2019年上海市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年上海市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共6題.每題4分，滿分24【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）（2019?上海）下列運(yùn)算正確的是（）

A.3x+2x=5x2B.3x-2x=xC.3x?2x=6xD.3x4-2x=-

3

【考點(diǎn)】41：整式的混合運(yùn)算.

【專題】11：計(jì)算題；512：整式.

【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：（A）原式=5x,故A錯(cuò)誤；

（C）原式=6x2,故c錯(cuò)誤；

（。）原式=上，故。錯(cuò)誤；

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

2.（4分）（2019?上海）如果根>小那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.m+2>n+2B.m-2>n-2C.2m>2nD.-2m>-2n

【考點(diǎn)】C2：不等式的性質(zhì).

【專題】11：計(jì)算題；66：運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：'：m>n,

-2m<-2〃,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

3.（4分）（2019?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量尤的值增大而增大的是（）

A.y——B.y—-—C.y——D.y—-—

33xx

【考點(diǎn)】F6：正比例函數(shù)的性質(zhì)；G4：反比例函數(shù)的性質(zhì).

【專題】33：函數(shù)思想；534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】一次函數(shù)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)值y總是隨自變量尤增大而增大，反比例函數(shù)當(dāng)4<0

時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨自變量x增大而增大.

【解答】解：A、該函數(shù)圖象是直線，位于第一、三象限，y隨x的增大而增大，故本選

項(xiàng)正確.

8、該函數(shù)圖象是直線，位于第二、四象限，y隨尤的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨尤的增大而減小，故

本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。、該函數(shù)圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故

本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的增減性；熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)

的性質(zhì)是關(guān)鍵.

4.（4分）（2019?上海）甲、乙兩名同學(xué)本學(xué)期五次引體向上的測試成績（個(gè)數(shù)）成績?nèi)鐖D

所示，下列判斷正確的是（）

A.甲的成績比乙穩(wěn)定

B.甲的最好成績比乙高

C.甲的成績的平均數(shù)比乙大

D.甲的成績的中位數(shù)比乙大

【考點(diǎn)】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】分別計(jì)算出兩人成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差可得出答案.

【解答】解：甲同學(xué)的成績依次為：7、8、8、8、9,

則其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為Lx[（7-8）2+3X（8-8）2+（9-8）2]=0.4；

5

乙同學(xué)的成績依次為：6、7、8、9、10,

則其中位數(shù)為8,平均數(shù)為8,方差為工義[（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+

5

（10-8）2]=2,

甲的成績比乙穩(wěn)定，甲、乙的平均成績和中位數(shù)均相等，甲的最好成績比乙低，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量.方差越大，則平均值的

離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.也

考查了中位數(shù).

5.（4分）（2019?上海）下列命題中，假命題是（）

A.矩形的對角線相等

B.矩形對角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.矩形的對角線互相平分

D.矩形對角線交點(diǎn)到四條邊的距離相等

【考點(diǎn)】O1：命題與定理.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】利用矩形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：4矩形的對角線相等，正確，是真命題；

8、矩形的對角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正確，是真命題；

C、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；

。、矩形的對角線的交點(diǎn)到一組對邊的距離相等，故錯(cuò)誤，是假命題，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解矩形的性質(zhì)，難度不大.

6.（4分）（2019?上海）已知OA與08外切，OC與OA、08都內(nèi)切，且A8=5,AC=6,

8c=7,那么OC的半徑長是（）

A.11B.10C.9D.8

【考點(diǎn)】MJ：圓與圓的位置關(guān)系.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】如圖，設(shè)OA,QB,OC的半徑為無，y,z.構(gòu)建方程組即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)04OB,OC的半徑為x,y,z.

x+y=5

由題意：，z-x=6>

Lz-y=7

'x=3

解得，y=2，

.z=9

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，

屬于中考?？碱}型.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答紙的相應(yīng)位

置上】

7.（4分）（2019?上海）計(jì)算：（2/）2=而.

