人教A版高中數(shù)學(xué)第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難) (四)(有解析)

第五章第4節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》解答題(較難)(4)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.已知函數(shù)/(X)=siMx+asinx+3-Q,x6[0,n].

(1)求/(%)的最小值g(a)；

(2)若f(%)在[0,捫上有零點(diǎn)，求。的取值范圍.

2.已知函數(shù)/(%)=4sin(3%+中)(4>0,口>0,|?|V兀)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)％=合時(shí)，/(無(wú))取得

最大值3；當(dāng)x兀時(shí)，/(%)取得最小值-3.⑴求函數(shù)/⑸的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若工€[-旌]時(shí)，函數(shù)九(x)=2/"(X)+1-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

3.在大力推進(jìn)城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中，小張家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面.小張準(zhǔn)備

將店面改建成超市，遇到如下問(wèn)題：如圖①所示，一條直角走廊寬為2米，小張欲將一根鐵棒

4B(鐵棒粗細(xì)忽略不計(jì)，不變形)水平穿過(guò)該直角走廊.請(qǐng)結(jié)合所學(xué)知識(shí)幫小張解決如下問(wèn)題:

(1)若鐵棒卡在直角走廊內(nèi)，且=O<0<p試將鐵棒的長(zhǎng)AB表示為0的函數(shù)f(。)；

(2)設(shè)0<8<會(huì)利用直角三角形的三邊關(guān)系(如圖②,在Rt△ACB中，“=90°,設(shè)“4B=9,

CA—x,CB=y)>求證：1<sin。+cos。W方；

(3)若鐵棒AB想要順利通過(guò)該直角走廊，其長(zhǎng)度不能超過(guò)多少米?

4.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cosx—a,aeR.(1)當(dāng)a=0時(shí),

(i)求f(X)在,,兀］上的值域;

(五)證明：/(%)在嶗,兀］上只有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)討論/(功在［0,兀］上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

5.函數(shù)/(制=后也(3+￡)(3>0)的部分圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B,C為圖象與x

軸的交點(diǎn)，4aBe為等邊三角形.將函數(shù)“X)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兀倍后，再向右平

移半個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(%)的解析式；

(2)若不等式3siMx-\y/3g(n-2%)-3m|<m+2對(duì)任意％6R恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

6.已知函數(shù)/(%)=Inx-/ex4-1在區(qū)間(0,+8)上的最大值為0.

(1)求攵的值；

(町求函數(shù)丫=/(%)與y=1-2sin%的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

7.如圖所示，角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)4Q1，yj,將射線0A按逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)號(hào)后與單位圓交于點(diǎn)8(如、2)，/(a)=x1-x2.

(1)若角a為銳角，求/(a)的取值范圍;

(2)比較/(2)與f(3)的大小.

8.設(shè)函數(shù)/(%)=cos(2x+g)+siMx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若0<。<:<0<兀，&一多=1,f(字)=0,求cosa的值.

9.已知函數(shù)/(普=25訪(3%+9-》(0<9<m3>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=/(為圖象的兩相鄰

對(duì)稱軸間的距離為今

(1)求/(弱的值：

(2)求函數(shù)y=/(%+￡)的對(duì)稱軸方程；

O

(3)當(dāng)x6[0,行]時(shí)，方程f(x)=zn有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍。

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(3x+w)(x6R,A>0,3>0,取<])部分圖象如圖所示.

(1)求/(X)的最小正周期及解析式；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移，個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間

7T上的最大值和最小值.

11.已知函數(shù)/(%)=2V3sintox?coswx+2cos2a)x+b,(3>0)的最小正周期為兀,最大值為2.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=+/0),0<8<那任意的實(shí)數(shù)X,有g(shù)(X*)=g《一X),求g(x)的

單調(diào)遞減區(qū)間.

12.已知向量五=(sin%cos%),b=(V3cosx,cosx)，/(%)=a-b-1.

(1)求函數(shù)f(%)的對(duì)稱中心；

(2)若xe[-盟，求函數(shù)f。)的值域.

13.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+g)+sin2x.

(I)求函數(shù)/(x)的最大值；

(n)44BC的三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,且C為銳角，/(f)=c=V3>a+b=3,

求44BC的面積.

14.若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x),存在常數(shù)磯aeR),使得/(工)()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x

成立，則稱f(x)是回旋函數(shù)，且階數(shù)為〃.

(1)試判斷函數(shù)〃工)=sium,是否是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)已知/(1)sincr是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)3的值：

(3)若回旋函數(shù)/(1)在［0,1］恰有100個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)3的值.

15.己知函數(shù)f(%)=2V3cos2%+2sinxcosx.

(1)求方程f(%)=2百的解集；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=加在仁朗上恒有解，求加的取值范圍;

(3)若不等式f(x)<m在［0可上恒成立，求m的取值范圍.

16.如圖，已知OPQ是半徑為1,圓心角為5的扇形，點(diǎn)A在弧PQ上(異于點(diǎn)P,Q),過(guò)點(diǎn)A做

OP.AC10Q,垂足分別為8,C,記乙408=0,四邊形4cOB的周長(zhǎng)為/.

