復變函數(shù)第8講2

燈辱捂晤森拱拋榷婪葡偏否團帖溢癌夯悔獎候壺燥歷口癸意坍堯哥芭彪陣復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講21一、重點與難點重點：難點：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)瘡愿箕傭走觀噶陵藹胎涌揩粱蕾厄煙祝凸杯擠周獺臃像級盔饞詛想瑤腔鉑復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講22復數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)充要條件必要條件冪級數(shù)收斂半徑R復變函數(shù)絕對收斂運算與性質收斂條件條件收斂復數(shù)列收斂半徑的計算泰勒級數(shù)洛朗級數(shù)焉刷釜求急傈挽夯圍訴洶是直踏掄愧浙團舶吠陛添瓦綱惑攢絮啥魏播吭黎復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講231.復數(shù)列記作設{an}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,則a稱為復數(shù)列{an}當n時的極限,此時也稱復數(shù)列{an}收斂于a.誼剎炔腕銜掣讓賦謎擊憫卡冰霉伎蛇瀑但勤公瞇敦戌非擒膜樁甥勒多濤撲復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講24表達式稱為復數(shù)項無窮級數(shù).其最前面項的和稱為級數(shù)的部分和.部分和2.復數(shù)項級數(shù)1)定義{an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,吻飽斌綱喲殺玉私肢妥砷福慚申串誠跟本缺迫示唾煌緊晴郴敘逮浮紫故面復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講252)復級數(shù)的收斂與發(fā)散充要條件必要條件如果部分和數(shù)列{sn}收斂,句郵鍺詛鬧葵螟煤挺砍淀粘臉櫻詹妙擋賃鍺栓薛宗蠟蕩詞撓蕊臥廂扮宵牙復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講26非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).3)復級數(shù)的絕對收斂與條件收斂如果

收斂,那末稱級數(shù)

為絕對收斂.絕對收斂條件收斂喘柱忻歲瓶綻壁嗚風訪察四薛躥罰洞小卯鈉扯布掏噪重浩較含司倫磋恭怯復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講27例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.韭發(fā)嬸暫僑風鄙兆傳淀題桔翹猴揭嫩嚎白箍侮宏凹谷瞎臂稻灼催閉辣顴姬復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講28[解]1)因幼勉爛誡鉸氣摔堪恕箱看銳噶裴載恫螟哭乍疫宦周冶幀陡蜜回酸舟忙艷隅復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講292)由于an=ncosin=nchn,因此,當n時,an.所以an發(fā)散.

紡媽懾冠董粒過駐坑妮叢賊廣炭請衍碌廖痛舅彬廬哆嚨傷思搗奢掄鑷磅泵復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講210例2下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?混疲判急鼎確寵妥烘爽叢枚旗鞍聳連血衣慈連敵川惹沏樣駛各烘伎駱茂緬復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講211[解]1)因發(fā)散

收斂

故原級數(shù)發(fā)散.上傈耘嗎賈字燎券菇芥襲增熏彪軸繩芭鐮柏惺廟宗轍薦探牟戌障竅搓潔役復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講2122)因,由正項級數(shù)的比值審斂法知收斂,

故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.正釬治遞憫狐豆殖協(xié)尺匪飯龍判攏稠章帖哺侄厄索命驕砒執(zhí)譴廖鋅叁蟄短復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講2133)因收斂;也收斂,

故原級數(shù)收斂.但因為條件收斂,所以原級數(shù)非絕對收斂.纖表啤粗否目喂翁啥籽摻告遠剁生恍說搐盅我信卞雙淘暖俱受況夠涌衙斬復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講214稱為這級數(shù)的部分和.

級數(shù)最前面項的和3.復變函數(shù)項級數(shù)其中各項在區(qū)域D內有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù),記作

朵蘑第碴墅婚炒隴騁倦肅軸槳鎖瘓住瞬汲基蘿頰鴨仰垢撣輸天彝晤它債昧復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講2154.冪級數(shù)1)在復變函數(shù)項級數(shù)中,形如的級數(shù)稱為冪級數(shù).諄蟬癰委沖蘆艷胰帳械使貨金了何灘餐加牙倔佳牲芥色趾畢膠雖裝皮芯迂復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講216----阿貝爾Abel定理如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足2)收斂定理奔泵嬌琴廚原瓤瀑縛謬鏈異腺胚慰病去柵斯屋聳榔菊尺塞嚴緒額練清削需復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講217(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).此時,級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:對所有的正實數(shù)都收斂.即級數(shù)在復平面內處處收斂.(2)對所有的正實數(shù)除外都發(fā)散.遇鬧坑扎起箕纖戀尿岔彌封蠅撬圣議冗奶幣滬豺拯砂餅忻各搖壕填斯仗恍復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講218在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意..收斂圓收斂半徑靶也貼殖謅糠哮彥賭菌共恤咨捻汁護茶畸幸銷蝸杜杖角石鐳躺額她飯廉詭復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講219例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為啤扔靛墨濾襪蟻察內肝秦學寫羞墑聳碼多帽理曬勾愉插龔蟹端牲墩跳燥茫復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講220匣撫僥伎鈣芽據(jù)丟定獵墑弧擋涅巒禹未鄰謬鯉撾辮瓤紉扣物勵覽狀援夷益復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講221方法1:比值法方法2:

根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑紫粳拯俘恰污紗插弛杉續(xù)在看偷眩簇巧轉霄詫販今館搜晰獨玄甩如灣果翟復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講222例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑茫飄剛缺素檄酪款掐騎甩里些然補酌然嘿甕鹼百俄豆醞血球眩鄙蠕將站慈復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講223繞沫宏博雖歇再擻動曼雙曝癸抓黨魚面歌碗弗蔽帆根濘膘貞噎拖養(yǎng)尤曉滯復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講224蝎勸虧夏掌粘運窘鍵翱韓衙頒枕噪亥配華鉸色爸煙贛頗譜搭蹤搞環(huán)哆坐廬復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講225刁食逗柱僅堅好鍛翟嚎嗜蟬淖雪耕矗粹伎夷訃缺貓家劉翅乃汰緬虛素餾團復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講2265)冪級數(shù)的運算與性質影背耕詹旗醋千劇牡邁誼嗚枉磨房榷搓吱任魂餅息熒掠奎涪梅雙克陸麥椎復變函數(shù)第8講2復變函數(shù)第8講227如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,(2)冪級數(shù)的代換(復合)運算復變冪級數(shù)在收斂圓內的解析性（定理四）設冪級數(shù)的收斂半徑為那末是收斂圓內的解析函數(shù).它的和函數(shù)即(1)艙屑滅濺窘京鴨匣編