間

32

)(kZ)

2

,2k)(kZ)上是增函數(shù)，在每一個區(qū)間(2k,2k

上是增函數(shù)。當(dāng)*(0,)時t(0,1]，當(dāng)t=1時即*3、求函數(shù)y2*

3*

2

時y有最小值3。

的單調(diào)區(qū)間，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明之。

3*

解：利用對號函數(shù)性質(zhì)，簡單得出函數(shù)y2*

62

62

的單調(diào)遞增區(qū)間是

62

〔-∞，-62

〕，〔，+∞〕，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是〔-62

，0〕，

〔0，〕。下面只證明在區(qū)間上〔0，

62

〕是減函數(shù)的情形：

3*1)

設(shè)任意的*1,*2〔0，

*2*1*1*2

〕,且*1*2，f(*1)f(*2)2*1

3*1*2

2*1*23*1*2

(2*2

3*2

)

=2(*1*2)3()=(*1*2)(2

)(*1*2)(

由于*1,*2〔0，

62

〕,且*1*2，所以*1*20,2*1*230

函數(shù)問題的解答

(*1*2)(

2*1*23