工程流體力學(xué)：第七章 相似理論與量綱分析

第七章相似理論與量綱分析第七章相似理論與量綱分析(TheoryofSimilarity)§7-1相似概念§7-2流體力學(xué)中的相似準(zhǔn)則§7-3量綱分析法§7-4相似理論的應(yīng)用

重點(diǎn)：相似概念、相似準(zhǔn)則數(shù)、相似準(zhǔn)則、自模雷諾數(shù)、Π定理、因次分析法、相似換算難點(diǎn)：因次分析法

流體力學(xué)研究問(wèn)題的方法有解析、數(shù)值和實(shí)驗(yàn)的方法。本章介紹實(shí)驗(yàn)研究方法的理論基礎(chǔ)知識(shí)。實(shí)驗(yàn)研究既是理論分析的依據(jù)（通過(guò)探索性的實(shí)驗(yàn)，尋找未知的流動(dòng)規(guī)律），同時(shí)也是檢驗(yàn)理論的準(zhǔn)繩（理論計(jì)算、數(shù)值計(jì)算的結(jié)果還要實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)），具有很重要的作用。第七章相似理論與量綱分析

常用的實(shí)驗(yàn)設(shè)備介紹、實(shí)驗(yàn)研究項(xiàng)目介紹。拖曳水池、風(fēng)波水池、水槽、水洞、風(fēng)洞等。船模試驗(yàn)、氣泡減阻、粉塵試驗(yàn)、蹼試驗(yàn)、三峽大壩和南水北調(diào)包含多方面的研究等等。

那么試驗(yàn)如何設(shè)計(jì)安排、試驗(yàn)測(cè)量哪些數(shù)據(jù)、試驗(yàn)結(jié)果如何換算到原型，這是本章要介紹的基礎(chǔ)知識(shí)。

模型實(shí)驗(yàn)通常指用簡(jiǎn)化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動(dòng)現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動(dòng)現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價(jià)值的。第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念

為使模型流動(dòng)能表現(xiàn)出實(shí)型流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動(dòng)上預(yù)測(cè)出實(shí)型流動(dòng)的結(jié)果，就必須使兩者在流動(dòng)上相似，即兩個(gè)互為相似流動(dòng)的對(duì)應(yīng)部位上對(duì)應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，兩相似流動(dòng)應(yīng)幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似。兩流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念一、幾何相似（空間相似）geometrysimilarity

定義：兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成同一比例，對(duì)應(yīng)角相等。引入尺度比例系數(shù)

進(jìn)而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型流動(dòng)用下標(biāo)m表示model原型流動(dòng)用下標(biāo)p表示prototype對(duì)應(yīng)角相等：第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念

定義：在幾何相似的系統(tǒng)中，對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)，兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的流體速度矢成同一比例，方向相同。引入速度比例系數(shù)由于因此運(yùn)動(dòng)相似建立在幾何相似基礎(chǔ)上，那么運(yùn)動(dòng)相似只需確定時(shí)間比例系數(shù)就可以了。運(yùn)動(dòng)相似也就被稱之為時(shí)間相似。二、運(yùn)動(dòng)相似（時(shí)間相似）kinematicssimilarity對(duì)應(yīng)角相等：第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念

定義：在運(yùn)動(dòng)相似的系統(tǒng)中，對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)，兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)部位上同名力矢成同一比例(大小成同一比例，方向相同)。

引入力比例系數(shù)也可寫成力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比例系數(shù)的不同組合形式，如：力矩M壓強(qiáng)p功率N動(dòng)力粘度

對(duì)應(yīng)角相等：三、動(dòng)力相似（受力相似）dynamicsimilarity第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念

綜上所述，要使模型流動(dòng)和原型流動(dòng)相似，需要兩者在時(shí)空相似的條件下受力相似。動(dòng)力相似（受力相似）用相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）的形式來(lái)表示，即：要使模型流動(dòng)和原型流動(dòng)動(dòng)力相似，需要這兩個(gè)流動(dòng)在時(shí)空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。第七章相似理論與量綱分析§7-1相似概念§7-2相似準(zhǔn)則Re

數(shù)(雷諾數(shù))

低雷諾數(shù)粘性流動(dòng)平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來(lái)流速度截面寬度圓管流動(dòng)

平均流速管直徑

V

l區(qū)分粘性流動(dòng)層流與湍流態(tài)邊界層外無(wú)粘流邊界層內(nèi)以為界區(qū)分層流與湍流態(tài)一、相似準(zhǔn)則數(shù)表示慣性力和粘性力之比第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則Fr