【考點(diǎn)】47：幕的乘方與積的乘方.

【分析】根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘，計(jì)算即

可.

【解答】解：（2a2）2=2V=4?4.

【點(diǎn)評】主要考查積的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（4分）（2019?上海）已知/（x）=/-1,那么/（-I）=0.

【考點(diǎn)】E5：函數(shù)值.

【專題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想.

【分析】根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案.

【解答】解：當(dāng)x=-10t,/（-1）=（-1）2-1=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)值，把自變量的值代入函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

9.（4分）（2019?上海）如果一個(gè)正方形的面積是3,那么它的邊長是

【考點(diǎn)】22：算術(shù)平方根.

【專題】511：實(shí)數(shù).

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答.

【解答】解：???正方形的面積是3,

，它的邊長是

故答案為：Vs

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，主要利用了正方形的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義.

10.（4分）（2019?上海）如果關(guān)于X的方程/-x+〃z=o沒有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是.

q一

【考點(diǎn)】AA：根的判別式.

【分析】由于方程沒有實(shí)數(shù)根，則其判別式△<（）,由此可以建立關(guān)于機(jī)的不等式，解不

等式即可求出機(jī)的取值范圍.

【解答】解：由題意知△=1-4mV0,

4

故填空答案：

4

【點(diǎn)評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△>00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）△=℃方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

（3）△<0o方程沒有實(shí)數(shù)根.

11.（4分）（2019?上海）一枚材質(zhì)均勻的骰子，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別是1,2,3,4,5,6,

投這個(gè)骰子，擲的點(diǎn)數(shù)大于4的概率是1.

-3_-

【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】先求出點(diǎn)數(shù)大于4的數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：..?在這6種情況中，擲的點(diǎn)數(shù)大于4的有2種結(jié)果，

擲的點(diǎn)數(shù)大于4的概率為2=工，

63

故答案為：1.

3

【點(diǎn)評】本題考查的是概率公式，熟記隨機(jī)事件A的概率PG4）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)

果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的商是解答此題的關(guān)鍵.

12.（4分）（2019?上海）《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五一容三斛，大器

一小器五容二斛大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1

大桶加5小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛回

—_6-

斛米.（注：斛是古代一種容量單位）

【考點(diǎn)】9A：二元一次方程組的應(yīng)用.

【專題】521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】直接利用5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛米3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛米

2斛，分別得出等式組成方程組求出答案.

【解答】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛米尤斛，1個(gè)小桶可以盛米y斛，

則儼+工,

[x+5y=2

故5x+x+y+5y=5,

則x+y=—.

6

答：1大桶加1小桶共盛3斛米.

6

故答案為：—.

6

【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

13.（4分）（2019?上海）在登山過程中，海拔每升高1千米，氣溫下降6℃,已知某登山大

本營所在的位置的氣溫是2℃,登山隊(duì)員從大本營出發(fā)登山，當(dāng)海拔升高x千米時(shí)，所在

位置的氣溫是y℃,那么y關(guān)于尤的函數(shù)解析式是v=-6x+2.

【考點(diǎn)】E3：函數(shù)關(guān)系式.

【專題】532：函數(shù)及其圖像.

【分析】根據(jù)登山隊(duì)大本營所在地的氣溫為2℃,海拔每升高1加1氣溫下降6℃,可求出

y與x的關(guān)系式.

【解答】解：由題意得y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-6x+2.

故答案為：y=-6x+2.

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)式，關(guān)鍵知道氣溫隨著高度變化，某處的氣

溫=地面的氣溫-降低的氣溫.

14.（4分）（2019?上海）小明為了解所在小區(qū)居民各類生活垃圾的投放情況，他隨機(jī)調(diào)查

了該小區(qū)50戶家庭某一天各類生活垃圾的投放量，統(tǒng)計(jì)得出這50戶家庭各類生活垃圾

的投放總量是100千克，并畫出各類生活垃圾投放量分布情況的扇形圖（如圖所示），根

據(jù)以上信息，估計(jì)該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約90千克.

