2024高考數(shù)學講義-平面向量與復(fù)數(shù)

2024高考數(shù)學講義一平面向量與復(fù)數(shù)

目錄

1.第1講平面向量的概念及線性運算..........................................2

1.1.基礎(chǔ)知識整理...........................................................2

1.2.核心考向突破...........................................................6

1.2.1.考向一平面向量的概念..............................................6

1.2.2.考向二平面向量的線性運算..........................................7

1.2.3.考向三共線向量定理的應(yīng)用.........................................12

1.3.課時作業(yè)..............................................................14

2.第2講平面向量的基本定理及坐標表示.......................................20

2.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................20

2.1.1.核心考向突破.......................................................23

2.1.2.考向一平面向量基本定理的應(yīng)用....................................23

2.1.3.考向二平面向量的坐標運算.......................................26

2.1.4.考向三平面向量共線的坐標表示...................................28

2.1.5.課時作業(yè)..........................................................30

3.第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用.............................................38

3.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................38

3.2.核心考向突破..........................................................42

3.2.1.考向一平面向量數(shù)量積的運算42

3.2.2.考向二平面向量數(shù)量積的性質(zhì).....................................44

3.2.3.考向三向量運算的最值或范圍問題.................................48

3.3.課時作業(yè)..............................................................53

4.第4講數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入.............................................60

4.1.基礎(chǔ)知識整理..........................................................60

4.2.核心考向突破..........................................................62

4.2.1.考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念...........................................63

4.2.2.考向二復(fù)數(shù)的幾何意義...........................................64

4.2.3.考向三復(fù)數(shù)的代數(shù)運算...........................................66

4.3.課時作業(yè)..............................................................69

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1.第1講平面向量的概念及線性運算

1.1.基礎(chǔ)知識整理

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有畫大小又有畫方向的

向量量；向量的大小叫做向量的長度平面向量是自由向量

（或稱模）

零向記作0,其方向是任意

長度為畫。的向量

量的

與非零向量。平行的單

單位

長度等于畫L±單位的向量

向量位向量為端

平行方向相同或廚相反的非零向o與任一向量平行或共

向量量（又叫做共線向量）線

相等長度相等且方向國相同的向兩向量只有相等或不相

向量量等，不能比較大小

相反長度相等且方向國相反的向

0的相反向量為0

向量量

2.向量的線性運算

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向量運法則（或幾何意

定義運算律

算義）

交換律：

a+b=

[W+a；

求兩個向量和

加法

的運算結(jié)合律：

(a+〃)+c=

|09|a+(〃+c)

續(xù)表

向量運法則（或幾何意

、—krZzfa.

定義運算律

算義）

求。與。的相反

減法a-b=a+(—b)

向量-6的和的運算

|z.a|=fwllzllal.

2(/⑷=(2〃)a;

當2>0時，而與a

(A+〃)a=

的方向舊1相同;當

求實數(shù)2與向量

數(shù)乘114%+

a的積的運算Av0時，癡與a的

2(a+b)=

方向園1相反;當2

115以〃+21

=0時，羽=回。

3.共線向量定理

向量a（aWO）與萬共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使8=〃.

1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后

一個向量終點的向量，即啟2+啟3+危4+…+4/A"=R".特另IJ地，一個封

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閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.

2.在△回＜?中，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G（如

圖所示），易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：

（l）G4+GB+GC=0；⑵后=/麗+??；⑶⑶=/良+南=1港+疣）.

3.dA=A（9B+//dca,〃為實數(shù)），若點A,B,。共線（。不在直線上），

則2+〃=1.

應(yīng)雙基自測

1.已知是兩個非零向量，且I。+b\=\a\+網(wǎng)，則下列說法正確的是（）

A.a+b=0B.a—b

c.。與8共線反向D.存在正實數(shù)膜使。=勸

答案D

解析因為。，）是兩個非零向量，且|a+"=|a|+向，則。與力共線同向，

故D正確.

