東莞威遠職中文化課數(shù)學教案：集合與簡易邏輯

東莞威遠職中文化課數(shù)學教案：集合與簡易邏輯

一、基礎(chǔ)知識

定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，

用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素X在

集合A中，稱x屬于A,記為xeA,否則稱x不屬于A,記作x紀A。例如，通

常用N,Z,Q,B,。+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理

數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用。來表示。集合分有限集和無限集兩種。

集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號

隔開表示集合的方法，如{1，2,3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括

號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)},{x|x>0}分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。

定義2子集：對于兩個集合A與團如果集合4中的任何一個元素都是集合6

中的元素，則A叫做8的子集，記為A=例如N=Z。規(guī)定空集是任何集

合的子集，如果A是8的子集，B也是A的子集，則稱A與8相等。如果A是

8的子集，而且6中存在元素不屬于A,則A叫6的真子集。

定義3交集，An8={x|xwA且xwB}.

定義4并集，AU8={xkeA或ceB}.

定義5補集，若&=則GA={#cw/,且xeA}稱為A在/中的補集。

定義6差集，A\B^{X\XEA,SLX^B}o

定義7集合國4<》<6,犬€凡4<6}記作開區(qū)間(4,匕)，集合

{x［a<x<b,x&R,a<b］記作閉區(qū)間［a,b},R記作(-oo,+oo).

定理1集合的性質(zhì)：對任意集合4,B,C,有:

(1)An(8uc)=(AnB)u(Anc)；(2)AU(8nc)=(AU3)n(4Uc)；

(3)GAUG6=G(an8)；(4)GanG6=GSUB).

【證明】這里僅證(1)、(3),其余由讀者自己完成。

(1)若xwAn(BUC)，則xwA,且xeB或xwC,所以xe(AnB)或

xe(AAC),即xw(AnB)U(AnC);反之，xe(4AB)U(AfiC)，則工^仍口⑶

或xw(4nc)，即xwA月.xw3或xwC,即xwA且xw(5UC)，即

x"n(BUC).

(3)若xeCjAUGB，則xeC]A或X^GB，所以x?A或x史8,所以

xe(ADB),又xe/,所以xeG(AnB),即UG臺1G5□8)，反之也

有G(A「B)±CAUCB.

定理2加法原理：做一件事有〃類辦法，第一類辦法中有嗎種不同的方法，第

二類辦法中有嗎種不同的方法，…，第〃類辦法中有，%種不同的方法，那么完

成這件事一共有N=??l]+帆2+…+用”種不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分〃個步驟，第一步有明種不同的方法，第二步有

叫種不同的方法，…，第〃步有凡種不同的方法，那么完成這件事一共有

N=7叫〃?“種不同的方法。

二、方法與例題

1.利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。

例1設(shè)"={《a=X?-yLx,〉eZ},求證:

(1)2%-leM,(左eZ)；

(2)4k-2eM,(?eZ)；

(3)若peM,qeM，則pqeA/.

［證明］(1)因為左,k-l€Z,且2左一l=/2一伙一1)2,所以2%-leM.

(2)假設(shè)4人一2eM(AeZ),則存在x,yeZ,使4k-2=——由于工一》和

x+y有相同的奇偶性，所以/-y2=a—y)(x+y)是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能

等于4%-2,假設(shè)不成立，所以4%-2紀

(3)設(shè)p=/-y2,g=/ez,則pq=(/_/乂/一匕2)

=a2a2+y2b2-x2b2-y2a~=(xa-yb)2-(xb-ya)2eM

(因為xa-yaeZ,x/?-yaGZ)□

2.利用子集的定義證明集合相等，先證再證6則4=8。

例2設(shè)A,B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足

AflM=8口"=An8,AU8UV=AU6，求集合M(用A,8表示)。

【解】先證(AnB)=M,若xw(AnB),因為AnM=AnB,所以

x&AC\M,x&M,所以(AnB)=M；

再證Mq(An8),若xe",則xeAU8UM=AUB.1)若xeA,則

xeAC\M=Ar\B-,2）若xeB,則％€8口加=4口8。所以〃=（4口8）.

綜上，M=AHB.

3.分類討論思想的應(yīng)用。

例3A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-l=0},C={x|x2-mx+2=0},若

AljB=A,AnC=C，求。，丸

【解】依題設(shè)，A={1,2},再由一一取+4—1=0解得x=?！?或》=1,

因為AU6=A,所以所以a—leA,所以a—1=1或2,所以a=2或3。

因為4口。=。，所以C=A,若C=0,則△=機2一8<0,即一2&<〃?<20,

若C/0,則leC或2wC,解得機=3.

綜上所述,a=2或a=3；〃z=3或一2-/2<m<2V20

4.計數(shù)原理的應(yīng)用。

例4集合A,B,C是/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集，（1）若AU8=/,

求有序集合對（A,B）的個數(shù)；（2）求/的非空真子集的個數(shù)。

【解】（1）集合/可劃分為三個不相交的子集；A\B,B\A,ADB,/中的每個元

素恰屬于其中一個子集，10個元素共有3埼種可能，每--種可能確定一個滿足條

件的集合對，所以集合對有31°個。

（2）/的子集分三類：空集，非空真子集，集合/本身，確定一個子集分十步，

第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第

10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有21°=1024個，非空真子集有1022個。

5.配對方法。

例5給定集合/={1,2,3,…,〃}的人個子集：AM2,…滿足任何兩個子集的

交集非空，并且再添加/的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求女的值。

【解】將/的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得2"T對，每一

H

對不能同在這2個子集中，因此，k<2-';其次，每一對中必有一個在這人個子

集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為GA與A,并設(shè)4nA=0，則

4=GA，從而可以在女個子集中再添加GA，與已知矛盾，所以人22"T。綜

上，k=2"-'o

6.競賽常用方法與例問題。

定理4容斥原理；用⑶表示集合A的元素個數(shù)，則|AU8|=H|+|M-|AnM，

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Anc|-|Bnc|+|AnBnc|,肄/此結(jié)論