數(shù)(弗魯?shù)聰?shù))

明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長(zhǎng)

V

l

Fr數(shù)是描述具有自由液面的液體流動(dòng)時(shí)最重要的無(wú)量綱參數(shù)。如水面船舶的運(yùn)動(dòng)和明渠流中的水流。

表示慣性力和重力之比，反映了流體流動(dòng)中重力所起的影響程度。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則Eu數(shù)(歐拉數(shù))

表示壓力和慣性力的比值。

p可以是某一點(diǎn)的特征壓強(qiáng)，也可以是兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強(qiáng)差時(shí)，Eu數(shù)常稱為壓強(qiáng)系數(shù)

當(dāng)在液體流動(dòng)中局部壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卣羝麎簭?qiáng)pv時(shí)，Eu數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則4．St數(shù)（斯特哈爾數(shù)）

l為特征長(zhǎng)度，V為特征速度，t為特征時(shí)間。

表示時(shí)變慣性力和位變慣性力之比，反映了流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的情況。5．Ma數(shù)（馬赫數(shù)）

V為特征速度，c為當(dāng)?shù)芈曀佟?/p>

表示彈性力和慣性力之比，c為當(dāng)?shù)芈曀?，反映了流?dòng)的壓縮程度。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則粘性力相似重力相似壓力相似慣性力相似壓縮性相似二、相似準(zhǔn)則

綜上所述，欲使兩個(gè)流動(dòng)相似必須達(dá)到動(dòng)力相似。動(dòng)力相似可以用相似準(zhǔn)則表示，即若原型和模型流動(dòng)動(dòng)力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則

三、相似準(zhǔn)則的幾點(diǎn)說(shuō)明

如果相似準(zhǔn)則全滿足則稱為完全的動(dòng)力相似。但是事實(shí)上，要使兩者達(dá)到完全的動(dòng)力相似，實(shí)際上辦不到。不是所有的相似準(zhǔn)數(shù)之間都是相容的，滿足了甲，不一定就能滿足乙。如果所有的相似準(zhǔn)數(shù)都相等，意味著各比例系數(shù)均等于1，這實(shí)際上意味著模型流動(dòng)和原型流動(dòng)各對(duì)應(yīng)參數(shù)均相等，模型流動(dòng)和原型流動(dòng)就成為了相等流動(dòng)。

1.

尋求的是主要?jiǎng)恿Φ南嗨?/p>

對(duì)于具體的流動(dòng)，作用于流體上的力不可能同時(shí)起主導(dǎo)作用，并非所有的相似準(zhǔn)則同等重要。因此，我們抓主要因素（力、相似準(zhǔn)則），忽略次要因素（力、相似準(zhǔn)則）。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則如：

a.Re

數(shù)：水下潛艇運(yùn)動(dòng)、大氣中的物體運(yùn)動(dòng)、管道流動(dòng)

b.Fr

數(shù)：自由面的水流、具有動(dòng)邊界的自由射流。波浪運(yùn)動(dòng)、水面船舶運(yùn)動(dòng)、孔口管嘴出流

c.Eu

數(shù)：水下潛艇運(yùn)動(dòng)、大氣中的物體運(yùn)動(dòng)、管道流動(dòng)（對(duì)于Eu數(shù)而言，在其他相似準(zhǔn)則相等時(shí)，Eu數(shù)同時(shí)可以滿足）d.St

數(shù)：定常流動(dòng)，不需考慮。

e.Ma

數(shù)：高速流動(dòng)。高音速飛機(jī)飛行、火箭、宇宙飛船。不可壓縮流動(dòng)，不必考慮。思考：重力場(chǎng)中，粘性流體不可壓縮、定常流動(dòng)的相似準(zhǔn)則。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則

2.Re數(shù)和Fr數(shù)相似準(zhǔn)則不可能同時(shí)成立

要Fr數(shù)相等，模型縮小后，試驗(yàn)流速應(yīng)減??；而要Re數(shù)相等，則縮小模型時(shí)，要求試驗(yàn)流速增大。

如：在水槽中作船模試驗(yàn)：設(shè)lp=100lm，求拖車速度（船模速度）。滿足重力相似：滿足粘性力相似：書中例9.2講了如何解決這個(gè)問(wèn)題。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則為保證兩數(shù)同時(shí)相等，應(yīng)有

由Fr數(shù)相等

由Re數(shù)相等

設(shè)Cl

=0.1,νp=0.1cm2/s(空氣)，應(yīng)有νm=0.00032cm2/s。無(wú)法找到運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)如此低的實(shí)驗(yàn)流體來(lái)實(shí)現(xiàn)完全相似。(可以采用不同種類的流體做實(shí)驗(yàn))

造船業(yè)上的慣常方法是：保證Fr數(shù)為主作模型實(shí)驗(yàn)，然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)粘性阻力影響作修正處理，稱為近似相似。普遍而言：第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則

3.