(1)求/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)。為何值時(shí)，/有最大值，并求出/的最大值.

17.如圖為函數(shù)/'(x)=4sin(3X+<p')(^A>0,a)>0,\<p\<§的一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

(1)求函數(shù)f。)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在xe的值域.

18.設(shè)函數(shù)/'(X)=C0S(3Y+9),(3>0,-1<0<0)的最小正周期為7T,且/傳)=1.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在［-巳冷］上的值域.

19.已知五=(sinx,cosx),B=(V5sinx,—sinx)，函數(shù)/'(%)=五?5

(1)求/(x)的遞增區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的方程/(%)=t在區(qū)間［0,月內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

20.對(duì)于函數(shù)y=f(x),若函數(shù)/。)=/(%+1)-/。)是增函數(shù)，則稱函數(shù)丫=/(乃為“M函數(shù)”。

(1)判斷/(x)=%2+2,是否為函數(shù)”；

(2)判斷命題“減函數(shù)一定不是“例函數(shù)””是否為命題，并說(shuō)明理由。

(3)若函數(shù)/。)=々/+/(%20)是“M函數(shù)”，求實(shí)數(shù)4的取值范圍，并討論此時(shí)函數(shù)g(x)=

f(sinx)-sinx在區(qū)間［0,兀］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

21.已知函數(shù)/(x)=sin(a)x+<p)(3>0,0<0<n)的圖像相鄰對(duì)稱軸之間的距離是看若將/'(x)的

圖像向右移，個(gè)單位，所得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

(1)求/Q)的解析式；

(2)若函數(shù)h(%)=/(x)-|的零點(diǎn)為殉，求cos《一2xo)；

(3)若對(duì)任意x€［。,外，f2(x)-f(x)-a=0有解，求。的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(%)=(sinx+cosx)2+2cos2x—1.

(1)求函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)/(%)的值域.

23.已知函數(shù)/(x)=4sin2(x+》—2^cos2x-l,條件p：<x<7.

444

(1)求/(%)在條件P下的最大值和最小值;

(2)若條件q:|/(無(wú))-V2,且〃是q的充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

l-tanx

24.已知函數(shù)f(x)=ln

1+tanx

(1)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性，并證明;

(2)若不等式“(x)+atanx20恒成立，試求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.(其中e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù))

25.已知函數(shù)/(x)=2sin(a)x+w的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離

為今

(1)將函數(shù)的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的*縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域.

(2)對(duì)于第(1)問(wèn)中的函數(shù)g(x),記方程g(x)=拄￡Gg,等]上的根從小到依次為

%1，%2,…，％n，試確定〃的值，并求%1+2冷+2%3+…+2%n-l+%n的值?

26.已知函數(shù)/(%)=Asin(a)%+@)(其中A>0,>0,\(p\<》的圖象與x軸的交于A,B兩點(diǎn)，A,

8兩點(diǎn)的最小距離為今且該函數(shù)的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為仁,2).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求證：存在大于E的正實(shí)數(shù)使得不等式需>2值在區(qū)間(而,泥)有解.

27.已知函數(shù)/(x)=/in(2x+w)_1(|勿<》且.0=/

(1)求@的值；

(2)若函數(shù)y=/(%)-m在xe[O,1上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

⑶設(shè)g(x)=2sin2x+44sinx,若對(duì)任意的與6[o,皆，總存在小e[o,,，使得f?)>5(^2)成

立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

2

28.函數(shù)f(x)=/+1％_+i,g(%)—4sin%+4>/3sinxcosx+5

(1)討論/(%)單調(diào)區(qū)間；

(2)對(duì)三與€[0，],Vx2G[0,^],有，Qi)Wg(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍

29.已知函數(shù)y=/(%)=2sinMc,其中常數(shù)3>0.

(1)當(dāng)y=/⑶在［一不爭(zhēng)上是嚴(yán)格增函數(shù)，求3的取值范圍;

(2)當(dāng)3=2,將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移?個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(%)

的圖像，區(qū)間［a,b］(a、bWR,且a<b)滿足：y=g(x)在［a,b］上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有

滿足上述條件的［a,0中，求b-a的最小值.

30.己知函數(shù)〃/)=小iu(5+⑼(4>().”?>0,|5<多的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；

(2)將函數(shù)“v/3sin2T-?的圖象做怎樣的平移變換可以得到函數(shù)f(x)的圖象;

(3)若方程“X)=加囪-(0］上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：解：(1),??函數(shù)/(x)=sin?%+asinx+3-Q

=(sinx+-)2-亍+3-Q,

???XE[0,捫，

???sinxe[0,1],

當(dāng)一|<0,即Q>0時(shí)，則si幾冗=0時(shí)，f(%)取得最小值g(a)=3-a；

當(dāng)。<1,即—2<a<0時(shí),則sinx=-]時(shí)'f(%)取得最小值g(a)=—亍+3—a；

當(dāng)一即Q<-2時(shí)，則sinx=1時(shí)，/(%)取得最小值g(Q)=4,

3—a,a>0

—亍+3—a,-2<a<0.