可以推廣到〃個集合的情況，即Z

n_n

UAnA/+z14nAJDAJ—+(-i)n1P)A-

f=l/=1Hj\<i<j<k<nr=l

定義8集合的劃分：若AU&U…LM“=/，且A,nA;.=0(l<i,j<n,i^j)，

則這些子集的全集叫/的一個”-劃分。

定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。

定理6抽屜原理：將〃?〃+1個元素放入”(">1)個抽屜，必有一個抽屜放有不少

于m+1個元素，也必有一個抽屜放有不多于“個元素；將無窮多個元素放入“個

抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。

例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的數(shù)的個數(shù)。

【解】記/={1,2,3,…,100"={巾一4100,且工能被2整除(記為2卜)},

B={x|l<x<100,3|x},C={x|l<x<100,5|x),由容斥原理,

|AUSUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Bnc|-|cnA|+|AnBnc|=岑+與+

100100100100100

74,所以不能被2,3,5整除的數(shù)有

610~15

|/|-|AU8UC=26個。

例7S是集合｛1,2,…，2004｝的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7,

問S中最多含有多少個元素？

【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩

個數(shù)至多有一個屬于S,將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組

只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知

矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因為2004=182x11+2,所以S一共至多含

有182x5+2=912個元素，另一方面，當

5=｛4=1炊+//=1,2,4,7,10,廣42004,人”時，恰有間=912,且S滿足題目

條件，所以最少含有912個元素。

例8求所有自然數(shù)〃2),使得存在實數(shù)卬，取,…,明滿足:

{|a,.</<；<?}={1,2,-,^=^).

【解】當〃=2時，％=0,=1；當〃=3時，a]=0,%=L%=3；當〃=4時,

ax=0,〃2=2,%=5,%=1。下證當〃25時,不存在外〃滿足條件。

令0=%<。2<…，貝II%=

所以必存在某兩個下標i<),使得,-%卜氏-1,所以*-1=-4=或

?！?1=%,所以%=竽,%;%-1或%=修，4=1。

(i)若1,考慮%-2,有0,「2=%或%-2』-電，

即用=2，設(shè)a,一2=?！耙?,貝2=?！耙?-1，導致矛盾，故只有的=2.

考慮%-3,有a“一3=a—或％一3=a“一%，即%=3，^.an-3=an_2,則

%-*_2=2=出一g，推出矛盾，設(shè)的=3，則％-a0T=1=%-々，又推出

矛盾，所以a,-=出，"=4故當〃25時，，不存在滿足條件的實數(shù)。

S若%=怨g=l，考慮。「2,有4一2=%或―一牝，即

%=2,這時%—2=〃2-"i，推出矛盾，故?！ㄒ?=a〃一2?？紤]?！?3,有

?！耙?=?！╛2或—3=。“一生，即。3=3，于是%—。2=一?！ㄒ?，矛盾°因此

2=?！?3,所以％_]-*_2=1=。2-，這又矛盾，所以只有?！癬2=%，所以

〃=4。故當〃之5時，不存在滿足條件的實數(shù)。

例9設(shè)4={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,…,〃},在4中取三個數(shù)，B

中取兩個數(shù)組成五個元素的集合4,i=l,2,…,20,|A,n4|42,l〈i<JK20.求〃

的最小值。

【解】“mi"".

設(shè)B中每個數(shù)在所有A,中最多重復出現(xiàn)k次，則必有人44。若不然，數(shù)機出現(xiàn)

k次（火〉4）,則弘〉12.在機出現(xiàn)的所有A,中，至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，

不妨設(shè)它是1,就有集合{1，a,,a2,w,fr]}{l,a3,a4,m,b2},{l,a5,a6,m,b3},其中

%eA,\<i<6,為滿足題意的集合。生必各不相同，但只能是2,3,4,5,6

這5個數(shù)，這不可能，所以女44.

20個A,中，B中的數(shù)有40個，因此至少是10個不同的，所以〃216。當〃=16

時，如下20個集合滿足要求：

{1,2,3,7,8},{1,2,4,12,14},{1,2,5,15,16},{1,2,6,

9,10},

{1,3,4,10,11},{1,3,5,13,14},{1,3,6,12,15},{1,4,5,

7,9},

{1,4,6,13,16},{1,5,6,8,11},{2,3,4,13,15},{2,3,5,

9,11),

{2,3,6,14,16},{2,4,5,8,10},{2,4,6,7,11},{2,5,6,

12,13},

{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9},{3,5,6,7,10},{4,5,6,

14,15}o

例10集合｛1,2,3〃｝可以劃分成〃個互不相交的三元集合｛x,y,z｝，其中

x+y=3z，求滿足條件的最小正整數(shù)〃.

【解】設(shè)其中第i個三元集為{XQ,Z,},i=L2,…,〃，則1+2+...+3〃=￡4Z,,

/=!

所以3〃(3〃+1)=4￡G。當〃為偶數(shù)時，有8|3〃，所以“28,當〃為奇數(shù)時，有

2i=i

8|3〃+1,所以"25,當〃=5時，集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6),

{9,12,7},{10,14,8}滿足條件，所以〃的最小值為5。

三、基礎(chǔ)訓練題

1.給定三元集合則實數(shù)x的取值范圍是

2.若集合A="辰2+2x+1=0,aeR,xeR｝中只有一個元素，則

a--o

3.集合8=｛1,2,3｝的非空真子集有