2.設(shè)平行四邊形ABCD的對角線交于點P,則下列命題中正確的個數(shù)是

（）

?AC=AB+AD-,②協(xié)=；潘+俞）；③訪=筋-屐）；@PD=PB.

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析由向量加法的平行四邊形法則，知①危=法+屐），②辦=；（卷+

盤））是正確的；由向量減法的三角形法則，知③訪=牯-疝是正確的；因為疝，

麗的長度相等，方向相反，所以④用=而是錯誤的.故選C.

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3.如圖所示，向量蘇=%OB=b,OC=c,A,B,C三點在一條直線上,

且危=-3為，貝女)

A.c=一呼+也

-31,

B.c=呼一]力

C.c=—a+2方

D.c=a+2b

答案A

解析：AC=-?>CB,：.AC=^AB,：.OC-OA=^OB-OA）,：.OC=^OB

[r[3

-c=~2a+?故選A.

4.已知線段上A,B,。三點滿足反7=2筋，則這三點在線段上的位置關(guān)系

是（）

答案A

解析根據(jù)題意得到心和油是共線同向的，且BC=2AB,故選A.

5.(202。安徽蕪湖模擬汜知。ABC。的對角線AC,B。相交于點。，且為

=a,OB=b,貝l]OC=,BC=(用a,8表示).

答案b-a

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解析如圖，比=屈=為一倒=力一"，比=比一為=一倒一為

-b.

6.在四邊形ABC。中，對角線AC與8。交于點0,若2醇+加=2歷+

0B,則四邊形A3C。的形狀為.

答案梯形

解析-：2dA+dC=2db+OB,：.2(OA-db)=OB-OC,即2DA=CB,

：.DAIICB,且|麗=兩四邊形ABC。是梯形.

1.2.核心考向突破

1.2.1.考向一平面向量的概念

例1給出下列命題：

①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；

②若。與方共線，)與c共線，則。與c也共線；

③若A,B,C,。是不共線的四點，S.AB=DC,則四邊形ABC。為平行四

邊形；

@a=b的充要條件是同=血且alib；

⑤已知九〃為實數(shù)，若初=血則。與方共線.

其中真命題的序號是________.

答案③

解析①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向

量相等，不一定有相同的起點和終點.②錯誤，若8=0,貝1Ja與c不一定共線.③

正確，因為筋=病，所以|曲|=|比|且筋//比；又A,B,C,。是不共線的四

點，所以四邊形ABC。為平行四邊形.④錯誤，當a//)且方向相反時，即使㈤

=網(wǎng)，也不能得到。=仇所以⑷=制且。//萬不是。=分的充要條件，而是必要

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不充分條件.⑤錯誤，當％=〃=0時，。與8可以為任意向量，滿足瓦但

a與b不一定共線.

平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它

與函數(shù)圖象的移動混淆.

（4）非零向量。與合的關(guān)系：合是與。同方向的單位向量.

1.設(shè)如為單位向量，有下列命題:①若。為平面內(nèi)的某個向量，

貝a=|a|a（）；②若a與a（）平行，貝【Ja=|a|a（）；③若a與a（）平行1且|a|=1,貝【Ja=a（）.

其中假命題的個數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，。與⑷。。的模相同，但方向不一定相

同，故①是假命題；若。與如平行，則。與ao的方向有兩種情況：一是同向，

二是反向，反向時。=-1。血，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是

3.故選D.

多角度探究突破

1.2.2.考向二平面向量的線性運算

角度1平面向量線性運算的幾何意義

例2（1）已知點O,A,B不在同一條直線上，點尸為該平面上一點，且2罰

=20A+BA.,貝女）

A.點P在線段A8上

B.點P在線段A8的反向延長線上

C.點P在線段AB的延長線上

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D.點戶不在直線AB上

答案B

解析因為2罰=2次1+麗，所以2國＞=或，所以點尸在線段AB的反向

延長線上.

（2）（2017?全國卷II）設(shè)非零向量％b^^\a+b\=\a-b\,則（）

A.aA_bB.\a\=\b\

C.allbD.

