3.3 垂徑定理（7大題型）（分層練習）（原卷版）

第3章圓的基本性質3.3垂徑定理（7大題型）分層練習考查題型一垂徑定理的概念1．（2023春·黑龍江大慶·九年級大慶外國語學校?？茧A段練習）下列命題是假命題的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于弦的直徑平分這條弦 D．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓．其中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）請完善本課時的知識結構．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∵是直徑，，垂足為點，∴，∴．

4．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）用準確的文字語言描述“垂徑定理”：垂直于弦的直徑平分．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，的兩條弦（AB不是直徑），點E為AB中點，連接EC，ED．（1）直線EO與AB垂直嗎？請說明理由；（2）求證：．考查題型二垂徑定理的推論1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列說法中正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑一定垂直于弦；②圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是對稱軸；③直徑是弦；④長度相等的弧是等弧A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列語句中不正確的有（）

①長度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.A．5個 B．4個 C．3個 D．2個3．（2023春·九年級課時練習）垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑，并且平分弦所對的．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知在半圓中，，，，求的長．考查題型三利用垂徑定理求值1．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為5，弦，，垂足為點P，則CP的長等于（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．42．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知的半徑為5，是的弦，點P在弦上，若，則（）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）已知的直徑為，圓心O到弦AB的距離為，則．4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

5．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，．若，，求的面積．考查題型四利用垂徑定理求平行弦問題1、（2021春·九年級課時練習）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關系是（)A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．無法確定2．（2022春·九年級課時練習）如圖，點，，，在圓上，弦和交于點，則下列說法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分3．（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．4．（2022·九年級單元測試）設AB、CD是⊙O的兩條弦，ABCD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．5．（2021春·九年級課時練習）如圖，已知⊙O的半徑長為R=5，弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5，AB=6，求弦CD的長．考查題型五利用垂徑定理求同心圓問題1．（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°2．（2022春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．3．（2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．4．（2022浙江杭州·九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4，矩形的邊和分別是兩圓的弦，則矩形面積的最大值是．5．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．考查題型六利用垂徑定理求解其他問題1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，一圓弧過方格的格點，試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標為，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）

A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長為21，則的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．33．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水，截面AB在圓心O下方，若⊙O的直徑為60cm，水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．4．（2022春·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標是．5．（2022秋·江西南昌·九年級深圳市南山外國語學校校聯(lián)考階段練習）如圖，中，，，，以為半徑的交于D，求的長．考查題型七垂徑定理的實際應用1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（

）

A．① B．② C．③ D．④2．（2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（

）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉化為現(xiàn)在的數(shù)學語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑．嘉嘉經(jīng)過思考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高，底面內(nèi)徑，球的最高點到瓶底的距離為，則球的半徑為．

5．（2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學?？计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，求點C到弦所在直線的距離．1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，是弦，于點，則下列結論中不成立的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，是的弦，且，垂足為，連接．若，，則的長為（）

A．10 B．5 C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，的弦垂直于，點為垂足，連接．若，，則的值是（）

A． B． C． D．4．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，弦交于點E，，，過點O作于點F，延長交于點G，若，，則的長為(

)

A． B．7 C．8 D．6．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦于點，，，則．

7．（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學?？计谀┤鐖D，的半徑為6cm，是弦，于點C，將劣弧沿弦折疊，交于點D，若D是的中點，則的長為．

8．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，的半徑是，是的內(nèi)接三角形，過圓心分別作，，的垂線，垂足為，，，連接．若，則．9．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的半徑為2，將劣?。ㄌ摼€）沿弦折疊后交弦于點D，連接．若，則線段的長為．

10．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖，是直徑，點C在上，垂足為D，點E是上動點（不與C重合），點F為的中點，若，，則的最大值為．11．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點，若，．

(1)求的長；(2)若大圓半徑為，求小圓的半徑．12．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）已知：如圖，是的直徑，點C在上，請用無刻度直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點，且與C點在同側，畫出的平分線．并說明理由；(2)如圖②，若，畫出的平分線．13．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當圓被水面截得的弦為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？14．（2023春·吉林松原·八年級?？茧A段練習）如圖，有兩條公路相交成角，沿公路方向離點160米處有一所學校，當重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域