四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題

秘密★啟用前威遠(yuǎn)中學(xué)校2024屆高三下期第一次模擬數(shù)學(xué)（文史類）命題人：第四組做題人：第四組審題人：第四組數(shù)學(xué)試題共4頁．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合A，求出集合B的補(bǔ)集，即可確定的元素，根據(jù)元素的個(gè)數(shù)，即可求得的真子集的個(gè)數(shù).【詳解】由題意，，故，故，則的真子集的個(gè)數(shù)為，故選：C2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z即可得出答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以．則1，故選：C．3.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于.4.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可計(jì)算的值，再根據(jù)解析式計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，則，所以，則.故選：D．5.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，，所以.故選：B.7.已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的關(guān)系結(jié)合已知等式化簡(jiǎn)，可得，結(jié)合，求出首項(xiàng)，即可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，由此一一判斷各選項(xiàng)，即可得解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以兩式相減得，可得，即，所以，因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，則，則，所以，由，得，得，即，所以，所以，，得，，A，B錯(cuò)誤；，C正確；，D錯(cuò)誤，故選：C.8.某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）.若該食品在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在℃的保鮮時(shí)間是A.16小時(shí) B.20小時(shí) C.24小時(shí) D.21小時(shí)【答案】C【解析】【詳解】試題分析：，兩式相除得，解得，那么，當(dāng)時(shí)，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用9.設(shè)函數(shù)若存在且，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，需將看成整體角，由范圍求得范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象，求得使的兩個(gè)解，由題只需使即可，計(jì)算即得.【詳解】不妨取，由可得：，由可得，由圖可取要使存在且，使得，需使，，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查與正弦型函數(shù)圖象有關(guān)的等高線問題.解決的關(guān)鍵在于將看成整體角，作出正弦函數(shù)的圖象，結(jié)合求得的整體角的范圍求得最近的符合要求的角，從而界定參數(shù)范圍.10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，為的外心，為邊上的中點(diǎn)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)可得，代入，所以，再根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得.【詳解】由題意，為的外心，為邊上的中點(diǎn)，可得：，因?yàn)?，可得：，又，所以有即，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ恚汗蔬x：C.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，且滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可求出點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)P的軌跡與圓D有交點(diǎn)列出不等式求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又∵點(diǎn)P在圓D上，∴所以點(diǎn)P為圓D與圓E的交點(diǎn)，即要想滿足題意，只要讓圓D和圓E有公共點(diǎn)即可，∴兩圓的位置關(guān)系為外切，相交或內(nèi)切，∴，解得.故選：D12.在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的有（）個(gè).①；②的取值范圍為；③的取值范圍為；④的最小值為A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理與三角恒等變換求得，從而判斷A；利用銳角三角形內(nèi)角的范圍判斷B；利用正弦定理與倍角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用三角恒等變換，結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，又，代入上式得，即，因?yàn)?，則，故，所以或，即或（舍去），所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，由解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，，即的取值范圍為，故C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，但因?yàn)?，所以，，無法取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．第Ⅱ（非選擇題，共90分）二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為__________．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，再求焦點(diǎn)到漸近線距離即可.【詳解】根據(jù)題意可得，故可得，則，則右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條漸近線為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離.故答案為：.14.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因?yàn)?，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當(dāng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，，所以.故答案為：7.【點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.16.已知，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，求出時(shí)的最大值，判斷零點(diǎn)的范圍，結(jié)合韋達(dá)定理，設(shè)，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】函數(shù)，圖象如圖，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，即方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．當(dāng)時(shí)，；，此時(shí)，由，可得，，，，遞減，,的取值范圍是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的定義，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列前n項(xiàng)和．【小問1詳解】由題意可得，解得，所以，即．【小問2詳解】由題意可知：，則，則，可得，兩式相減可得，所以．18.2023年12月25日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)選出的2023年國(guó)內(nèi)十大科技新聞揭曉．某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校100名學(xué)生對(duì)這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：不太了解比較了解合計(jì)男生204060女生202040合計(jì)4060100（1）判斷是否有95%把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；（2）若把這100名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，則這2人中至少有1人為女生的概率．附：①，其中；②當(dāng)時(shí)有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)．【答案】（1）沒有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，代入公式求，再與臨界值比較大小，即可判斷；（2）首先將抽到的學(xué)生編號(hào)，再采用列舉的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，所以沒有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異【小問2詳解】這100名學(xué)生中男生60人，女生40人，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，則抽取的男生有3人，女生有2人，設(shè)男生為，，；女生為，．則從這5人中選出2人的組合有，，，，，，，，，共10種，其中至少有1人為女生的組合有，，，，，，共7種，故所求概率為.19.如圖，四棱錐中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．（1）證明：；（2）若，M是PA的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)底面的幾何關(guān)系，可證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明；（2）首先求點(diǎn)到平面距離，再根據(jù)體積轉(zhuǎn)化，即可求解.【小問1詳解】取BC中點(diǎn)N，連接AN，則，又，，所以四邊形ANCD為正方形，則，，又在中，，則，所以，即．又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，所以平面，又面PAC，所以．【小問2詳解】連接，交于O，連接，因平面，平面，所以由于，，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面所以，，又因?yàn)镸為PA中點(diǎn)，所以20.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）記點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2），為定值．【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積為，表示為，結(jié)合雙曲線方程，即可得到答案；（2）首先設(shè)直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，并用坐標(biāo)表示和，并利用韋達(dá)定理表示，即可化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，解得，故雙曲線的方程為．【小問2詳解】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，則．當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，則，解得且，所以，所以．綜上，，為定值．21.設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求，的值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，，即可得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，從而得到，再分、、三種情況討論，分別結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，則，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，由題意可得：，解得，；【小問2詳解】令，則，由題意可知：當(dāng)時(shí)，恒有，且，則，解得，若，則有：①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，可知，令，因?yàn)椋趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)椋瑒t，，可知在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(