{4,CLV—2

(2),:xe[0,TT],

???sinxe[0,1],

由f(%)=°，可得siM%+3=(1—sinx)-a,

令t=sinxE[0,1],則a(l—t)=t24-3,

當(dāng)t=l時(shí)，等式顯然不成立，故CHI,

則a=匕士

1-t

令m=1—3則THe(0,1],

lilil(l-m)2+3.4

則a=-------=m4-----2Q,

mm

由函數(shù)的單調(diào)性易得在(0,1]上，a隨m的增大而減小，

：■a>3.

解析：本題考查三角函數(shù)的值域，考查了二次函數(shù)最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，

屬于中檔題.

(1)利用三角函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得/(%)的最小值g(a)；

(2)先通過(guò)換元將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a=7n+事-2,mG(0,1],利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得“的取值范

圍.

2.答案：解：(1)由題意可得4=3,周期「=2借一套)=算

???3=2,

由2x工+尹=2憶兀+],kWZ,以及IRIVTT,可得"=%

故函數(shù)f(x)=3s譏(2%+》；

(2)由2/OT+；W2.x+^<2kn+k€Z,求得/ot+^<x<kn+工，k€Z,

故函數(shù)的減區(qū)間為際+卷,而+凈，kez；

(3)?,?%6]—?即寸，函數(shù)九⑺=2/(%)+1-小有兩個(gè)零點(diǎn)，

故sin(2x+9=修有2個(gè)實(shí)數(shù)根，

J6

即函數(shù)y=sin(2x+g)的圖象和直線y=喂有2個(gè)交點(diǎn)，

3O

再由2x+ge結(jié)合函數(shù)丫=sin(2x+$的圖象可得詈e[f,1)，

解得me[3V3+1,7).

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3百4-1,7).

解析：本題考查函數(shù)y=Zsin(3x+0)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題.

⑴由題意可得A=3,根據(jù)周期T=2借—自=》求得3=2,由2x盤+3=2而+5kEZ,

以及-兀<9<TT,可得0的值，從而求得函數(shù)的解析式；

⑵由2"+牌2芯+牌2/￡兀+拳kEZ,求得x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間；

(3)函數(shù)y=sin(2x+勺的圖象和直線y=噌有2個(gè)交點(diǎn)，再由2x+標(biāo)[一巳爭(zhēng)，曠=sin(2x+勺的

?Jo3335

圖象可得詈G[當(dāng),1),由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

3.答案：(1)解：DM=黑=供,DN=2,尸"=黑=心，

、,sin0sm0cosdtan0tan8

FN=BEtand=tan。.

4c--,CM.2.214八2(sin0+cos^)-l

AB=EF=DM+DN—MF-EN=H---------------tan。=------——-——，

s\n6cosdtan。sinJcos。

/(6)=3吁厘-1(0<7)

八)sinScosB'2,

(2)證明：在單位圓中作出銳角。的正弦線、余弦線，使得sin8=MP,cos。=0M,

在AOMP中，OM+MP>OP=1,即sin6+cos8>1,

且0<sin6=MP<1,0<cos0=OM<1.

由1=sin20+cos20>2sin0cos。得2sin9cos641,

當(dāng)且僅當(dāng)sin。=cos。=立取得等號(hào).

2

(sin0+cos0)2=sin20+cos20+2sin9cos641+2sin0cos8=2,

且sin。+cos?>0,故有sin。+cos0<\[2.

綜上有當(dāng)0<6V]時(shí)，1vsin。4-cos0<V2.

(3)解：“鐵棒要想順利通過(guò)直角走廊”即對(duì)任意角0V6V標(biāo)鐵棒的長(zhǎng)度不能超過(guò)/(。)的最小值;

記sin。+cos0=t,1<t<V2,有sinJcos。=

則=冬吟,==渭(1<t<或).

'、'sinScos。t2-l、'

記4t—2=m,2V?n=4t—2￡4或一2,則t=~，

函數(shù)/(。)=y=m3：112=湛工在⑵-笈2］上單調(diào)遞減;

m

當(dāng)m=4或一2時(shí)，y取得最小值4/一2.

故其長(zhǎng)度不能超過(guò)4聲-2.

解析：本題考查三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于較難題，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.

(1)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可分別表示。M,DN,MF,EN,然后即可表示出A8的長(zhǎng)；

(2)利用三角函數(shù)線和基本不等式，即可證明1<sin。+cosd<V2;

(3)令sinO+cos。=t，可將f(9)轉(zhuǎn)換為若|,然后再令4t-2=m,f(。)=丫=懸/=；^豈;

11m

根據(jù)單調(diào)性即可求出y的最小值，即鐵棒的最大長(zhǎng)度.

4.答案：(1)解：當(dāng).,兀］時(shí),令t=cosx,則￡6［-1,0］,令g(t)=-12+t+1-a,

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(t)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=-l時(shí)，g(t)取得最小值一l-a；當(dāng)t=0時(shí)，g(t)取得最大值l-a.