【考點(diǎn)】V5：用樣本估計(jì)總體；VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖.

【專題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】求出樣本中100千克垃圾中可回收垃圾的質(zhì)量，再乘以迎可得答案.

50

【解答】解：估計(jì)該小區(qū)300戶居民這一天投放的可回收垃圾共約迎X100X15%=90

50

（千克），

故答案為：90.

【點(diǎn)評】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖是用整個(gè)圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個(gè)扇形的

大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).也考查了用樣本估計(jì)總體.

15.（4分）（2019?上海）如圖，已知直線含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)C在人上，

30°角的頂點(diǎn)A在/2上，如果邊與人的交點(diǎn)。是的中點(diǎn)，那么/1=120度.

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì)；KP：直角三角形斜邊上的中線.

【專題】552：三角形.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DA=DC,則4DCA=NZMC=30°,

再利用三角形外角性質(zhì)得到N2=60°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求/I的度數(shù).

【解答】解：?..。是斜邊AB的中點(diǎn)，

：.DA=DC,

：.ZDCA=ZDAC=30°,

Z2=ZDCA+ZDAC^6Q0,

.?.Zl+Z2=180°,

AZI=180°-60°=120°.

故答案為120.

【點(diǎn)評】本題考查了直接三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）.也考查了平行線的性質(zhì).

16.（4分）（2019?上海）如圖，在正邊形ABCDEB中，設(shè)就=三，前=總那么向量而用

【考點(diǎn)】LM：*平面向量.

【專題】5：特定專題.

【分析】連接C?利用三角形法則：BF=BC+CF,求出了即可.

【解答】解：連接CF.

多邊形ABCDEF是正六邊形,

AB//CF,CF=2BA,

—?—?

??CF=2a>

??,BF=BC+CF，

BF=2a+b，

故答案為2a+b.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法

貝U,屬于中考?？碱}型.

17.（4分）（2019?上海）如圖，在正方形48CZ）中，E是邊AO的中點(diǎn).將△ABE沿直線

8E翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，聯(lián)結(jié)。F,那么NEDP的正切值是2.

【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）；T7：解直角三角形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】由折疊可得AE=FE,/AEB=/FEB,由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即

可得到進(jìn)而得到tan/￡DP=tan/AEB=3^=2.

AE

【解答】解：如圖所示，由折疊可得/AEB=/FEB=L/AEF,

2

:正方形ABC。中，E是AD的中點(diǎn)，

：.AE=DE=^AD=^-AB,

22

:.DE=FE,

：.ZEDF=ZEFD,

又ZAEF是ADEF的外角，

，NAEF=ZEDF+ZEFD,

NEDF=L/AEF,

2

/AEB=ZEDF,

tanZEDF—tanZAEB=-^-—2.

AE

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖

形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

18.(4分)(2019?上海)在△ABC和△4B1C1中，己知NC=NG=90°,AC=4Ci=3,

8c=4,BiCi=2,點(diǎn)。、。分別在邊AB、AiBi±,且△AC。g△CiAiDi,那么的

長是9.

【考點(diǎn)】KA：全等三角形的性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等.

【分析】根據(jù)勾股定理求得48=5,設(shè)AO=x,則8。=5-尤，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

出CiDi=AD^x,ZAiCiDi^ZA,ZAiDiCi^ZCDA,即可求得NCi￡)iBi=NB￡)C,

根據(jù)等角的余角相等求得N8iCiDi=/B,即可證得△CIBIOS^BC。，根據(jù)其性質(zhì)得出

至工=2,解得求出A。的長.

x

【解答】解：如圖，?.?在△ABC和△A1B1C1中,NC=NCi=90°,AC=AiCi=3,BC

=4,51cl=2,

:?AB=N32+42=5,

設(shè)AO=x,貝!J81)=5-尤，

?/△AC。之△CiAiD,

C1D1=AD=x,ZA1C1D1=NA,ZA1D1C1=ZCDA,

：.ZC\D\B\=ABDC,

VZB=90°-ZA,N51clz)1=90°-ZA1C1D1,

：.ZBiCiDi=ZB,

：./\CiB\D^ABCD,

；^―=B］，即反三=2

C?D?C?B?x

解得尤="，

3

：.AD的長為3,

3

故答案為9.