自模Re數(shù)

對(duì)Re數(shù)相似準(zhǔn)則，實(shí)際流動(dòng)的Re

數(shù)往往很大，以至于模型試驗(yàn)不能達(dá)到。

如：潛艇試驗(yàn)：lp=78m，潛水航速Vp=10節(jié)=5.108m/s，比例尺lp:lm=65。在風(fēng)洞中做試驗(yàn)，確定風(fēng)速（艇模速度）。滿足粘性力相似：目前不可壓縮風(fēng)洞速度最高達(dá)100m/s，不能達(dá)到。第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則計(jì)算實(shí)際流動(dòng)的Re數(shù)：

當(dāng)Re數(shù)很大時(shí)，實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)Re自模規(guī)律：即模型實(shí)驗(yàn)的Re數(shù)不必達(dá)到與實(shí)際流動(dòng)相等，只要達(dá)到一定Re數(shù)——自模Re數(shù)（小的），就可以滿足粘性力相似的要求。這一現(xiàn)象有利于做實(shí)驗(yàn)。不同的實(shí)驗(yàn)，自模Re數(shù)不同，由實(shí)驗(yàn)確定，一般應(yīng)大于104～105

。

對(duì)于上述的潛艇實(shí)驗(yàn)，當(dāng)Re=3*106時(shí)，已達(dá)粘性相似。此時(shí)，實(shí)驗(yàn)風(fēng)速為：第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則管道沿程損失系數(shù)自模現(xiàn)象：第七章相似理論與量綱分析§7-2相似準(zhǔn)則§7-3

量綱分析法

量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過(guò)對(duì)有關(guān)的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無(wú)量綱形式的組合量，用無(wú)量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導(dǎo)理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。提議用量綱分析的是瑞利(L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎(chǔ)的是布金漢(E.Buckingham,1914)第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位一、量綱分析的基本概念

1.量綱是物理量的單位種類，又稱因次，如長(zhǎng)度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來(lái)度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長(zhǎng)度量綱），用L表示。

2.基本量綱導(dǎo)出量綱基本量綱是具有獨(dú)立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個(gè)基本量綱：長(zhǎng)度量綱L、時(shí)間量綱T、質(zhì)量量綱M

導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示，如:加速度的量綱：[a]=LT-2

力的量綱：[F]=[ma]=MLT-2

任何物理量B的量綱可寫成：[B]=MaLbTc第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法3.

基本量導(dǎo)出量一個(gè)物理問(wèn)題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過(guò)某種關(guān)系導(dǎo)出，前者互為獨(dú)立的物理量。基本量個(gè)數(shù)取基本量綱個(gè)數(shù)，所取定的基本量必須包括三個(gè)基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。如、v、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L、M、T這三個(gè)基本量綱，而a、v、l就不能構(gòu)成基本量，因?yàn)椴话玖烤VM。第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法4.無(wú)量綱數(shù)dimensionlessparameter(number)

指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實(shí)際是一個(gè)數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個(gè)物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過(guò)的相似準(zhǔn)數(shù):第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法

量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個(gè)物理現(xiàn)象或一個(gè)物理過(guò)程用一個(gè)物理方程表示時(shí)，方程中每項(xiàng)的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的。一個(gè)正確的物理方程，式中的每項(xiàng)的量綱應(yīng)該一樣，以伯努利方程為例

方程左邊各項(xiàng)的量綱從左到右依次為：二、量綱齊次性原理第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法三、布金漢（Buckingham）

定理

對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過(guò)程，如果存在有

n個(gè)變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個(gè)基本量綱，可把這

n個(gè)變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i

個(gè)無(wú)量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(

1,2,…

n-m)=0

這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個(gè)，更為概括集中表示物理過(guò)程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法

例：不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管定常流動(dòng)，分析壓強(qiáng)降低與相關(guān)物理量的關(guān)系。