(團(tuán))若a=0,f(x)的值域?yàn)椋?1,1］.

(回)證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=g(t)在［-1,0］上連續(xù)，且g(—l)<0,g(0)>0,

所以函數(shù)y=g(t)在(一1,0)上有零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(t)在［—1,0］上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=g(t)在(一1,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)t°，且％G(-1,0).

因?yàn)楹瘮?shù)t=cosx在上單調(diào)遞減，且%G(-1,0),

所以存在唯一%0C［；，斗使得to=COS&,

函數(shù)/(x)在嶗,兀］上只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)解：當(dāng)x6［0,兀］時(shí)，令t=cosx,則t6［-1,1］,令g(t)=-嚴(yán)+t+1-a,

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(t)在卜詞上單調(diào)遞增，在原1］上單調(diào)遞減，

又g(—l)=-1-a，g(l)=1-a

所以當(dāng)t=-l時(shí)，g(t)取得最小值一l—a；當(dāng)t=：時(shí)，9?)取得最大值：一心

由(1)得，/'(X)的值域?yàn)椴穕—-

①當(dāng)Q>3或Q<-1時(shí)，函數(shù)y=g(￡)在［-1,1］上無(wú)零點(diǎn),

所以函數(shù)/'(x)在［0,兀］上無(wú)零點(diǎn).

②當(dāng)a=：時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=：時(shí)g(￡)=0,函數(shù)/'(x)在［0,乃］上有一個(gè)零點(diǎn).

同理，當(dāng)。=一1時(shí)，函數(shù)f(x)在［0,兀］上有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)一1<a<1時(shí)，同(團(tuán))可證函數(shù)/。)在［0,兀］上有一個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)1<a<：時(shí)，同(團(tuán))可證函數(shù)/(x)在［0,兀］上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)a>：或。<一1時(shí)，所以函數(shù)f(x)在［0,用上無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)一1<a<1或a=：時(shí),函數(shù)/(x)在［0,兀］上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)l<a<：時(shí)，函數(shù)在［0,兀］上有兩個(gè)零點(diǎn).

解析：本題考查二次函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及三角函數(shù)的值域，屬于難題；

⑴當(dāng)玲兀］時(shí)，令t=cosx,則令g(t)=-t2+t+1—a,

(回)若a=Of(x)的值域?yàn)椋?1,1］.

(團(tuán))因?yàn)楹瘮?shù)y=g(t)在上連續(xù),且g(-l)<0,g(0)>0,函數(shù)y=g⑷在(一1,0)上有零點(diǎn),且

在上單調(diào)遞增，即數(shù)/⑸在再，兀］上只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)當(dāng)％￡［0,兀］時(shí)，令￡=以)5%,則令g(t)=-/+1+1一可得/"(%)的值域?yàn)?/p>

分當(dāng)a>：或aV-1時(shí)，、當(dāng)Q=：時(shí)，。=一1時(shí)，當(dāng)一1VQV1時(shí)，1WQ<：時(shí)，幾種情況討論即可

求解;

5.答案：解(1)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為遮，ZL4BC為等邊三角形，所以三角形邊長(zhǎng)為2,

所以丁=詈=4，解得3=］，所以/(X)=V5sin6工+§,

將函數(shù)/(%)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的幾倍后，得到九(x)=V3sin(i%+^),

再向右平移半個(gè)單位，得到g(%)=V3sin|x：

(2)g(7r—2%)=V3sin一%)=V3cosx,

原不等式等價(jià)于3cos2%+3|cosx-m|4-m-1>0在％eR恒成立.

令cos%=3tE[—1,1],

即3t24-3|t—m|4-m—1>0在tG[—1,1]上恒成立.

1=巴-3t+4m-1,"叫

設(shè)h(t)=3t24-3|t—m|4-m—

(3t2+3t—2m—l,t>m

對(duì)于tG時(shí),

當(dāng)0<mV：時(shí)，g(。在［一1,巾］上單調(diào)遞減，在［m,1］上單調(diào)遞增,

則/i(?n)=3m2+m—1>0--——<m<1?

6

當(dāng)加對(duì)時(shí)，g(t)在[-10上單調(diào)遞減,在/1]上單調(diào)遞增,

則”(：)=3(；)2—3X：+4m—1>0,解得771N—J***

222162

綜上，正實(shí)數(shù)，”的取值范圍為［①空,+8).

6

解析：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的平移和伸縮變換以及二次函數(shù)中的動(dòng)軸定區(qū)間

求最值問(wèn)題，涉及分類討論、換元法等思想，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)結(jié)合圖象求出函數(shù)的周期T,利用3=與求得3,從而確定函數(shù)/(X)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)

的伸縮和平移變換即可得到函數(shù)g(x)的解析式；

(2)原不等式等價(jià)于3cos2%+3|cosx—ml+m—l>0在％GR恒成立.令cosx=t,t￡［—14］,

即3t2+3|t—m|+m—1>0在t6[—1,1]上恒成立,設(shè)/i(t)=3t2+3|t—m|+m—1,這是一個(gè)開

口向上的二次函數(shù)，然后分類討論求函數(shù)h(t)的最小值，可得〃?的范圍即可.