3

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，

證得△CIBIQS^BC。是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

2_

19.（10分）（2019?上海）計(jì)算：I盛-11-料義#6+—1l-83

2^3

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；2F：分?jǐn)?shù)指數(shù)累.

【專題】511：實(shí)數(shù).

【分析】首先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少

即可.

2

【解答】解：lV3-II-/2XV6+1-83

2^3

=-/3-1-273+2+73-4

=-3

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行

實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最

后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，

有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

20.（10分）（2019?上海）解方程：上-8一=1

2

x-2X-2X

【考點(diǎn)】B3：解分式方程.

【專題】11：計(jì)算題；522：分式方程及應(yīng)用.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x*2-8—x2-2x,即/+2x-8=0,

分解因式得：（尤-2）（x+4）=0,

解得：x=2或工=-4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程的解為了=-4.

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

21.（10分）（2019?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知一次函數(shù)的圖象平行于

直線且經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）,與x軸交于點(diǎn)B.

2

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)C在y軸上，當(dāng)AC=2C時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

>1?

1

O1x

【考點(diǎn)】FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；FF：兩條直線相交或平行問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為>=依+6,解方程即可得到結(jié)論；

（2）求得一次函數(shù)的圖形與無軸的解得為8（-4,0）,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得

到結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y^kx+b,

?.?一次函數(shù)的圖象平行于直線y=^x,

'.k=—,

2

?一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）,

；.3=!X2+4

:?b=2,

???一次函數(shù)的解析式為>=氏+2；

（2）由y=L+2,令y=0,得」+2=0,

22

*.x=-4,

一次函數(shù)的圖形與無軸的解得為B（-4,0）,

:點(diǎn)C在y軸上，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4,y）,

\"AC=BC,

（2-0）2+（3▼）2=3（-4-0）2+（0寸）2,

2

經(jīng)檢驗(yàn)：y=是原方程的根，

2

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,-L）.

2

【點(diǎn)評】本題考查了兩直線相交與平行問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的理解

題意是解題的關(guān)鍵.

22.（10分）（2019?上海）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形4BCD表示該車的后

備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°

時(shí)，箱蓋ADE落在A。'E'的位置（如圖2所示）.已知&。=90厘米，?！?30厘米，

EC=40厘米.

（1）求點(diǎn)。'到BC的距離；

（2）求E、E'兩點(diǎn)的距離.

圖1圖2

【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)；T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】(1)過點(diǎn)。'作H±BC,垂足為點(diǎn)交AD于點(diǎn)尸,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

出4。'=AD=90厘米，/DAD'=60°,利用矩形的性質(zhì)可得出NA陽'=/BHD'

=90°,在RtAW'尸中，通過解直角三角形可求出。'F的長，結(jié)合F〃=OC=OE+CE

及。'H=D'尸+”可求出點(diǎn)。'到BC的距離；

(2)連接AE,AE',EE',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE'=AE,ZEAE'=60°,進(jìn)

而可得出△AEE'是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE'=AE,在

中，利用勾股定理可求出AE的長度，結(jié)合EE，=AE可得出E、E'兩點(diǎn)的距離.

【解答】解：(1)過點(diǎn)。'作H±BC,垂足為點(diǎn)H,交于點(diǎn)凡如圖3所示.

由題意，得：AD'=40=90厘米，ADAD'=60°.

:四邊形A8C。是矩形，

C.AD//BC,

：.ZAFD'=ZBHD'=90°.

