函數(shù)的微分教案

間星期---月——日題 §2.5函數(shù)的微分教學目的理解函數(shù)微分的定義；微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性；會求函數(shù)的微分。教學重點會求函數(shù)的微分。教學難點微分在近似計算中的應用課型專業(yè)基礎課 教學媒體教法選擇講授教學過 程教法運用及板書要點一、函數(shù)的微分1、微分的定義引例一正方形金屬薄片受溫度變化影響，其邊長由乂0變到乂0+4乂，問此薄片的面積改變了多少？分析面積A=x2，AA=(x+Ax)2一x2=2xAx+Ax20 0 0般f(x)滿足定條件Ay=AA+0(Ax)，其中AA是Ax的線性函數(shù)。定義1：設函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內有定義，x0及x0+^x在這區(qū)間內，如果函數(shù)的增量Ay—f(x+Ax)f(x)可表示為：0 0Ay=AAx+0(Ax) (1)其中A是與x有關而與Ax無關的常數(shù)，o(Ax)是比Ax高階的無窮小量，0那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的，而AAx叫做函數(shù)y=f(x)在點x0相應于自變量^x的微分，記作dy即：dy=AAx。那么，函數(shù)具有什么條件才可微呢，下面我們討論可微的充要條件。Th1、函數(shù)y=f(x)在點x0處可微分的充要條件是該函數(shù)在x0處可導，且當f(x)在點x處可微時，有dy=f'(x)Ax。0 0證明："n”(必要性)若y=f(x)在點乂0處可微，Ay=AAx+0(Ax)，Ay40(Ax) ,「Ay…、A+ ，于是，A11m f(x)。Ax Ax Ax—Ax 0口TOC\o"1-5"\h\zAy …、"u"(充分性)設y=f(x)在點x處可導，即lim二=f*(x)0 Ax"A °根據(jù)極限與無窮小的關系有半=fXx)+alima=0，于是Ax 0 Ax-0Ay=f'(x)Ax+aAx aAx=0(Ax)，且f'(x)Ax不依賴Ax，即0 0dy=f'(x0)Ax，所以y=f(x)在點x。處可微。注1、可導今可微n連續(xù)n極限存在；可導n連續(xù)，反之不成立。2、當f'(x)豐0時，有0Ay—dy Ay—f'(x)Ax f'(x)lim———-二lim—-__J 0—二lim[1—J0]=0Ax-0Ay Ax—0 Ay Ax—0 AyAx表明當f'(x)豐0時，Ax-0時，Ay—dy不僅是比Ax高階的無窮小，0而且也是比Ay高階的無窮小；因此，dy是Ay的主部。從而當|Ax|很小時，Ayxdy。3、dx=Ax, y=(x)dx,令=f,(x)微商。dx【例1】求函數(shù)丫=乂3在x=1和x=2處的微分。解：函數(shù)丫=*3在x=1的微分為dy=(x3)'| dx=3dxx=1在x=2處的微分為dy=(x3)'|dx=12dx。x=2?！纠?】求函數(shù)y=sinx，當x=-,Ax=0.02時的微分。

PQ=MQtana=f'(x)A "以直代曲，即y=f(x)的微分0dy=f'(x)dx，在幾何上就表示曲線在點M(x,y)處的縱坐標相應于0 0 0Ax的增量。如圖2.5(P75)。3、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則(1)基本初等函數(shù)的微分公式(2)函數(shù)的和、差、積、商的微分法則d(u±v)=du±dv；d(uv)=vdu+udv；d(cu)=cdu；I,“、vdu一udv/八、d(-)= (v中0)。v v2(3)復合函數(shù)的微分法則設y=f(u),u=叭x),f'(u)及①'(x)存在，則復合函數(shù)y=f[^(x)]的微分為dy=f'(u和'(x)dx。由于①'(x)dx=du，所以復合函數(shù)y=f[p(x)]的微分也可以寫成：dy=f'(u)du或dy=y'du 微分的形式不變性。u【例3】y=sin(2x+1),求dy。解：法1：y'=2cos(2x+1)dy=2cos(2x+1)dx。法2：dy=d(sinu)=cosudu=cos(2x+1)d(2x+1)=2cos(2x+1)dx【例3】y=ln(1+小2),求dy。, 八 、 1 … 、 ex2 , 2xex2,解：dy=dln(1+ex2)= d(1+ex2)= dx2= dx1+ex2 1+ex2 1+ex2【例4】y=e1-3xcosx,求dy。解：dy=d(e1-3xcosx)=cosxd(e「3x)+e「3xdcosx=e1-3xcosxd(1-3x)-e1-3xsinxdx=-e1-3x(3cosx+sinx)dx【例5】填空：(1)d()=xdx(x2+c)(2)d( )=~^x= (x++c)2 2Vx