6.答案：解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx-kx+l,其定義域?yàn)?0,+8),

對(duì)其求導(dǎo)，得到/'(X)=：—k=手由題意對(duì)實(shí)數(shù)4進(jìn)行分類討論：

①當(dāng)k40時(shí)，/''(>)>0在x6(0,+8)上恒成立，即得函數(shù)/(x)在其定義域上單調(diào)遞增，故/"(x)無(wú)

最大值；

②當(dāng)k>0時(shí)，令/'(x)>0得到xe(0,￡),令/'(x)<0得到xe6,+8),于是可知/(無(wú))在區(qū)間(0,J

上單調(diào)遞增，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞減，即得函數(shù)f(x)在x=〃處取得極大值也是最大值，為

/Wmax=/Q)=lni=0,即得k=L

(2)由(1)知f(%)=Inx-x+1,設(shè)/(%)=/(%)+2sinx-l=lnx-x+2sinx,則其定義域?yàn)?/p>

(0,+oo),

對(duì)其求導(dǎo)，得g(x)=F'(x)=：—1+2cosx,

①當(dāng)工€(0,7T)時(shí)，由g'(%)=〃(x)=-專一2sinx<0可知函數(shù)g(%)在區(qū)間(0,TT)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?'：—1+1=:>(),g(；)=二一1=?一工VU，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0.7T)上有唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為a,則($[),

于是當(dāng)工￡(O.c)時(shí)，g'(x)=F'(x)>0,當(dāng)工€(0,次)時(shí)，g'(x)-F'(x)<0,即得函數(shù)F(x)在區(qū)間

(II.n)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(n,7T)上單調(diào)遞減，

所以F(x)在區(qū)間(0.7T)上存在唯一極大值點(diǎn)<n<I),所以

F(a)>F6)=嗚->2>2-^>(),

又因?yàn)?<-；<；j<n,F(專)=-2—妥+2sinj<-2—+2<0,

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,a)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

注意到F(7T)In7T—7T<2-7T<0,

所以F(x)在區(qū)間(a.7T)上也恰有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)工€[7.27)時(shí)，有sinx<0,F(x)<Inx-%,

由(1)知函數(shù)九(%)=Inx-%在h,2TT)上單調(diào)遞減，

所以MMwh(n)<(),

即得F(j)Wh(T)W/z(7T)V0在4€[TT.2:r)上恒成立，

所以FQ)在區(qū)間汀.2TT)上沒(méi)有零點(diǎn).

③當(dāng)上€[2TT,-Foe)時(shí)，F(xiàn)(%)<Inx—%+2,

設(shè)(p(x)=In%—%4-2,對(duì)其求導(dǎo)，有d(x)=：-1=—,

因?yàn)?0)V0在區(qū)間2r,+x)上恒成立，所以函數(shù)？(%)在2T+X)上單調(diào)遞減，所以

,(N)W,(2?r)=ln(27r)—27r4-2<hic2—2?r4-2=4-2?r<0,

所以當(dāng)了€”:?\)時(shí)，F(xiàn)\■?Ji二2二1<()恒成立，

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間'2不+x)上沒(méi)有零點(diǎn).

綜上，函數(shù)FQ)在其定義域(0,+8)范圍內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

故函數(shù)y=/(%)與y=1-2sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩個(gè).

解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、正弦、余弦函數(shù)的圖

象與性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于難題.

(1)由題意，對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)，討論實(shí)數(shù)攵的取值范圍，進(jìn)而得到其由左表示的最大值，結(jié)合題意可

求出攵值；

(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)+2sinx-l=lnx-x+2sinx,將原題轉(zhuǎn)化為F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用

導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，并結(jié)合正弦函數(shù)圖形在F(x)定義域(0,+8)內(nèi)對(duì)X進(jìn)行分類討論,

注意利用特殊函數(shù)值的正負(fù)性，可得到函數(shù)/G)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得函數(shù)y=f(x)與y=l-2sinx的

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

7.答案：解：(1)因?yàn)橐?。8=等,

由三角函數(shù)的定義可得=cosa,x2=cos(a+

27r271271

/(a)=x-x=cosa—cos(a+—)=cosa-cosacos—+sinasin—

t233

=|cosa+Ys譏a=V3sin(a+》

??,角a為銳角,

???I<sin(a+§<1,

,■<y<V3sin(a+^)<V3>

即/(①的范圍是弓，何，

(2)---/(2)=V3sin(2+g),/(3)=V3sin(3+；),

-<2+-<3+-<-,

2332

函數(shù)y=sinx在G，：)上是減函數(shù)，

解析：此題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題.