在RtZXAZT尸中，D'F^AD'?sin/DAD'=90Xsin60°=45舊厘米.

又：CE=40厘米，?！?30厘米，

：.FH=DC=DE+CE=7Q厘米，

：.D'H=D'F+FH=(4573+70)厘米.

答：點(diǎn)。'到3C的距離為(45百+70)厘米.

(2)連接AE,AE',EE',如圖4所示.

由題意，得：AE'=AE,ZEAE'=60°,

.,.△A￡￡/是等邊三角形，

：.EE'=AE.

?.?四邊形A8C。是矩形，

AZA￡)E=90°.

在中，40=90厘米，?！?30厘米，

???A￡=VAD2+DE2=3。板厘米,

：.EE'=3(h/T^厘米.

答：E、E'兩點(diǎn)的距離是3OVI5厘米.

D]*

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及

勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出D'F的長度；（2）利用勾股定

理求出AE的長度.

23.（12分）（2019?上海）已知：如圖，AB,AC是O。的兩條弦，且AB=AC,。是4。延

長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8。并延長交。。于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)C。并延長交。。于點(diǎn)F.

（1）求證：BD=CD-,

（2）如果432=49.4。，求證：四邊形是菱形.

【考點(diǎn)】L9：菱形的判定；M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理；S9：相似

三角形的判定與性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】（1）連接8C,根據(jù)A8=AC,OB=OA=OC,即可得出垂直平分BC,根據(jù)

線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出求出再根

據(jù)菱形的判定推出即可.

【解答】證明：(1)如圖1，連接BC,OB,OC,

圖1

AC是。。的兩條弦，且4B=AC,

AA在BC的垂直平分線上，

'：OB=OA=OC,

：.。在BC的垂直平分線上,

垂直平分8C,

:.BD=CD；

(2)如圖2,連接0B,

'：AB1=AO-AD,

?AB=AD

"AOAB"

?：/BAO=NDAB,

：.AABOsAADB,

：.ZOBA=ZADB,

?：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB,

：.ZOAB=ZBDA,

：.AB=BD,

\"AB=AC,BD=CD,

J.AB^AC^BD^CD,

，四邊形ABOC是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，線段垂直

平分線的性質(zhì)，菱形的判定，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題

的關(guān)鍵.

24.（12分）（2019?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線-2刈其頂

點(diǎn)為A.

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；

（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”.

①試求拋物線y=/-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②平移拋物線y=/-2x,使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對稱軸

與x軸交于點(diǎn)C,且四邊形OA8C是梯形，求新拋物線的表達(dá)式.

1

O-1^~

【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；23：新定義；33：函數(shù)思想；64：幾何直觀.

【分析】（1）：a=l>0,故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,-1）;

（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為。，力貝1=尸-23即可求解；②新拋物線頂點(diǎn)2

為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)m）,則新拋物線的對稱軸為：x^m,與x軸的交點(diǎn)C（〃z,

0）,四邊形。48c是梯形，則直線x=機(jī)在y軸左側(cè)，而點(diǎn)A（1,7）,點(diǎn)8（優(yōu)，m）,

則比=-1,即可求解.

【解答】解：⑴Va=l>0,

故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,-1）;

（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（t,t）,貝卜=P-2r,

解得：f=0或3,

故“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（0,0）或（3,3）；

②???新拋物線頂點(diǎn)8為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)8（m,機(jī)），

...新拋物線的對稱軸為：x=m,與無軸的交點(diǎn)COw,0）,

:四邊形。ABC是梯形，

，直線x=m在y軸左側(cè)，

與OA不平行，

：.OC//AB,

又'.,點(diǎn)A（1,-1）,點(diǎn)2（m,m）,

?*-1,

故新拋物線是由拋物線y=--2x向左平移2個(gè)單位得到的，

；?新拋物線的表達(dá)式為：y=（x+l）2-1.