答案A

解析解法一：（利用向量加法的平行四邊形法則）在DABCO中，設(shè)防=%

AD=b,由|。+"=|。一"知四|=|彷從而DABCO為矩形，gpABLAD,故al

b.故選A.

解法二：\a+b\=\a-b\,|a+6|2=\a-6|2.a1+b2+lab=（r+b2-lab.

：.ab=0....a_L5.故選A.

角度2平面向量線性運算

例3⑴（2021.安徽蕪湖質(zhì)量檢測）如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

—33—?33—31—3

?PQ=^a+^b；（2）PT=-彳a-1b；③由=\a-R；@PR=^a+b.

A.①②B.③④

C.①③D.②④

答案C

解析由a+萬=|苑，知的=|a+|。，①正確；由”一8=|丙，知丙=|a

33131

-16,②錯誤；PS=PT+b,故河=呼一］仇③正確；PR=PT+2b=^a+^b,

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④錯誤.故正確的為①③，故選C.

(2)(2020.淄博二模)在平行四邊形ABC。中，DE=3EC,若AE交8。于點

M,則由/=()

B.+yAD

D.輛+淡

答案B

解析?.?西=3反「.E為線段。。上靠近點C的四等分點.顯然AABM

sAEDM,艮喘=第4??.加=輛=朧＞+函=瓶＞+淘=澗+T

AD故選B.

角度3利用線性運算求參數(shù)

例4(1)(2020.石家莊質(zhì)檢)在△ABC中，0為AABC的重心，若前＞=屈

+).IAC,貝"-2〃=()

1

A.-2B,-1

-44

C.wD.-

答案D

解析設(shè)AC的中點為。，因為。為△ABC的重心，所以的=|沆)=|(或

+AD)=-|A6+|X^AC=-|A6+|AC,所以A=〃=g,所以2-2"=-

4

3,故選D.

(2)如圖所示，矩形A5CO的對角線相交于點。，￡為4。的中點，若建=

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14B+MD(2,〃為實數(shù))，則乃+〃2=()

A.fB.

o

C.1D-

答案A

11111

應(yīng)-

解析--

DE=2+22-+42-+1(DA+AB)=-^AD,所

35

-2-

48

觸類旁通向量線性運算的解題策略

(1)向量加減的常用法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向

量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法

則.

⑵找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一

個平行四邊形或三角形中求解.

(3)利用向量的線性運算求參數(shù)的步驟：先通過向量的線性運算用兩個不共

線的向量表示有關(guān)向量，然后對比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解.

即時訓練2.已知四邊形A3CO是平行四邊形，0為平面上任意一點，設(shè)

0A=a,OB=b,OC=c,OD=d,貝lj()

A.〃+8+c+d=0B.a—力+c—d=0

C.。+力一c—d=0D.a~~b—c+d=O

答案B

解析如圖所示，a-b=BA,

c-d=DC,

.??四邊形ABCD是平行四邊形，且就與及;反向，即成+次;

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=0,也就是a-b+c-d=0.

3.（2020.湖南師范大學附中模擬）如圖所示，在正方形A3CQ中，E為A5的

中點，尸為CE的中點，則能=（）

1-3f

B.^AB+~^AD

C^AB+AD

D.^AB+^AD

答案D

解析根據(jù)題意得力=；乘+翁），又因為病=卷+在，所以

辦=/鑫+病+3時=汕+；檢故選D.

4.（2020?洛陽尖子生第二次聯(lián)考）在△A8C中，點。在線段3c上，且防=

2反，點O在線段C。上（與點C,。不重合）.^AO=xAB+（l-x）AC,貝1J九的

取值范圍是_______.

答案（。,|）

解析解法一：AO=xAB+（l-x）AC=x{AB-AC）+AC,即而―公=x（部

-AC）,^mCO=xCB,所以四=x.因為防=2成,所以反?=3反,貝lj0<x<—

I函比I

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I，所以X的取值范圍是（01}

解法二：設(shè)底限2痣1）,則劭=油+電油+4=（1“麻+

14C=XAB+(1-X)AC,貝九=l_26(0,

1.2.3.考向三共線向量定理的應(yīng)用

例5⑴設(shè)均與62是兩個不共線向量，油=3ei+2e2,CB=ke\+ez,CD=

3幻-2版2,若A,B,。三點共線，則々的值為（）

94

A.-4B.-g

C.D.不存在

答案A

解析由題意，A,B,。三點共線，故必存在一個實數(shù)九使得卷=2防.

