2024屆山東省莒縣第一中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆山東省莒縣第一中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.12.復(fù)數(shù)的實部與虛部相等,其中為虛部單位,則實數(shù)()A.3 B. C. D.3.過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點,且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.4.給出下列四個命題:①若“且”為假命題,則﹑均為假命題;②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角;③若命題,,則命題,;④設(shè)集合,,則“”是“”的必要條件;其中正確命題的個數(shù)是()A. B. C. D.5.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.6.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢,寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機取一點,則該點取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.7.設(shè)點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件8.已知的值域為,當(dāng)正數(shù)a,b滿足時,則的最小值為()A. B.5 C. D.99.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減10.某個小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.14011.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.6312.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.14.設(shè)為正實數(shù),若則的取值范圍是__________.15.二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項為______.16.在平面直角坐標(biāo)系中,點在曲線:上,且在第四象限內(nèi).已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點M、N分別是、的中點,且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(2)若對于任意,直線與曲線都有唯一公共點,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.20.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.21.(12分)已知數(shù)列的各項都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項和.22.(10分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為,且,,則.故選:.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用乘法運算化簡復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.3、B【解析】

設(shè)點、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算,計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中等題.4、B【解析】

①利用真假表來判斷,②考慮內(nèi)角為,③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷,④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題,則﹑中至少有一個是假命題,故①錯誤;當(dāng)內(nèi)角為時,不是象限角,故②錯誤;由特稱命題的否定是全稱命題知③正確;因為,所以,所以“”是“”的必要條件,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查命題真假的問題,涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識,是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】

分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).6、C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.7、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域為,∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,∴的最小值為.故選:A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.9、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C11、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為,求出,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】,,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設(shè)外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合,建立關(guān)于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.14、【解析】

根據(jù),可得,進而,有,而,令,得到,再用導(dǎo)數(shù)法求解,【詳解】因為,所以,所以,所以,所以,令,,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,所以當(dāng)時,取得最大值,又,所以取值范圍是,故答案為:【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值,還考查了運算求解的能力,屬于難題,15、【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)求出,由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù),從而得常數(shù)項.【詳解】由題意,.展開式通項為,由得,∴常數(shù)項為.故答案為:.【點睛】本題考查二項式定理,考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項展開式通項公式是解題關(guān)鍵.16、【解析】

先設(shè)切點,然后對求導(dǎo),根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標(biāo),代入原函數(shù)求出切點的縱坐標(biāo),即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及導(dǎo)數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標(biāo),本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直,即證明出平面即可;(2)求出點A到平面的距離,然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】(1)連接,由是平行四邊形及N是的中點,得N也是的中點,因為點M是的中點,所以,因為,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)過A作交于點O,因為平面平面,平面平面,所以平面,由是菱形及,得為三角形,則,由平面,得,從而側(cè)面為矩形,所以.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明,求四棱錐的體積,屬于一般題.18、(I)見解析(II)【解析】

(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,得到,得,由韋達定理得,由基本不等式得,得,由題意得,令,則,令,,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明.(2)由得,令,利用反證法可證明證明恒成立.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,由此可求的取值范圍..【詳解】(I)令,得,由韋達定理得即,得令,則,令,則,得(II)由得令,則,,下面先證明恒成立.若存在,使得,,,且當(dāng)自變量充分大時,,所以存在,,使得,,取,則與至少有兩個交點,矛盾.由對任意,只有一個解,得為上的遞增函數(shù),得,令,則,得【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算及其應(yīng)用,同時考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力屬難題.19、(1);(2)【解析】

試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦,再利用兩角差的余弦定理即可求出;(2)根據(jù)(1)及面積公式可得,利用正弦定理即可求出.試題解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及題設(shè)條件,得,∴.由,得,∴,∴.點睛:解決三角形中的角邊問題時,要根據(jù)條件選擇正余弦定理,將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題,利用三角中兩角和差等公式處理,特別注意內(nèi)角和定理的運用,涉及三角形面積最值問題時,注意均值不等式的利用,特別求角的時候,要注意分析角的范圍,才能寫出角的大小.20、(Ⅰ),該公司年年利潤的預(yù)測值為億元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù),然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算可得,,,又,,,關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年,評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年,恰有年為級利潤年”的概率為,.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,同時也考查了古典概型概率的計算,涉及組合計數(shù)原理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】

(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式;(Ⅱ),根據(jù)新

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