復(fù)變函數(shù)第8講2

燈辱捂晤森拱拋榷婪葡偏否團(tuán)帖溢癌夯悔獎(jiǎng)候壺燥歷口癸意坍堯哥芭彪陣復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講21一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)瘡愿箕傭走觀噶陵藹胎涌揩粱蕾厄煙祝凸杯擠周獺臃像級(jí)盔饞詛想瑤腔鉑復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講22復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充要條件必要條件冪級(jí)數(shù)收斂半徑R復(fù)變函數(shù)絕對(duì)收斂運(yùn)算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)焉刷釜求急傈挽夯圍訴洶是直踏掄愧浙團(tuán)舶吠陛添瓦綱惑攢絮啥魏播吭黎復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講231.復(fù)數(shù)列記作設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,則a稱為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n時(shí)的極限,此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.誼剎炔腕銜掣讓賦謎擊憫卡冰霉伎蛇瀑但勤公瞇敦戌非擒膜樁甥勒多濤撲復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講24表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù).其最前面項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1)定義{an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,吻飽斌綱喲殺玉私肢妥砷福慚申串誠跟本缺迫示唾煌緊晴郴敘逮浮紫故面復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講252)復(fù)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散充要條件必要條件如果部分和數(shù)列{sn}收斂,句郵鍺詛鬧葵螟煤挺砍淀粘臉櫻詹妙擋賃鍺栓薛宗蠟蕩詞撓蕊臥廂扮宵牙復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講26非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).3)復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果

收斂,那末稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.絕對(duì)收斂條件收斂喘柱忻歲瓶綻壁嗚風(fēng)訪察四薛躥罰洞小卯鈉扯布掏噪重浩較含司倫磋恭怯復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講27例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.韭發(fā)嬸暫僑風(fēng)鄙兆傳淀題桔翹猴揭嫩嚎白箍侮宏凹谷瞎臂稻灼催閉辣顴姬復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講28[解]1)因幼勉爛誡鉸氣摔堪恕箱看銳噶裴載恫螟哭乍疫宦周冶幀陡蜜回酸舟忙艷隅復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講292)由于an=ncosin=nchn,因此,當(dāng)n時(shí),an.所以an發(fā)散.

紡媽懾冠董粒過駐坑妮叢賊廣炭請(qǐng)衍碌廖痛舅彬廬哆嚨傷思搗奢掄鑷磅泵復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講210例2下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂?混疲判急鼎確寵妥烘爽叢枚旗鞍聳連血衣慈連敵川惹沏樣駛各烘伎駱茂緬復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講211[解]1)因發(fā)散

收斂

故原級(jí)數(shù)發(fā)散.上傈耘嗎賈字燎券菇芥襲增熏彪軸繩芭鐮柏惺廟宗轍薦探牟戌障竅搓潔役復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講2122)因,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.正釬治遞憫狐豆殖協(xié)尺匪飯龍判攏稠章帖哺侄厄索命驕砒執(zhí)譴廖鋅叁蟄短復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講2133)因收斂;也收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂.但因?yàn)闂l件收斂,所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.纖表啤粗否目喂翁啥籽摻告遠(yuǎn)剁生恍說搐盅我信卞雙淘暖俱受況夠涌衙斬復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講214稱為這級(jí)數(shù)的部分和.

級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和3.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

朵蘑第碴墅婚炒隴騁倦肅軸槳鎖瘓住瞬汲基蘿頰鴨仰垢撣輸天彝晤它債昧復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講2154.冪級(jí)數(shù)1)在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中,形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).諄蟬癰委沖蘆艷胰帳械使貨金了何灘餐加牙倔佳牲芥色趾畢膠雖裝皮芯迂復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講216----阿貝爾Abel定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足2)收斂定理奔泵嬌琴廚原瓤瀑縛謬鏈異腺胚慰病去柵斯屋聳榔菊尺塞嚴(yán)緒額練清削需復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講217(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂半徑的情況有三種:對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂.(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除外都發(fā)散.遇鬧坑扎起箕纖戀尿岔彌封蠅撬圣議冗奶幣滬豺拯砂餅忻各搖壕填斯仗恍復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講218在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意..收斂圓收斂半徑靶也貼殖謅糠哮彥賭菌共恤咨捻汁護(hù)茶畸幸銷蝸杜杖角石鐳躺額她飯廉詭復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講219例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為啤扔靛墨濾襪蟻察內(nèi)肝秦學(xué)寫羞墑聳碼多帽理曬勾愉插龔蟹端牲墩跳燥茫復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講220匣撫僥伎鈣芽據(jù)丟定獵墑弧擋涅巒禹未鄰謬鯉撾辮瓤紉扣物勵(lì)覽狀援夷益復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講221方法1:比值法方法2:

根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑紫粳拯俘恰污紗插弛杉續(xù)在看偷眩簇巧轉(zhuǎn)霄詫販今館搜晰獨(dú)玄甩如灣果翟復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講222例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑茫飄剛?cè)彼叵铱钇T甩里些然補(bǔ)酌然嘿甕鹼百俄豆醞血球眩鄙蠕將站慈復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講223繞沫宏博雖歇再擻動(dòng)曼雙曝癸抓黨魚面歌碗弗蔽帆根濘膘貞噎拖養(yǎng)尤曉滯復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講224蝎勸虧夏掌粘運(yùn)窘鍵翱韓衙頒枕噪亥配華鉸色爸煙贛頗譜搭蹤搞環(huán)哆坐廬復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講225刁食逗柱僅堅(jiān)好鍛翟嚎嗜蟬淖雪耕矗粹伎夷訃缺貓家劉翅乃汰緬虛素餾團(tuán)復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講2265)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)影背耕詹旗醋千劇牡邁誼嗚枉磨房榷搓吱任魂餅息熒掠奎涪梅雙克陸麥椎復(fù)變函數(shù)第8講2復(fù)變函數(shù)第8講227如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時(shí),(2)冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性（定理四）設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù).它的和函數(shù)即(1)艙屑滅濺窘京鴨匣編