又因為AB=3ei+2e2,CB=ke\+d,CD=3ei-2ke2,所以8。=CD-CB=3ei-

2氏2-(故+C2)=(3-Z)ei-(2Z+I)%所以3ei+2e2=〃3-Z)ei-42女+l)e2,所

,3=2(3-2),

以＜

2=-422+1),

9

-故選A

4-

（2）（2020.濱州二模）已知。，A,B,C為平面a內(nèi)的四點，其中A,B,C三

I2

點共線，點O在直線A5外，且滿足為=;麗+：沆.其中x>0,y>0,則x+8y

xy

的最小值為（）

A.21B.25

C.27D.34

答案B

[2

解析根據(jù)題意，A,B,。三點共線，點。在直線AB外，OA=-xOB+y-OC.

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設(shè)放=2比QWO,2W1),則麗=為+威=浦+2求=為+〃反-加)=2反

消去見得:+：=1,?.?x+8y=(x+8y)g+：)=1+

+(1-X)OB,

§+,+1627+2'層*=25(當且僅當x=5,y=|時等式成立).故選B.

y人\y乙

觸類旁通⑴三點共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決，但應(yīng)注意向

量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共

線.根據(jù)A,B,。三點共線求參數(shù)問題，只需將問題轉(zhuǎn)化為危=2油，再利用

對應(yīng)系數(shù)相等列出方程組，進而解出系數(shù).

(2)三點共線的一個常用結(jié)論：A,B,。三點共線臺存在實數(shù)乙〃對平面內(nèi)

任意一點。(。不在直線BC上)滿足宓=%為+〃及設(shè)+〃=1).

即時訓練5.已知向量a,方不共線，且c=〃+＞,d=a+(2X-i)b,若c

與d共線反向，則實數(shù)％的值為()

A.1B.-g

1

C.2D.—2

答案B

解析由于c與d共線反向，則存在實數(shù)左使c="(攵＜0),于是癡+b=Ha

+(22-l)b],整理得〃+8=履+(2爪-幻尻由于a,8不共線，所以有

入=k,1

，整理得2萬一%一1=0,解得2=1或2=—5.又因為人＜0,所以丸＜0,

2AK-K=1,z

故".故選B.

6.(2020.江蘇高考)在△ABC中，AB=4,AC=3,ABAC=90°,。在邊BC

上，延長A。到P,使得AP=9,若成=〃?而+(|-〃?)后(加為常數(shù))，則CQ的

長度是.

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,]8

答案?；?

解析VA,D,P三點共線，.??可設(shè)戌=4力。＞0）.?.?成=〃?而+（|-加）

PC,：.XPD=mPB+（|-rn^PC,即用=號而+丸'危.若〃諱0且加力|,則

m住-加）3

B,D,C三點共線，..1+―j—=1,即2=1：AP=9,：.PD=6,：.AD=3.

I9AC3

■：AB=4,AC=3,ZBAC=90°,：.BC=\lAB2+AC2=5,：.cos^ACB=-^=^.

AC2+CD1-AD2xAC3

設(shè)CD=x,根據(jù)余弦定理可得cos/AC。=---2AC-CD-----=6=fiC=5,貝=

1Q1Q§

不的長度為了當初=0時，成=5無，c,。重合，此時co的長度為

0,當加=|時，PA=^PB,B,。重合，此時必=12,不符合題意，舍去.故CQ

1Q

的長度為0或虧.