解：1.列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個(gè)2.選擇基本量：ρ、V、d

四、量綱分析法

量綱分析法就是應(yīng)用定理，通過(guò)分析所要研究問(wèn)題中有關(guān)物理量的量綱，利用量綱齊次性原理導(dǎo)出無(wú)量綱的數(shù)，建立無(wú)量關(guān)系式，無(wú)量綱數(shù)包含相似準(zhǔn)則數(shù)。下面舉例說(shuō)明其過(guò)程。第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法解得：a=-1,b=-2,c=0（歐拉數(shù)、壓力系數(shù)，1/2是人為加上去的）

②

2=ρa(bǔ)bbccμ

M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

c(ML–1T–1)

3.列

表達(dá)式求解

數(shù)①

1=ρa(bǔ)VbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T

–2)第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法解得：a=b=c=-1

(雷諾數(shù))③

3=ρa(bǔ)VbdcεM0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，c=-1

第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法（相對(duì)粗糙度）④

4=ρa(bǔ)Vbdcl(同上)

（幾何比數(shù)）4.列

數(shù)方程即或第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法由實(shí)驗(yàn)知道壓力降

p與l/d成正比，則上式可改寫為：這就是達(dá)西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動(dòng)流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長(zhǎng)、速度水頭成正比，與管徑成反比。

從該例題看出，利用

定理，可以在僅知與物理過(guò)程有關(guān)物理量的情況下，求出表達(dá)該物理過(guò)程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個(gè)系數(shù)要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實(shí)驗(yàn)來(lái)確定這個(gè)系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法

運(yùn)動(dòng)物體在流體中產(chǎn)生的阻力、升力、力矩和（動(dòng)力機(jī)械的）功率等等的無(wú)量綱數(shù)：阻力系數(shù)升力系數(shù)

力矩系數(shù)

功力系數(shù)（P為動(dòng)力機(jī)械的功率，D

為動(dòng)力機(jī)械旋轉(zhuǎn)部件的直徑，n

為轉(zhuǎn)速。）

第七章相似理論與量綱分析§7-3量綱分析法§7-4相似理論的應(yīng)用

根據(jù)相似理論安排實(shí)驗(yàn)和整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的主要步驟：

1.用基本方程或量綱分析法導(dǎo)出所研究問(wèn)題的相似準(zhǔn)則數(shù)：基本方程已知，充分利用；未知，量綱分析法，基本量選取要恰當(dāng)。

2.在相似的條件下設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、安排實(shí)驗(yàn)和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：在幾何相似的條件下，根據(jù)相似準(zhǔn)則以及實(shí)驗(yàn)設(shè)備的條件設(shè)計(jì)和安排實(shí)驗(yàn)。相似準(zhǔn)則的應(yīng)用要考慮主次、自模Re數(shù)現(xiàn)象等等。

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果的換算：實(shí)驗(yàn)過(guò)程中要測(cè)量量綱分析中無(wú)量綱數(shù)中包含的物理量。第七章相似理論與量綱分析§7-4相似理論的應(yīng)用

模型流動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)模型流動(dòng)，要使之成為原型流動(dòng)的相似流動(dòng)，原則上要滿足幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和主要?jiǎng)恿ο嗨啤＞唧w設(shè)計(jì)時(shí)，首先要考慮該流動(dòng)性質(zhì)選擇決定性相似準(zhǔn)數(shù)，此外還要考慮實(shí)驗(yàn)規(guī)模和實(shí)驗(yàn)室的條件以及實(shí)驗(yàn)時(shí)所采用的流體是否與原型流動(dòng)中的流體相同且是否同一溫度等因素。數(shù)據(jù)換算從模型流動(dòng)實(shí)驗(yàn)中測(cè)定的各個(gè)數(shù)據(jù)不能直接用到原型流動(dòng)中去，需要用到數(shù)據(jù)換算。由模型流動(dòng)中已確定的一些比例系數(shù)以及物理量之間的關(guān)系來(lái)確定其他一些比例系數(shù)，這樣，原型流動(dòng)中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模型流動(dòng)中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對(duì)應(yīng)的比例系數(shù)。第七章相似理論與量綱分析§7-4相似理論的應(yīng)用最后得到風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是45m/s。

例1

有一轎車，高h(yuǎn)=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計(jì)時(shí)速v=108km/h，擬通過(guò)風(fēng)洞中模型實(shí)驗(yàn)來(lái)確定此轎車在公路上以此速行駛時(shí)的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(lm/lp=2/3)，并假定風(fēng)洞試驗(yàn)段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時(shí)的溫度相同，試求：風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時(shí)，風(fēng)洞實(shí)