(1)由三角函數(shù)的定義可得與=cosa,x2=cos(a+算化簡(jiǎn)/(a)為V5sin(a+$,根據(jù)?<a<

萼，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得/(a)的范圍；

O

(2)根據(jù)/(2)=V3sin(2+^),/(3)=gsin(3+金，函數(shù)y=s譏x在(]：)上是減函數(shù)，從而得出結(jié)

論.

8.答案：解：(1)因?yàn)?(%)=cos(2x+》+sin2x,

所以/(x)=cos2xcos--sin2xsin-+|一“""=-——sin2x.

7v733222

當(dāng)—~+2/CTTW2x<—+2/c7r(/cGZ),即x€[——+kjr,—+fczr](/cGZ)時(shí)，

函數(shù)y=sin2x單調(diào)遞增，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[一?+卜兀W+4捫(卜6Z).

(2)因?yàn)槿夹?=1,/(—)=0,

所以：—乎8S0=1，且:—^sin(a+6)=0,

解得cos/?=—/,sin(a+/?)=/,

因?yàn)?＜。＜；"兀，則a+SW(f)，

所以sin￡=J1-cos2s=Jl—j=圣

cos(a+￡)=_sin2(a+￡)=-J1-1=-y,

所以cosa=cos[(a+/?)—/?]

=cos(a+0)cosB+sin(a+j?)sin/?

V6V3V3V6

-TX(-T)+TXT

2V2

解析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，以及利用三角函數(shù)

的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

（1）利用兩角和差的公式化簡(jiǎn)，結(jié)合單調(diào)遞增的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

（2）由條件求出cos/?=-『，sin（a+夕）=?，根據(jù)角的范圍得出sin0和cos（a+口），結(jié)合cosa=

cos［（a+/?）-/?］代入求解即可.

9.答案：解：（1）/（乃=25出3%+0-?因?yàn)?（乃是偶函數(shù)，則0-*=］+km：k6Z）,

所以<p=Y+kn（kEZ）,

又因?yàn)?<3<兀，所以W=g，

所以/(無(wú))=2sin(a)x+1)=2cosa)x.

由題意得生=2x3所以3=2.

0)2

故f(%)=2cos2x.

因此=2cos：=V2.

(2)y=/(x+3)=2cos(2x+g),

OD

所以2x+J=k7T,kez,B|Jx=—--,fcez,

326

所以函數(shù)y=/(%+勺的對(duì)稱軸方程為x="一,kez

626

⑶函數(shù)y=f(x)在［0苧上單調(diào)遞減，在礙，與上單調(diào)遞增，

/(0)=2,/弓)=一2,/(g)=-V3,f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根,

就是函數(shù)y=/(尤)與y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以—2<m4—收,

故m的取值范圍為—2<m<—y/3.

解析：(1)由題意先明確函數(shù)/(x)的表達(dá)式，進(jìn)而得到/吟)的值；

(2)令2x+g=eZ,從而得到函數(shù)y=f(x+弓)的對(duì)稱軸方程；

(3)方程f(x)=m有兩個(gè)不同的實(shí)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

10.答案：解：(1)由題圖可得4=1,；=§—工=%7=兀所以3=2.

當(dāng)％=§時(shí)，/(%)=-L可得sin(2.4+乎)=一1.

因?yàn)镮WI<M所以8=3

所以/(%)的解析式為/(%)=sin(2x+^).

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+/).將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到

y=sin[2(xY)+g=sin(2x_》的圖象，所以g(x)=sin⑵一勻，因?yàn)?Wx轉(zhuǎn).

所以一三2%-三整.

o66

當(dāng)2x-'=a即％=押，g(x)有最大值，最大值為1.

當(dāng)2》*=一也即x=0時(shí)，g(x)有最小值，最小值為三.

解析：本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)由題圖可得A值，再由周期性可得3,代入x=與可得9值，可得函數(shù)解析式；

(2)由⑴和三角函數(shù)圖像變換可得g(x)=sin(2x-勻，由0<xW;和三角函數(shù)的最值可得答案.

11.答案：解：(1)V/(%)=y/3sin2a)x+cos2a)x+1+b

V31

=2(—sin2a)%4--cos2a)%)+1+b

=2sin(2a)x+$+1+b

由題：最大值為則力=-最小正周期為善則3=

3+b=2,1,26)=TT,1,?,?/(')=2sin(2%+56

(2)g(z)=/(Z+J+⑼=2sin(2x+開+2/+-2.sm(2x+2/+1)

266

??,g—=g—即gQ)是偶函數(shù)

???28+m=3(2k+l),.?.乎=￡+如(且0<0<￡)

62624

:.k=0,(p=/.g(0—2$加(2/+；)=-2cos2r

令2尢G[—71+2kn,2kn],則x€[―]+kn,kn],kEZ

所以，g(x)的減區(qū)間為［一三+E^+k兀］,kez

解析：本題考查函數(shù)y=4sin(3x+/)的函數(shù)圖象和性質(zhì)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

(1)利用輔助角公式將化為/(x)=2sin(2OJX++l+b,由題：最大值為3+6=2,則b=-1,

最小正周期為烏=兀，則3=1,即可求出函數(shù)解析式；

2a)

(2)g(x)=/(x+1+<p)=-2sin(2x+2卬+》又。"-力=g?-%),即g(x)是偶函數(shù)，求出2租+

步式2k+l),求出k=04屋，即可得到g")h2s21，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得g(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間.