1.3.課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.如圖，。是平行四邊形A8CO的兩條對角線的交點，則下列等式正確的

是（）

\.DA-DC=AC

^.DA+DC=DO

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C.OA-ois+AD=DB

D.AO+OB+BC=AC

答案D

解析對于A,DA-DC=CA,錯誤；對于B,DA+DC=2D0,錯誤；對

于C,OA-OB+AD=BA+Ab=BD,錯誤；對于D,AO+OB+BC=AB+BC

=AC,正確.故選D.

2.已知向量i與/不共線，且拔=，+〃?/,AD=ni+j,若A,B,。三點共

線，則實數(shù)〃?，〃應(yīng)該滿足的條件是（）

A.m+n=IB.m+n=-1

C.mn=1D.mn=-1

答案C

解析由A,B,。共線可設(shè)筋=%屐），于是有i+4=2（〃i+y）=2〃i+方.又

Aw=1,

i,/不共線，因此?即有〃z〃=l.

/.=m,

3.已知。是△ABC所在平面內(nèi)一點，。為邊的中點，且2宓+為+

oc=o,那么（）

X.AO=0DB.A0=2OD

C.Ab=DOD.AO=IDO

答案A

解析由。是BC邊的中點，可得/+說=2歷，故2/+2歷=0,所

以劭=沆）.故選A.

4.（2020.西北師大附中模擬）設(shè)a,8都是非零向量，下列四個條件中，使力?

=看成立的充分條件是（）

A.a=-bB.a\_b

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C.a=2bD.a_L力且|a|二|〃|

答案C

解析由于a,方都是非零向量，若全自成立，則a與方需要滿足共線同

向.

5.（2020.山東威海月考）設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且麗=2或，則

△孫3與△PBC的面積之比是（）

A.1B.g

c2-3

C-3D,4

答案B

解析..?麗=2成，:.P為邊AC靠近A點的三等分點，二△%8與△PBC

的面積比為1：2.

6.設(shè)。，E,尸分別為△ABC的三邊BC,CA,A3的中點，則或+龜=

（）

一1一

AADB.^AD

C.BCD.

答案A

解析設(shè)施=a,AC=b,^EB=-^b+a,FC=-^a+b,從而前十的=

（一％+a[+（一/+。=g（a+b）=Ab.故選A.

7.如圖所示，已知AB是圓。的直徑，點C,。是半圓弧的兩個三等分點，

AB=a,AC=b,jUljAD=()

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A.ci—~^bB.—b

C.a+/D,ga+b

答案D

1

解析連接8,由點C,。是半圓弧的三等分點，得CDIIAB,且詼-2-

AB=ya,=AC+CD=b+^a.

8.設(shè)M為平行四邊形ABC。對角線的交點，。為平行四邊形ABC。所在

平面內(nèi)任意一點，則為+為+浣+歷等于（）

A.OMB.20M

C.3OMD.\OM

答案D

解析OA+OB+OC+db=（OA+OC）+（OB+db）=2OM+2OM=4OM.

故選D.

9.（2020.山東濟寧月考）如圖,在△ABC中，點。在BC邊上，且CD=2。8,

點E在AO邊上，B.AD=3AE,則用向量霜，病表示走為（）

答案B

解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得無=翁-/=（

AZ)-AC=KAB+|BC)-AC=|[AB+|(AC-AB)]-AC=|AB-|AC.

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10.（2020.河北衡水調(diào)研）一直線/與平行四邊形ABC。中的兩邊AB,AD分

別交于點E,F,且交其對角線AC于點M,若筋=2油，AD=3AF,AM=AAB

一,5

〃€R）,則吸一2=（）

A.-gB.1

3

C.2D.-3

答案A

解析AM=/.AB-^AC=kAB-n（,AB+Ab）=^-n）AB-nAb=2^-^AE-

3//AF,因為E,M,F三點共線，所以2（"〃）+（-3〃）=1,即2"5"=1,所以

—A=—].故選A.

