中南大學 數(shù)學建模 lingo matlab 優(yōu)化建模論文 垃圾填埋場的優(yōu)化設計

2009暑期數(shù)學建模培訓第一次模擬賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）：59所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜褐心洗髮W參賽隊員(打印并簽名)：1.李清元2.林元元3.牟兆祥指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：日期：2009年8賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：垃圾填埋場的優(yōu)化設計【摘要】本文根據(jù)題中給出的市平均日產(chǎn)生活垃圾量、地價、銀行利率、設備價格等已知條件和查詢的相關資料，就建造垃圾填埋場這一項目的政府預算進行了分析和優(yōu)化，建立了無約束條件下的一元非線性規(guī)劃模型，解決了該項目中最佳挖掘深度問題，并提出了該模型的改進方法，并在確立最佳挖掘深度的基礎上對征地和購買機械的方案及預算進行了分析和優(yōu)化，為政府在未來五十年內(nèi)的垃圾處理規(guī)劃提供了可行性的建議。首先，由于年產(chǎn)垃圾產(chǎn)量是固定的，挖掘深度和購地面積必呈反相關，可以建立二者之間的函數(shù)關系，同時挖掘深度和機器數(shù)量、消耗柴油數(shù)量、機器功率這些變量之間均可建立函數(shù)關系，這樣，政府預算的目標函數(shù)就可由原來的多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成只跟挖掘深度有關的一元問題。通過對目標函數(shù)求導求最優(yōu)解（使目標函數(shù)取最小值的挖掘深度），得出了各年的最佳挖掘深度隨年數(shù)的增加大致呈階梯型增長的結(jié)論，并以十年為一個階段取平均值作為各階段的最佳挖掘深度，得出第一個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為22.6米，第二個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為27.4米，第三個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為36.1米。對于第二問，由于問題一中建立的最佳挖掘深度分別和購機數(shù)量、征地面積的函數(shù)關系，得到每年的征地面積和購買機械的預算案。首先考慮到土地價格在不斷上漲，愈晚購地地價愈高；同時如果及早征地，所貸款又會產(chǎn)生大量的利息將來需要還清，所以可以分步征地，每次征地面積應取最佳值從而使得預算達到最?。ㄒ姼奖恚?；另外，基于機械按階段購買的假設，通過每年最佳挖掘深度來求出購機方案（見附表）。最后對于模型作出評價，考慮到挖掘工作的技術水平、土地價格上升等實際情況，該模型對于進行短期預算較為合理，對于長期預算在理論上可以作為參考。本模型不僅適用于建立垃圾清理場的預算問題，還適用于工程建筑的規(guī)劃選址、工程造價預算等問題?！締栴}重述】某市平均日產(chǎn)生活垃圾約為1000立方米（以壓縮后體積計），現(xiàn)欲建一垃圾填埋場，將垃圾挖坑后填埋，再在表面覆蓋一米厚的土層以恢復植被。現(xiàn)在需要就建場預算中涉及購置設備及征用土地問題作出決策?？紤]挖坑及填埋設備的購置和土地征用中的經(jīng)濟問題，市政當局希望給出花錢最少的預算?，F(xiàn)已知下列情形：1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，無須處理，但須運上地面，并須留出填埋覆蓋用土。2.每套挖掘及填埋機械需購置費用150萬元，使用壽命十年。3.填埋場預計使用五十年。4.壓縮后的垃圾由汽車直接拋入垃圾填坑中，無須作功。5.現(xiàn)征地費用為20萬元/畝（），根據(jù)統(tǒng)計資料知，此前三年地價漲幅為平均10%/年。6.機械使用柴油，效率為30%。在平地作業(yè)時，將一立方土移動一米需作功100kJ，但隨挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基礎上下降10%。7.當前銀行貸款年利率為5%，存款利率為3%。8.填埋后的場地將用于公益(如建立公園、綠地等)。需要解決的問題是：按市政當局要求，建立數(shù)學模型，為該項目計算出最佳的挖掘深度，評價模型優(yōu)缺點；作出征購土地，購買機械的方案及預算?！