12.答案:解：(l)f(z)=fi?-V--=x/3siiucoeir+cow2x-------sin2j：4--cos2x=sin("+沙

2999

由2工+)—ksz得工=W+^kez,

；?函數(shù)/'(%)的對(duì)稱中心為(-卷+.k€Z,

⑵???山-號(hào).

7T7T27r

???21+6€lf-TT

函數(shù)的值域?yàn)椋?半,i］.

解析：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱中心,

以及正弦函數(shù)的值域，屬于一般題.

(1)進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并化簡(jiǎn)即可求得f(x)=sin(2x+》，進(jìn)而求出f(x)的對(duì)稱中心；

(2)根據(jù)x的范圍便可求出2x+看的范圍，根據(jù)f(x)的解析式即可求出fQ)的值域.

13.答案：解：(1)由題意知，

f(x)=co?(2jr+J+siirx

?J

~開.7T1-CO?2X

=COKZTCOK—siiursinH----------

332

VO.1

=-------sm2?r+-，

22

???函數(shù)/(%)的最大值為當(dāng)+:

(2),,,/(—I4--=—?，即sinC=,

'J2'2242

因?yàn)?。€(().：),所以。=全

因?yàn)閏=百，a+b=3,由余弦定理*=標(biāo)+非一2abcosC,

即3=a24-h2—ab=(a+b)2—3ab=9—3ab,

可得：ab=2,

***△4BC的面積為S堤BC=x2x?

解析：本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的最值，以及余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中

檔題.

(1)由降基公式、兩角和差的三角函數(shù)公式化筒得/(工),一空疝吃工+；，得最值；

(2)代入求得C=p由余弦定理變形為3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=9-3ab,

可得：ab=2,代入面積公式求解即可.

14.答案s解：(1)丁/(x+1)+/(工)=sinir(x+1)4-SUMTX=-sin:rx+anirx=0,

???函數(shù)f(x)=sirnix是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)；

(2)設(shè)/(%)=sins:是a階回旋函數(shù)，則sina)(x+a)+asincox=0,

若3=0,上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立；

若3H0,sincD(x+a)=—asina)x,

由三角函數(shù)的值域可知a=±1,

當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有sin3(x+1)=-sintox=sin(a)x+兀)；

則3%+3=3%+7T+2/C7T,fcGZ,

所以3=(2k+1)TT,k€Z,

當(dāng)a=—1時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有sinco(x-1)=sineox；

則3%—to=cox4-2kji,fc6Z,所以3=-2kn,kGZ.

綜上所述：a)=mntmEZ.

(3)v/(%+a)+a/(x)=sino)(x+a)—1+asincox—a=0對(duì)任意的x都成立,

由(2)可知a=—1,a)=2mn,mGN*,

f(x)=sin2m7rx—1.

令/(%)=0，解得％=2+3(攵6N).

???函數(shù)fO)在[0,1]恰有100個(gè)零點(diǎn)，.?e+翁＜1＜高+黑，???等4m＜哈

又：m6N*,m=100,:.co=200TT.

解析：本題函數(shù)的創(chuàng)新問(wèn)題，考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，是中檔題.

(1)根據(jù)“回旋函數(shù)”的定義，只需得出/(x+1)+/(%)=0,即可得解；

(2)f(x)=sinax是a階回旋函數(shù)，則sintoQr+a)+asinwx=0恒成立，由三角函數(shù)的值域可知a=±1,

即可得結(jié)果；

(3)根據(jù)“回旋函數(shù)”的定義可得，/(x)=sin2m7T%-l,即可得結(jié)果.

15.答案：解：/(x)=2＞/3COS2X+2sinxcosx=V3(l+cos2x)+sin2x=2sin(2x+$+V3,

(1)v/(x)=2g,

.1,sin(2x+-)=—,21+-2上萬(wàn)+；或2工+1-=2A-TT4二;，kEZ,

??.x=krr+三或％=kn,kEZ,

6

???方程/'(x)=2百的解集為｛x|x=kn+翔X=kn,keZ);

(2)當(dāng)乂魄圖時(shí),2x+ge仔，爭(zhēng)，

**?sin(2%4-j)G[-L爭(zhēng),

因此/?(%)e[-2+y/3,2V3])

因?yàn)殛P(guān)于x的方程/(x)=m在長(zhǎng)弓上恒有解,

所以機(jī)的取值范圍為[-2+V3,2V3];

(3)當(dāng)xe[o圖時(shí),2x+；6呢第,

sin(2x+巳)6[-苧,1]'

因此〃X)max=2+g，

因?yàn)椴坏仁絝(x)<m在[o圖上恒成立,

所以/(x)max<m

m>2+y/3.