(3)d()=—— (—+c) (4)d()=cos5xdx(s'n"+c)x2 x 5ey練習：y=1+xey求dy。 (dy=eydx+xeydy,dy= dx)1一xey二、微分在近似計算中的應用.函數(shù)的近似計算如果y=f(x)在點x°處的導數(shù)f'(x0)豐0，且Ax很小時，有Ay六dy=f'(x)Ax0上式也可寫成：Ay=f(x+Ax)一f(x)xf'(x)Ax (2)0 0 0f(x+Ax)xf(x)+f'(x)Ax (3)0 0 0令x=x+Ax，即Ax=x-x，(3)可以寫成：0 0f(x)xf(x)+f'(x)(x-x) (4)0 0 0f(x)xf(0)+f'(0)x(x=0)0例6.有一批半徑為1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度定為0.01cm.估計一了每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm3)?解：已知球體體積為V=3兀R3,R0=1cm,AR=0.01cm.鍍層的體積為V=V(RQ+ARA-V(R0)xV'(R0)AR=4兀R02AR=4x3.14x12x0.01=0.13(cm3).于是鍍每只球需用的銅約為0.13v8.9=1.16(g).例7.利用微分計算sin30。30，的近似值.解：已知30。3°'= ,%=3&=360.sin30°30'=sin(x0+Ax)xsinx°+Axcosx0?兀? 兀兀 133兀 八=sin-r+cosA-QAn=^+^-QAn=0.5076.6 6360 22360即 sin30°30'x0.5076.常用的近似公式(假定1x1是較小的數(shù)值)：(1)n1+xx1+1x；n(2)sinxxx(x用弧度作單位來表達)；(3)tanxxx(x用弧度作單位來表達)；(4)exx1+x；(5)ln(1+x)xx.

證明⑴取f(x)=n1+X,那么八0)=1,八0)=1(1+x)nT =1,代入n x=0nfx)^f(0)+f'(0)x便得n1+x^1+1x.n證明(2)取fx)=sinx,那么f(0)=0,f'(0)=cosxlx=0=1,代入fx)^f(0)+f'(0)x便得sinxxx.例8.計算7105的近似值.解：已知n1+xx1+1x,故nV1.05=J1+0.05x1+1x0.05=1.025.2直接開方的結果是J1.05=1.02470.2.誤差估計在生產實踐中，經(jīng)常要測量各種數(shù)據(jù).但是有的數(shù)據(jù)不易直接測量，這時我們就通過測量其它有關數(shù)據(jù)后,根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù).由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結果也會有誤差，我們把它叫做間接測量誤差.下面就討論怎樣用微分來估計間接測量誤差.絕對誤差與相對誤差：如果某個量的精確值為A,它的近似值為。,那么lA-H叫做a的絕對誤差，而絕對誤差A-a與lal的比值與3叫做a的相對誤差.lal在實際工作中，某個量的精確值往往是無法知道的，于是絕對誤差和相對誤差也就無法求得.但是根據(jù)測量儀器的精度等因素，有時能夠確定誤差在某一個范圍內.如果某個量的精確值是A,測得它的近似值是a,又知道它的誤差不超過3/A-al<54,貝器4叫做測量A的絕對誤差限，緊叫A A A lal做測量A的相對誤差限(簡稱絕對誤差).例9.設測得圓鋼截面的直徑D=60.03mm,測量D的絕對誤差限3=0.05.利用公式A二號D2計算圓鋼的截面D 4積時，試估計面積的誤差.解：AAxdA=A'-AD=—D-AD,2 'IAAlxldAl=—D-lADl<-D-3.2 2d已知D=60.03,3D=0.05,所以=^~D-3=^-x60.03x0.05=4.715(mm2);A21 D 21-0.17%.ID-5-0.17%.若已知A由函數(shù)y=f(x)確定：A=y,測量X的絕對誤差是3%,那么測量y的3y=?由八y-dy=y'Ax,有TOC\o"1-5"\h\zy飪ldyl=ly1.IAxl<lyl.3^, |A所以測量y的絕對誤差3y=ly'l.3x：測量y的相對誤差為練習：1、求arctan1.02的近似值。1 ，…，、-解：取y=arctanx,由于y=- ，由公式(3)有:Ax1+X2Axarctan(x+Ax)-arctan(x)+0 0取x取x0=1A=0.02代入上式，兀即得arctan1.02--+0.01。4所以x=：，其值較小，所以x=：，其值較小，解：因為3，'65=