【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到二次函數(shù)基本知識(shí)、梯形基本性質(zhì)，此類

新定義題目，通常按照題設(shè)順序，逐次求解即可.

25.（14分）（2019?上海）如圖1,AD,8。分別是△A8C的內(nèi)角/8AC、/ABC的平分線,

過點(diǎn)A作AE±AD,交BD的延長線于點(diǎn)

[.圖1圖2

（1）求證：/￡==L/C；

2

(2)如圖2,如果AE=A8,且8。：DE=2：3,求cos/ABC的值;

(3)如果NA8C是銳角，且△ABC與△AOE相似，求NA8C的度數(shù)，并直接寫出魯因

SAABC

的值.

【考點(diǎn)】so：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)由題意：Z￡=90°-/ADE,證明NAOE=90°-L/C即可解決問題.

2

(2)延長AO交BC于點(diǎn)尺證明AE〃BC,可得/&尸8=/胡。=90°,典=毀，由

AFDE

BD：DE=2：3,可得cosNABC=9=巫=2.

ABAE3

(3)因?yàn)椤鰽BC與△?!￡)￡相似，/DAE=90；所以/ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90°因

為/ABC是銳角，推出/ABC#90°.接下來分兩種情形分別求解即可.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

,：AE1AD,

：.ZDAE=90°,NE=90°-ZADE,

,：AD平分4BAC,

AZBAD=^-ZBAC,同理乙48。=1乙4BC,

22

?/ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

：.ZADE^CZABC+ZBAC)=90°-J-ZC,

22

.?.NE=90°-(90°-L/C)=L/C.

22

(2)解：延長A。交BC于點(diǎn)?

圖2

'：AB=AE,

：./ABE=NE,

BEABC,

：./ABE=/EBC,

：.ZE=ZCBE,

C.AE//BC,

：.ZAFB^ZEAD^90°,空=世

AFDE

\'BD：DE=2：3,

cos/ABC=W=題=2

ABAE3

(3)?.?△48(7與44。￡1相似，ZZ)AE=90°,

/ABC中必有一個(gè)內(nèi)角為90°

?/ZABC是銳角，

ZABC^90°.

①當(dāng)N8AC=/D4E=90。時(shí)，

VZ￡=1.ZC,

2

/./ABC=/E=L/C,

2

VZABC+ZC=90°,

AZABC-30°,此時(shí)^51=2-V3.

SAABC

②當(dāng)/C=NZME=90°時(shí)，NE1/C=45°,

：.ZEDA=45°,

△ABC與△ADE相似,

/.ZABC-45°,此時(shí),SAADE=2-V2.

SAABC

s

綜上所述，ZABC=30°或45°,△仙E=2一Q或2-Q.

SAABC

【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓

軸題.

考點(diǎn)卡片

1.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)尤的平方等于a,即/=a,那么這個(gè)正數(shù)

x叫做a的算術(shù)平方根.記為a.

(2)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)。是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根a本

身是非負(fù)數(shù).

(3)求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來尋找.

2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

(2)在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、塞的運(yùn)算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

3.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

分?jǐn)?shù)指數(shù)塞.

4.塞的乘方與積的乘方

(1)哥的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

(/)n=amn(m,w是正整數(shù))

注意：①塞的乘方的底數(shù)指的是塞的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)哥的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（”是正整數(shù)）

注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果.

5.整式的混合運(yùn)算

（1）有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)

的混合運(yùn)算順序相似.

（2）“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時(shí)采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關(guān)問題，此時(shí)應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來.

6.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）、列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

7.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=房-4改）判斷方程的根的情況.

一元二次方程a/+6x+c=0（aWO）的根與△=-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△＜（）時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

8,解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論.

（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗(yàn)：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn).