二、多項選擇題

11.設(shè)a,方是不共線的兩個平面向量，已知用=。+sina?瓦其中a€（0,2兀），

QR=2a-b.^P,Q,H三點共線，則角a的值可以為（）

,兀e5兀

A.TOB17O-

一7?！?1兀

~7~~7~

C.OD.O

答案CD

解析因為。，方是不共線的兩個平面向量，所以2a-〃#0.即摩W0,因為

P,Q,R三點共線，所以加與建共線，所以存在實數(shù)L彳吏苑=%建，所以a

1=2A,[

+sin以力=2/a-2仇所以J.解得sina=■.又a€（0,2兀），故?？蔀?/p>

sina=-Z,乙

7兀-11兀

不或飛"?

12.（2021.福建福清高三模擬）設(shè)點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說

法正確的是（）

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A.若能?筋+；則點〃是邊的中點

B.若而=2福-沅，則點M在邊BC的延長線上

C.^AM=-BM-CM,則點M是△ABC的重心

D.^AM=xAB+yAC,且x+y=g,則△MBC的面積是△ABC的面積的g

答案ACD

解析A中，=+^AC^^AM-^AB=^AC-^AM,^BM=MC,則

點M是邊8C的中點；B中，AM=2AB-AC^AM-AB=AB-AC,所以麗f=

CB,則點M在邊CB的延長線上，所以B錯誤；C中，設(shè)8C中點為。，則而

=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性質(zhì)可知C正確；D中，AM=xAB+

yAC,且光+y=92而=2xAB+2yAC,2x+2y=l.^AD=2AM,所以屐）=2xAB

+2yAC,2x+2y=\,可知8,C,。三點共線，所以aMBC的面積是△ABC面

積的;?故選ACD.

三、填空題

13.若辦=g油，Afi=(/l+l)BP,貝lj%=.

答案-1

解析如圖，由加［麗，可知點P是線段A3上靠近點A的三等分點，則

AB=-|B>,結(jié)合題意可得丸+1=-|,所以a=-|.

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14.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量癡+8與c共

線，則實數(shù)％=.

答案2

解析由題中所給圖象可得，2a+b=c,又c=〃Qi+6）,所以2=2.

15.若點。是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|濡-OC\=\OB+OC-2OA

I,則△ABC的形狀為.

答案直角三角形

解析因為為+浣-2宓=為一/+反_為=油+慶，OB-OC=CB

=AB-AC,所以防+病|=|曲一危1,即海?危=0,故卷1加，所以△ABC為

直角三角形.

16.在直角梯形ABC。中，NA=90。，ZB=30°,AB=2?BC=2,點E

在線段CD上（點E不與點C,。重合），若施=屈）+〃屈，則〃的取值范圍是

答案0<〃耳

解析由題意可求得4。=1,。=小，.,?筋=2比?點E在線段CD上

（點E不與點C,。重合），

.,.DE=ADC（O<2<1）.-：AE=Ab+DE,^AE=AD+fiAB=AD+2^DC=AD

2/Z-?2/Zon1

+十DE,1,即〃=0<2<l,「?0<〃vg.

2.第2講平面向量的基本定理及坐標表示

2.1.基礎(chǔ)知識整理

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I。知識梳理

1.平面向量的基本定理

如果g，e2是同一平面內(nèi)的兩個回1不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一

向量有且只有一對實數(shù)加，勿使。=畫&自吐&經(jīng).

2.平面向量的坐標表示

在直角坐標系內(nèi)，分別取與兩x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i,j作

為基底，對任一向量。，有唯---對實數(shù)x,y,使得4=3+切，畫(x,y)叫做

向量a的直角坐標，記作a=(x,y),顯然i=國心①，/=國包D,0=畫

(0,0).

3.平面向量的坐標運算

⑴設(shè)Q=(XI,yi),b=(X2,”)，

貝|Ja+力二|。8|但+X2,yi+丫2),

a-b=[^](加一22,yi-y2),

Xa=|10|(Zxi,加).

(2)設(shè)A(xi,yi),8(X2,yi),

則曲=HT](X2-xi,丫2-.yi),

\AB\=1^1-xi)2+(V2-yiE

4.平面向量共線的坐標表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(xi,yi),其中DWO,貝UaIIb0a=€R)臺同為w二

X2V1=0.