解析：本題考查函數(shù)三角函數(shù)的恒等變形、函數(shù)y=4sin(3x+w)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義

域和值域以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于較難題.

(1)根據(jù)二倍角公式變形為正弦形式，由/(久)=2次，得sin(2x+g)=^,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解關(guān)

于x的方程即可；

(2)求出當(dāng)xG邑與時(shí)的值域，從而求得m的范圍；

(3)先求xe[o圖時(shí)的值域，得f(x)最大值，然后根據(jù)不等式恒成立可得，f(x)max<m,從而求得

機(jī)的取值范圍.

16.答案：解：(1)根據(jù)已知可得1=s譏。+cos。+sin(；-。)+cos(g-。)，

。€儲(chǔ))，

n7T

(2)Z=sind+cosO+sin(——。)+cos(——0)

V311V3

=sinB+cos0+—cosd--sind4--cos0+—sind

2222

(V3+l)sm0(3+遍)cos。

=2+2

=(v/S+1)

=(V3+l)sin(8+；),

因?yàn)?E(0(),

當(dāng)且僅當(dāng)。=$即。=*時(shí)，/取得最大值遮+1.

解析：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知可得/=Sind+cose+sin?—。)+cos?-。)，6e(0,1)；

(2)利用兩角和差公式即輔助角公式化簡(jiǎn)]=(百+i)sin(e+g,ee(o,|),則當(dāng)且僅當(dāng)。+g=a

即。=5時(shí)，/取得最大值次+1.

O

17.答案：解：(1)由函數(shù)/。)=45譏(3%+樞)(4>0,3>0,|9|<9的圖象可知，

函數(shù)/Q)的最大值為2,則4=2；

最小正周期T=7—(—1)=8,

,9TT,*7F

則。8,解得3：；

U；4

又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2),

則2sin(；+w)=2,

所以,++2kTT,kGZ,

則9=1+2A,7T.k€Z,

又取<3所以爐=:,

/(1)=2sin(%+；

(2)由(1)可得/(工)：2siu(；_r+；),

xG[-1,2],則+。，手，

所以sin(:工+：)€[0.1],

函數(shù)/Q)在xe[-1,2]的值域?yàn)閇0,2].

解析：本題主要考查函數(shù)f(x)=As譏(3%+尹)的圖象與性質(zhì)，考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由函數(shù)f(x)的圖象可知函數(shù)f(x)的最大值、最小正周期及過(guò)點(diǎn)(1,2),可求出A、3及0的值，得

出函數(shù)/(x)的解析式；

(2)由(1)可得/(工)：2sin(；z+；),根據(jù)函數(shù)/(x)的定義域可得:”.與，結(jié)合正弦函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求出函數(shù)/Xx)在xG［—1,2］的值域.

18.答案：解：(1)由題意，函數(shù)/(X)=COS(3X+0)的最小正周期為兀，

所以詈=兀，可得3=2,所以/(x)=cos(2x+w),

又由/'(')=1,可得/(￡)=cos(2X￡+B)=cosG+0)=1,

OOOD

可得g+0=2/OT,k6Z,即9=2k7T-g,/ceZ,

因?yàn)橐唬?lt;9<0，所以W=-g,

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=cos(2x-》；

(2)由(1)知/(x)=cos(2x-^),

令2kn-7T<2x-<2kn,kGZ,

解得/ot-g《x《kn+%k6Z,

3o

所以函數(shù)f(x)=COS(2%-勺的單調(diào)遞增區(qū)間為因r-3，k兀+勺,kez；

(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)y=cos［2(x+g)-§=cos(2x+g),

再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得到函數(shù)y=g(x)=cos(x+g),

因?yàn)楣—,爭(zhēng)，可得％+］用,

o33b

所以一1<g(x)<*

所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇-1號(hào).

解析：本題考查了三角函數(shù)的定義域與值域，三角函數(shù)圖象的平移與圖象變換，三角函數(shù)的圖象與

性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)由已知三角函數(shù)的周期，可得3=2,又由/⑨=1,可得卬=-p即可求出函數(shù)〃x)的解析式；

(2)由(1)知/(x)=cos(2x-^),令2kn-n42x-^<2kn,keZ,即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間；

⑶由已知三角函數(shù)圖象的平移與圖象變換，可得g(x)=cos(x+》利用爭(zhēng)，即可求出

函數(shù)g(X)的值域.

19.答案：解：⑴/⑺=7T.了=—siiLrcoesz=—sin(2r+；i?,

由ysiiiJ,的單減區(qū)間為[2/CTT+—,2/CTT+—](fc6z)，:'2/CTT+鼻(2x+]<2/CTT+—>kEz,

Ak7r4--<%<fczr+—,k6z,

/(%)的遞增區(qū)間為左7+卻"顆e)

(2)因?yàn)榉匠?(x)=t在區(qū)間[0,芻內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

即y=/(x)的圖象與y=t的圖象在區(qū)間⑼鄉(xiāng)內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

如圖所示，立

2

??.t的取值范圍是(當(dāng)一1,0],