9.不等式的性質(zhì)

（1）不等式的基本性質(zhì)

①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不

變，即:

若那么4土

②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：

若a>b,J!Lm>0,那么或且>旦；

mm

③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：

若a>b,且m<0,那么am<bm§￡—<—；

mm

（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號(hào)方向不

變，但移項(xiàng)要變號(hào)；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向才

改變.

【規(guī)律方法】

1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一

定要改變不等號(hào)的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對字母

是否大于0進(jìn)行分類討論.

2.不等式的傳遞性：若a>b,b>c,則a>c.

10.函數(shù)關(guān)系式

用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式.

注意：

①函數(shù)解析式是等式.

②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自

變量的函數(shù).

③函數(shù)的解析式在書寫時(shí)有順序性，例如，y=x+9時(shí)表示y是龍的函數(shù)，若寫成x=-y+9

就表示X是y的函數(shù).

11.函數(shù)值

函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個(gè)值時(shí)，函數(shù)與之對應(yīng)唯一確定的值.

注意：①當(dāng)己知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函

數(shù)值時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程；

②當(dāng)自變量確定時(shí)，函數(shù)值是唯一確定的.但當(dāng)函數(shù)值唯一確定時(shí)，對應(yīng)的自變量可以是

多個(gè).

12.正比例函數(shù)的性質(zhì)

正比例函數(shù)的性質(zhì).

13.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時(shí)，先設(shè)y=fcv+6；

（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對尤，y的值就可以，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)待定系數(shù)；而求一次函

數(shù)>=依+匕，則需要兩組x,y的值.

14.兩條直線相交或平行問題

直線>=履+6,晨W0,且比b為常數(shù)），當(dāng)左相同，且6不相等，圖象平行；當(dāng)上不同，且

b相等，圖象相交；當(dāng)上。都相同時(shí)，兩條線段重合.

（1）兩條直線的交點(diǎn)問題

兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組

的解.

（2）兩條直線的平行問題

若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即左值相同.

例如：若直線yi=hx+bi與直線y2=A”+b2平行，那么匕=%2.

15.反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)的性質(zhì)

（1）反比例函數(shù)y=k（k￥0）的圖象是雙曲線；

(2)當(dāng)4>0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小;

(3)當(dāng)左<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.

注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn).

16.二次函數(shù)綜合題

(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項(xiàng).

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí),

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題

從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實(shí)際問題有意義.

17.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).?簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

18.全等三角形的性質(zhì)

(1)性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等

說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等

②全等三角形的周長相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個(gè)三

角形而言，而對邊、對角是對同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指

邊的對角.

19.直角三角形斜邊上的中線

（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜

邊的中點(diǎn)）

（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條

邊為斜邊的直角三角形.

該定理可一用來判定直角三角形.

20.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：四邊形A3CD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形"）.

幾何語言：：四邊形ABC。是平行四邊形.,.平行四邊形ABCD是菱形

21.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所

在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

22.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對稱圖形，

有四條對稱軸.

23.*平面向量

平面向量.

24.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等,

三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心

旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

25.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

26.圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓與圓的五種位置關(guān)系：①外離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含.

如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，叫兩圓相離.當(dāng)每個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫兩個(gè)圓外離,

當(dāng)一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一圓的內(nèi)部時(shí)，叫兩個(gè)圓內(nèi)含，兩圓同心是內(nèi)含的一個(gè)特例；如果兩

個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，叫兩個(gè)圓相切，相切分為內(nèi)切、外切兩種；如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫

兩個(gè)圓相交.

(2)圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關(guān)系：

①兩圓外離od>R+r；

②兩圓外切=d=R+r；

③兩圓相交QR-r<d<R+r(R2，)；

④兩圓內(nèi)切od=R-r(R>r)；

⑤兩圓內(nèi)含od<R-r(R>r).

27.命題與定理

1、判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知

事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式.

2、有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.

3、定理是真命題，但真命題不一定是定理.

4、命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后

面解的部分是結(jié)論.

5、命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言.任何一個(gè)命題非真即假.要說明一個(gè)命題的正

確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)