知識拓展

1.平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.

2.當且僅當了2L70時，a//8與三=￡等價，即兩個不平行于坐標軸的共線

向量的對應(yīng)坐標成比例.

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3.若a與。不共線，且癡+〃b=0,貝|J2=〃=O.

4.已知P為線段AB的中點，若A3,y),B(X2,yi),則P點坐標為

(即+X2yi+>2)

I212\

5.已知△ABC的頂點AS,yi),B(X2,")，C(x3,y3),則aABC的重心G

的坐標為產(chǎn)產(chǎn),空嚴.

6.A(xi,yi),8(X2,yi),C(xs,")三點共線的充要條件為⑴-汨)。3-yi)-

(X3-修)("-J1)=O,或(X2-汨)(丁3->2)=(招-X2)(y2->1),或。3—為)。3—>2)=(%3

-X2)(”-yi).

|@雙基自測

1.已知向量a=(2,4),6=(-1,1),則2@+b等于()

A.(5,7)B.(5,9)

C.(3,7)D.(3,9)

答案D

解析2a+6=2(2,4)+(-l,l)=(3,9),故選D.

2.設(shè)向量a=(x,l),b=(4,x),若a,8方向相反，則實數(shù)x的值是()

A.0B.±2

C.2D.-2

答案D

解析由題意可得。//瓦所以￡=4,解得x=-2或2,又因為a,8方向

相反，所以x=-2.故選D.

3.下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.e,=(0,0),e2=(l,-2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,7)

C.e\=(3,5),ei=(6,10)

D.ei=(2,-3),e2=&一,

答案B

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解析兩個不共線的非零向量構(gòu)成一個基底，A中向量均為零向量，C,D

中兩向量共線，B中eiWO,e2#0,且均與e?不共線.故選B.

4.設(shè)向量。=(-1,2),向量8是與a方向相同的單位向量，貝6=()

近

」

A(-5

11,2)

-

5B,

D.傳

c-

--,

答案B

解析因為向量分是與a方向相同的單位向量，所以8=*=e言不

(一1,2)=坐(一1,2)=(一坐,明故選B.

5.已知%8co的頂點A(-l,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點。的坐標

為?

答案(L5)

~―[4=5-%,

解析設(shè)。(x,y),則由AB=OC,得(4』)=(5—x,6—y),即，/解

U=6-

x=1,

得

y=5.

ITJ

6.已知向量a-(2,3)，萬=(-1,2),若ma+nb與a-2b共線,則刀=.

1

案

答2-

解析由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-+2n),a-2b=

2m-n3m+2nm1

(4,-1).由〃?a+汕與a-2方共線，得一—=———,所以三=-,

2.1.1.核心考向突破

2.1.2.考向一平面向量基本定理的應(yīng)用

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例1⑴如圖，點A,B,C,P均在正方形網(wǎng)格的格點上.若國＞=2屈+〃而

(尤〃CR),貝以+2〃=()

3

A.1B.

4

C.QD.2

答案B

解析設(shè)在正方形網(wǎng)格上方向為水平向右，長度為一格的向量為i,方向為

豎直向上，長度為一格的向量為了,..?磊=-萬+譏AC=4i,AP=i+j,-：AP

=XAB+//AC(A,//€R),即i+/=/l(-2i+4)+〃X4i,i+j=(4/Z-2A)i+2/7，/.

4，一2%=I,r=2'

Ui,解得i.■/+2〃=1?.故選B.

僅=5，

(2)如圖，以向量宓=a,彷=8為鄰邊作平行四邊形OA。5BM=\BC,

C7V=|cb,用a,8表示說/,

ON,MN.

解-：BA=OA-OB=a--b,BM=^BA=^a-^b,

：.0M=OB+BM=6H

[r[r]r2—22

OD=a+b,ON=0(7+~^CD=-jOD+-^OD=~^0D=鏟+葩，

r22,1511

.\MN=ON-OM=^a+^b-6a-6b=2a-6b

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綜上，OM=,ON=,MN=^b-

觸類旁通應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的