締栴}分析】本題基于備受社會關注的垃圾處理問題，通過市政當局的要求來作預算，既要保證垃圾及時完全處理，又須節(jié)省開支，因此需要考慮種種因素，比如挖掘和填埋機械需要龐大的支出、機械運作消耗的大量的柴油、購置足夠填埋垃圾的土地所需的費用以及貸款產(chǎn)生的利息等等，這些因素對預算案的制定至關重要。首先分析挖掘最佳深度的問題：因為后來地價會不斷上漲，為降低預算每天填埋垃圾所需占用的土地面積S應盡可能小，但又由于垃圾的日產(chǎn)量(體積V=hS)一定，這樣會增大挖掘的深度h，隨著挖掘深度的增加，消耗的柴油量增加，這在一定程度上也增加了支出，故所占用的土地面積S又不能太小(挖掘深度h不能太大)。綜合上述分析可知，每一年挖掘深度h是不同的,同時由于每一年的地價保持不變，所以挖掘深度h在同一年中保持不變。然后分析征地和購買機械預算的問題：由于填埋場使用壽命五十年，故只需作出五十年內(nèi)征購土地，購買機械的方案及預算?；谕恋貎r格在不斷上漲，愈晚購地地價愈高；同時如果及早征地，所貸款又會產(chǎn)生大量的利息將來需要還清，所以可以分步征地，每次征地面積應取最佳值從而使得預算達到最小。又因為挖掘和填埋機械壽命為10年，10年后繼續(xù)購置新的設備，這樣可以考慮在每一個10年段購買一次機械，分段進行購買，這樣不但節(jié)省了及早購買貸款產(chǎn)生的利息，而且避免了由于其壽命限制造成的損失。解題思路：分析問題，作出假設分析問題，作出假設建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型編程求解模型確定每一年的最佳挖掘深度確定最佳購地方案、機械購買方案確定每年的預算和50年的總預算編程求解模型確定每一年的最佳挖掘深度確定最佳購地方案、機械購買方案確定每年的預算和50年的總預算【基本假設】1.該市生活垃圾日產(chǎn)量在未來五十年內(nèi)保持為1000立方米；柴油價格在未來的五十年內(nèi)保持不變；每套挖掘及填埋機械設備的價格保持不變；未來五十年內(nèi)地價漲幅不變，而且在同一年中地價不變；銀行貸款年利率不變，以后政府將一次性還清貸款；由于垃圾污染環(huán)境，需倒掉后即刻掩埋；挖掘和填埋機械始終保持相同的性能，并且它的的效率隨著深度的增加均勻減??；挖掘和填埋機械向地面移動土做功是均勻變化的，垃圾表面覆蓋的一米厚土層由填埋機直接拋入坑中無需做功，并且挖掘和填埋機械在水平面上移動物體不做功；垃圾填埋場工人的工資不計；10.預算按每年來進行，一年按365天計?！咀兞空f明】序號變量名稱變量含義1第i年最佳挖掘深度2挖掘至h深度時機械的效率3柴油的燃燒值4挖掘一個存放日生活垃圾的坑所做的總功5柴油的單價6挖掘和填土機的功率7挖掘機一天工作的時間8機械工作一天消耗的柴油質(zhì)量9機械工作一天消耗的柴油總價10挖掘和填土機械單價11第i年的征地面積12第i年單位面積土地價格13第i年柴油消費總量14第i次購買挖掘和填土設備的總費用15第i年的預算16建垃圾填埋場50年的總預算17一次性購買挖掘機的數(shù)量18銀行貸款年利率19地價漲幅系數(shù)20第i年每天的挖掘面積21第i年購地總花費【模型建立、分析和求解】問題一的分析和求解——無約束非線性規(guī)劃模型該問題是在綜合考慮各種因素作用下尋求最佳挖掘深度的問題，亦即尋求規(guī)劃模型的最優(yōu)解的問題，由于影響因素復雜，目標函數(shù)或約束條件是非線性的，故可以建立非線性規(guī)劃問題的模型。首先根據(jù)實際需要和可能，提出要追求最優(yōu)化的目標，并且，運用各種科學和技術原理，把它表示成數(shù)學關系式，即構造出目標函數(shù)，并考慮目標好壞的價值標準。然后，由于所追求的目標一般都要在一定的條件下取得極小化或極大化效果，因此還需要尋找出問題的所有限制條件，這些條件通常用變量之間的一些不等式或等式來表示。再根據(jù)這些條件，通過一定的數(shù)學方法和工具，求解出模型的最優(yōu)解。對于此題，要求最佳挖掘深度，考慮到市政當局需要花錢最少的預算，從地價的增長對政府預算的影響、征地面積同挖掘深度的關系等因素考慮，建立每一年的預算與當年挖掘深度、購地面積、柴油消費總量等變量的函數(shù)關系，并找出各量之間的關系式，對這個非線性規(guī)劃模型進行優(yōu)化求解，即可規(guī)劃出最優(yōu)的挖掘深度。為建立目標函數(shù)，需要先查找跟各個量有關的數(shù)據(jù)資料.根據(jù)已知條件及所查得的的數(shù)據(jù)得到如下所示：為建立模型，“每套挖掘及填埋機械需購置費用150萬元，使用壽命十年”，先不妨假設第一年一次性購買設備，十年之后再另購設備，依次下推，第t次購買設備的費用為：2.將地價單位換算為：20萬/畝=300元/平方米,根據(jù)假設地價漲幅不變,第i年單位面積土地價格：3.