《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch4-1-特征值與特征向量

二、特征值與特征向量例子：設(shè)則

.（3）定義3設(shè)為階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量滿足則稱為方陣的特征值,稱為特征值對應(yīng)的特征向量.即

它是個方程個未知量的齊次線性方程組，有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式上式左邊是的次多項式,稱為的特征多項式,記為.方程稱為的特征方程.由此可見，特征值即為特征方程的根.

而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，特征方程必有個根(重根按重數(shù)計算)，故階方陣有個特征值.求特征值對應(yīng)的特征向量解矩陣的特征多項式為例2求矩陣的特征值和特征向量.故

的特征值為當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系,故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.的特征多項式為解

矩陣例3求矩陣的特征值和特征向量.當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為

，（

不同時為零).當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.例4求矩陣的特征值和特征向量.的特征多項式為

解矩陣當(dāng)時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)

時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.例2：

例3：

例4：

矩陣的特征值和特征向量有以下的性質(zhì)：（重根按重數(shù)計算），則有

同的特征值；階矩陣

的全部特征值為

(2)設(shè)與它的轉(zhuǎn)置矩陣

階矩陣

有相性質(zhì)3

(1)的特征值，

(3)若為方陣

為相應(yīng)的特征向（ⅱ）為方陣

的特征值，相應(yīng)的特征向為方陣

的特征值，相應(yīng)的特征向量為

；

（?。┝?，則，其中

量為舉例：若是的特征值，則：（1）是的特征值；（2）若，則是的特征值；若是的特征值，則是的特征值；(4)若方陣可逆，則

的全部特征值都不為零；

可逆，則

為

的特征值，(5)若方陣相應(yīng)的特征向量為.舉例：若是的特征值，則：（5）是的特征值；例5已知階方陣的特征值為,

求.

解由可知從而可逆且.

又，故令，若為方陣的特征的特征值為，則的特征值為于是為的特征值.又值，則從例3中可看出,與，與是線性無關(guān)的,是與之對應(yīng)的特征向量.若互不相同,則線性無關(guān).這絕不是偶然的.一般地,有的是方陣個特征值,定理1設(shè)簡言之,方陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).因而,例3只有兩個線性無關(guān)特征向量,例2卻有三個線性無關(guān)特征向量.定理2若階方陣和相似，則和和有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.由定理2可得以下推論：相似，則是的個特征值（重根按階方陣與對角矩陣推論如果重數(shù)計）.例5設(shè)矩陣與相似，其中求和的值.解由于的特征值為,

故的特征值也是.又的特征方程為將代入上式可得,

即的特征方程為從而的特征值為，比較特征值得