一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系-初三數(shù)學主講教師：李綠江

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系A．由解方程引入:

解方程:①x2

x

1

0b2

4ac

1

4

5②x2

4x

4

0b2

4ac

16

16

0③2x2

3x

4

0b2

4ac

9

32

0此方程無實數(shù)根,可見,由b2

4ac的值,可以判斷方程根的情況.

今后遇到二次方程先由

判斷一下根的情況,這是解題的良好習慣.B．新課:一、判別式1.方程ax2bxc0(a0)根的判別式是:b24ac.〔1〕b24ac0方程有兩個不相等的實數(shù)根〔2〕b24ac0方程有兩個相等的實數(shù)根〔3〕b24ac0方程沒有實數(shù)根.2、判別式的應用〔1〕直接判斷一元二次方程根的情況;〔2〕由題目給出的一元二次方程根的情況,求出a、b、c中待定系數(shù)的值或取值范圍.例1不解方程,判斷以下方程根的情況.〔1〕2x23x10〔2〕〔3〕5x27x50〔4〕kx2(2k1)xk10(k0)例2關于x的方程(m2)x22(m1)xm10在以下條件下, 分別求m的非負整數(shù)值.〔1〕方程只有一個實數(shù)根；〔2〕方程有兩個相等的實數(shù)根；〔3〕方程有兩個不相等的實數(shù)根.解:〔1〕當m20即m2時方程為一元一次方程2x30,即m2時,方程只有一個實數(shù)根.〔2〕當方程有兩個相等的實根時,必須且只需 解出

∴m3時,方程有兩個相等的實數(shù)根.〔3〕當方程有兩個不相等實數(shù)根時,必須且只需解出又m是非負整數(shù)∴m0或m1小結(jié):使用時必須在a0的前題下.

例3.m取什么值時,關于x的方程2x2

(m

2)x

2m

2

0有兩個相等的實數(shù)根？并求出這時方程的根.解:∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴

(m

2)2

8(2m

2)

m2

12m

20

(m

2)(m

10)

0∴m1

2m2

10當m1

2時當m2

10時∴所求m

2或m

10,方程的根為1或3.例4求證:無論a為任何實數(shù),關于x的方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個不相等的實數(shù)根.證:

(2a

1)2

4(a

3)

4a2

8a

13

4(a

1)2

9即

0無論a為任何實數(shù)(a

1)2

0∴4(a

1)2

9

0∴無論a為任何實數(shù),方程x2

(2a

1)x

a

3

0總有兩個不等實根.由例4可知:要說明

0常將它配成完全平方式

正數(shù).觀察下表.方程x1x2x1

x2x1x2x2

2x00220x2

3x

4

0-41-3-4x2

5x

6

02356Ⅰ觀察兩根之和,兩根之積與a、b、c的關系;Ⅱ兩根之和

一次項系數(shù)的相反數(shù);兩根之積

常數(shù)項.Ⅲ推廣方程ax2bxc0(a0b24ac0)變形為由求根公式與上述觀察結(jié)果比照,可得到根系關系.二、根系關系1、關于x的方程ax2bxc0(a0,b24ac0)的兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c的關系是:注:應用根系關系的前題是a0且02、根系關系的應用:〔1〕方程的一根,求另一根及字母系數(shù)的值.〔2〕兩根之間的關系,確定方程中字母系數(shù)的值.例5方程的一個根是1,求k及另一根解法一:設方程的另一根為x1∴所求,解法二∵1是方程的根∴∴方程為x21∴所求另一根為引申:假設x21那么對應的方程是什么？即以,1為根的方程為0例6方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m滿足什么條件時,方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵兩根互為相反數(shù)∴兩根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1時,方程的兩根互為相反數(shù).②∵兩根互為倒數(shù)

m2

6m

5,∴兩根之積2m

1

1m

1且

0,∴m

1時,方程的兩根互為倒數(shù).③∵方程一根為0,∴兩根之積2m

1

0且

0,∴時,方程有一根為零.引申:1、假設ax2bxc0(a00)〔1〕假設兩根互為相反數(shù),那么b0;〔2〕假設兩根互為倒數(shù),那么ac;〔3〕假設一根為0,那么c0;〔4〕假設一根為1,那么abc0;〔5〕假設一根為1,那么abc0;〔6〕假設a、c異號,方程一定有兩個實數(shù)根.引申2假設a、b是方程x22x70的兩個實數(shù)根,求:①a2b2②a23b24b③a35b2b76的值.解:由根系關系ab2,ab7,a272ab272b,①a2b2=(ab)22ab41418.②