挖掘至h深度時機械的效率:4.挖掘一個存放日生活垃圾的坑所做的總功:5.機械工作一天消耗的柴油總價：6.由假設條件8并忽略其他次要因素的影響，可得到以下關系：7.由“平均日產(chǎn)生垃圾約為1000立方米”可得，每年最佳挖掘深度和每年所需土地面積的關系為：由以上條件可得出政府每年所需的預算為上式即為該規(guī)劃問題的目標函數(shù)，使函數(shù)取得最小值的解即為該目標函數(shù)的最優(yōu)解。由于條件的限制，可能只能求得近似最優(yōu)解。根據(jù)所列條件可將上式化簡為其中，該目標函數(shù)中符號除h外，其他量均為已知量，目標函數(shù)F經(jīng)化簡后可轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓幸粋€自變量h的非線性函數(shù)。由函數(shù)表達式可知，每一年的最佳挖掘深度在理論上并非固定不變的，而是每年都有各自的最佳值，這同上面的分析是一致的。為了求出該目標函數(shù)的最佳值，即求得最優(yōu)解，可給出函數(shù)對挖掘深度h的導數(shù)，令其等于零，該點的h值在理論上應為目標函數(shù)的最優(yōu)解，同時還能得到相應的政府預算和購地面積等量。由于函數(shù)形式復雜，應用matlab(7.0)進行求解，得到結(jié)果見附表一。由得到的數(shù)據(jù)建立各個量之間的曲線關系圖如下：圖一最佳挖掘深度隨時間變化曲線由圖一可知，從總體趨勢來看，在理論上，從當前（第一年）開始，每年的最佳挖掘深度隨年數(shù)的增加大致曾階梯型增長曲線，而在第1、11、21、31、41年曲線形狀發(fā)生突變，這與假設在這些年一次性購進各階段所需的機械設備有關。通過這個模型可以求出政府在第1、11、21、31、41這些年之外的各年度預算函數(shù)與挖掘深度的最優(yōu)解（近似最優(yōu)解），而且我們可以從總的趨勢預測在第1、11、21、31、41年的最佳挖掘深度。但是，考慮到政府規(guī)劃的實際情況，以及技術水平、設備數(shù)量等實際情況，每年取一個最佳挖掘深度并不合理，我們?nèi)∈隇橐粋€規(guī)劃階段，并著重考慮前三個十年內(nèi)的情況。取每個階段內(nèi)的平均值作為該階段的最佳挖掘深度，有：第一個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為22.6米；第二個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為27.4米；第三個十年內(nèi)的最佳挖掘深度為36.1米；而對第四、五個十年的最佳值，通過模型求得的最佳值較大，考慮到在技術上的實現(xiàn)難度以及設備數(shù)量的合理性，應作修改，可以沿用第三個十年的最佳挖掘深度。由于垃圾年產(chǎn)量一定，總體積V=365000m3，所以每年挖掘深度hi取決于每年的用地面積xi，而用地面積又受到地價的限制，并且一年內(nèi)土地價格不變，所以一年中的挖掘深度也不會發(fā)生變化。因為填埋垃圾要留出1m的填土高度，這樣可以建立關系式，根據(jù)上述關系式和得到的每年的最佳挖掘深度可以借助于MATLAB軟件繪出挖掘深度和征地面積的關系圖（圖二），分析圖后可知挖掘深度與征地面積之間存在著反比例關系。再利用MATLAB繪出每年的挖掘深度和該年預算的關系圖（圖三），分析圖后可知：在第1年、第11年、第21年、第31年、第41年的點比較離散，但它們又是逐年遞增的，而50年中的其余各年對應的點是連續(xù)均勻遞增的?？梢哉f明每年預算和挖掘深度呈現(xiàn)正相關，即挖掘深度愈大，每年的預算也就愈大。圖二每年挖掘深度和每年征地面積的關系圖三挖掘深度和每年預算的關系關于購地方案的分析：首先考慮到土地價格在不斷上漲，愈晚購地地價愈高；同時如果及早征地，所貸款又會產(chǎn)生大量的利息將來需要還清，所以可以分步征地，每次征地面積應取最佳值從而使得預算達到最小?，F(xiàn)在有兩種可行方案，方案一：及早征地，由于貸款年利率在未來50年內(nèi)保持為5%不變，假設在時刻征地面積x，到t時刻則需要支出；方案二：經(jīng)過一段時間t后再征地，由于地價在不斷上漲，漲幅始終保持為10%，假設同樣征地x，需要花費，，這說明提前征地要比后來征地要劃算。進一步說明提前征地的經(jīng)濟性和優(yōu)越性，不妨假設經(jīng)過一定時間t后征地x，總共征地k次（kt=50年），則征地花費：由此可知，M為在k的定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當且僅當k=1時M取到最小值，即征地花費最小。