圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

簡單幾何體的表面積和體積第八章

立體幾何初步圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的求法會求與圓柱、圓錐、圓臺、球有關(guān)的組合體的表面積和體積能用公式解決簡單的實(shí)際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧各面面積之和展開圖棱柱、棱錐、棱臺棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺的體積棱錐棱臺棱柱棱柱、棱錐、棱臺的體積新課導(dǎo)入

與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺的表面積也是圍成它的各個(gè)面的面積和.問題1

圓柱的展開圖包括哪些平面圖形？如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，表面積公式是什么？利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖，可以得到它們的表面積公式.lOO'r??2πr兩個(gè)相同的圓以及一個(gè)矩形新知探究問題1

圓錐的展開圖包括哪些平面圖形？如果圓柱的底面半徑為r，母線長為l，表面積公式是什么？OSlr?2πrl一個(gè)扇形和一個(gè)圓新知探究O'Or'rl??問題3

圓臺的展開圖包括哪些平面圖形？表面積公式是什么？一個(gè)扇環(huán)和兩個(gè)圓2πr'2πr其中新知探究OO’∵圓臺側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)新知探究問題4

圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？2πrOSlr?lOO'2πrr??O'Or'2πr'rl2πr??上底面擴(kuò)大到與下底面全等上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)r′=rr′=0新知探究以前已經(jīng)學(xué)過圓柱、圓錐的體積公式，即lOO'rh??(r是底面半徑，h是高)OSlrh?O'Or'rl??h新知探究下面我們利用圓錐的體積公式來推導(dǎo)圓臺的體積公式O'Or'rlSO'Or'rl??hh′新知探究問題5圓柱、圓錐體、圓臺三者的體積公式之間有什么關(guān)系？r’＝r上底擴(kuò)大r’＝0上底縮小lOO'rOSlrO'Or'rlS′=SS′=0反思：柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系又如何？新知探究問題5球的表面積的公式又是什么？

設(shè)球的半徑為R，它的表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實(shí)上，如果球的半徑為R，那么它的表面積是O

把一個(gè)半徑為R的球的上半球橫向切成n（無窮大）份，每份等高并且把每份看成一個(gè)類似圓柱，球的表面積為所有圓柱的側(cè)面積之和.AOS球=4πR24倍大圓面積S球=4πR2把一個(gè)半徑為R的球的上半球橫向切成n(無窮大)份，每份等高并且把每份看成一個(gè)類似圓柱，其中半徑等于底面圓半徑，則從下到上第k個(gè)圓柱的側(cè)面積為O'Ork??h?kh新知探究新知探究問題6在小學(xué),我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式,你還記得是如何求得的嗎?類比這種方法，你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的體積公式嗎?劉徽的“割圓術(shù)”類比利用圓周長求圓面積方法,我們可利用球的表面積求球的體積.如圖,把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格,連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個(gè)球體就被分割成n個(gè)“小錐體”.當(dāng)n越大，每個(gè)小網(wǎng)格越小，每個(gè)“小椎體”的底面越平，“小椎體”就越接近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R.設(shè)O-ABCD是其中一個(gè)“小椎體”，那么它的體積就為由于球的體積就是這n個(gè)“小椎體”的體積之和，而這n個(gè)“小椎體”的底面積這個(gè)就是球的表面積.因此，球的體積為新知探究OABCD典例解析例1如右圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成,半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.

如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料?

(π取3.14)解：一個(gè)浮標(biāo)的表面積為S表=2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)

所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆所需涂料約為0.8478×0.5×1000=423.9(kg).典例解析

例2如圖示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.OR解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑也為R，高為2R.即球與圓柱的體積之比為2:3.1.已知圓錐表面積為am2，且它的側(cè)面積展開圖是一個(gè)半圓，求這個(gè)圓錐的底面直徑.解：OSlr?如圖示作出圓錐及它的側(cè)面展開圖.設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則有S圓錐=πr(r+l)=a.由圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，可得2πr=πl(wèi)，即l=2r.鞏固練習(xí)課本P119鞏固練習(xí)課本P1192.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等？解：由S球=V球，得∴當(dāng)一個(gè)球的半徑等于3時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等.3.將一個(gè)棱長為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球零件，求可能制作的最大零件的體積.解：由題意知2R=6，即R=3.∴最大球零件的體積為鞏固練習(xí)課本P1194.一個(gè)長、寬、高分別為80cm，60cm，55cm的水槽中裝有200000cm3的水，現(xiàn)放入一個(gè)直徑為50cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會從水槽中溢出.解：由題意知∴水槽在水面以上的體積為