這又進一步驗證了提前征地比延遲分步征地更優(yōu)，說明：一次性購買50年所需的土地為最佳方案，總面積為564350.8496平方米，合計為846.552畝。為建立征地費用和征地面積之間的關系式，首先假設在第t年征地，此時地價為,那么關于該年的征地的費用為。關于購買機械設備方案的分析：通過對問題一的求解，可知每一年的最佳挖掘深度,通過基本假設，得到購買機械的套Ni與最佳挖掘深度hi的函數(shù)關系式：，這樣就可以確定機械的購買方案：第1個十年購買2套，第2個十年購買4套，第3個十年購買6套，第4個十年購買11套，第5個十年購買21套（見附表）。每年的預算見附表，50年總預算，利用MATLAB編程后得到F=36.3749億元?！灸Ｐ驮u價及推廣】由本題建立的非線性規(guī)劃模型對于進行短期預算較為合理，對于長期預算在理論上可以作為參考。因為對一些量進行了假設，比如在未來50年內(nèi)土地價格以相同的幅度增長、年利率保持不變、挖掘和填土機械設備價格不變以及柴油價格不發(fā)生變化等，而事實中，這些量都是在變化的，它們都是時間t的函數(shù)。在本模型假設的基礎之上，可以適當調(diào)整一些起決定因素的量為變量，然后再求解模型。本模型不僅適用于建立垃圾清理場的預算問題，還適用于工程建筑的規(guī)劃選址、工程造價預算等問題?！緟⒖嘉墨I】數(shù)學建模原理與案例/馮杰,黃力偉等編著.—北京:科學出版社,2007數(shù)學建模/陳東彥,李冬梅,王樹忠編著.—北京:科學出版社,2007附表：年份挖掘深度h(m)該年征地面積(m2)該年預算(萬元)購機數(shù)量(套)113.3929451.481257.52224.3815613.6681.70324.8815282.67732.110425.3914962.62786.470525.9114653.01845.10626.4314353.4908.370726.9514063.39976.640827.4813782.591050.320928.0213510.621129.8701028.5513247.131215.7701117.3522322.322396.4241229.6412744.251408.7401330.1912504.24151701430.7412271.45163401531.312045.61760.4501631.8611826.431897.1401732.4311613.682044.930183311407.112204.7501933.5711206.482377.6102034.1511011.582564.6102121.8817482.624731.3262235.3110638.112985.8902335.910459.153222.8702436.4910285.123479.402537.0810115.843757.1402637.689951.144057.8902738.289790.864383.6102838.889634.854736.4302939.499482.955118.6603040.19335.035532.8103126.9114087.379637.98113241.339050.566468.0503341.958913.756995.3503442.578780.47567.0203543.198650.48186.8703643.828523.628859.0803744.458399.979588.1403845.098279.341037903945.728161.6411236.9804046.368046.7612167.9104132.3811631.2920176.13214247.647825.1314274.5104348.297718.2115464.5704448.947613.7816756.4604549.597511.7518159.0704650.247412.0619682.0604750.97314.6321335.9604851.567219.3923132.2404952.227126.2825083.3705052.887035.2427202.930附錄一：functionF=main(a);forn=1:a;%積分symsxs=sym(10^8*x/(0.3*(f(n)-1)*0.9^x));j=int(s,0,f(n));%求每年預算if(mod(n,10)==1)F=1.05*(1500000*j/(120000*8*3600)+300*1.1^(n-1)*365000/(f(n)-1)+j*5.7*365/42800000);N=j/(120000*8*3600);elseF=1.05*(300*1.1^(n-1)*365000/(f(n)-1)+j*5.7*365/42800000);N=0;endC(n)=N;