2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專(zhuān)題13 旋轉(zhuǎn)變換含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽9年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專(zhuān)題13旋轉(zhuǎn)變換閱讀與思考在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形變換稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大?。ㄟ^(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動(dòng)同樣大小的角度．旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形有下列性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)都經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)中心．例題與求解【例1】如圖，邊長(zhǎng)為1的正△A1B1C1的中心為O，將正△A1B1C1繞中心O旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，則兩個(gè)三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為＿＿．解題思路：S六邊形ABCDEF＝，解題的關(guān)鍵是尋找CB1，CB2，CD，C1D之間的關(guān)系．【例2】如圖，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分別為AB，CB，CD，AD的中點(diǎn)．求證：四邊形NMQP為正方形．解題思路：連結(jié)BD，AC，并延長(zhǎng)AC交于點(diǎn)E，則△OAC可以看作是由△OBD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，且∠AED＝90°，這是證明本例的關(guān)鍵．【例3】如圖，巳知在△ABC中，AB＝AC，P為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＜∠APC．求證：PB＞PC．解題思路：以A為中心，將△APB旋轉(zhuǎn)一個(gè)∠BAC，使AB邊與AC邊重合，這時(shí)△APB到了△AP'C的位置．【例4】點(diǎn)B，C，E在同一直線(xiàn)上，點(diǎn)A，D在直線(xiàn)CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線(xiàn)AE，BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝＿＿＿＿；如圖2，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝＿＿＿＿；（2）如圖3，若∠BAC＝，則∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；（3）將圖3中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合），得圖4或圖5．在圖4中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿；在圖5中，∠AFB與∠的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿．請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明．圖1圖1圖2圖3圖4圖5解題思路：從特殊到一般，在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有兩組不變的關(guān)系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，這是解本例的關(guān)鍵．【例5】如圖，已知凸五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．求證：∠ABC＝60°．解題思路：將△ABE以B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，使得AB與BC重合，落在△CBE'位置，則△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．【例6】如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A，B，C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng)．解題思路：本例是費(fèi)馬點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題的變形，解題的關(guān)鍵是確定最小值時(shí)E點(diǎn)的位置，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，把EA，EB，EC連結(jié)起來(lái)．能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖，巳知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝2，EC＝1，把線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線(xiàn)BC上的點(diǎn)F處，則F，C兩點(diǎn)的距離為＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題2．如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離為＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．3．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．將CD以點(diǎn)D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連結(jié)AE，則△ADE的面積是＿＿＿＿．4．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0＜＜180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么＝＿＿＿＿．第4題第4題第5題第6題5．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至AB'C'D′的位置，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是＿＿＿＿．6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜邊BC上距離點(diǎn)B6cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面積為＿＿＿．7．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）第7題第7題第8題第9題8．如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．則以PA，PB，PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比（從小到大）是（）A．2︰3︰4 B．3︰4︰5 C．4︰5︰6 D．不能確定9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則（）A．PA＋PB＋PC＜AB＋ACB．PA＋PB＋PC＞AB＋ACC．PA＋PB＋PC＝AB＋ACD．PA＋RB＋PC與AB＋AC的大小關(guān)系不確定10．已知：如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD．連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到△F′OE′（如圖2）．圖1圖1圖2（1）探究A'E與BF′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)＝30°時(shí)，求證：△AOE'為直角三角形．11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，點(diǎn)M，N分別是BE，CF的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)B，AC上（如圖1），則AM與AN的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿，∠MAN與的數(shù)量關(guān)系是＿＿＿＿；（2）將圖1中的△DEF繞點(diǎn)A（D）旋轉(zhuǎn)（如圖2），第（1）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖1圖2B級(jí)1．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，則△AMN的周長(zhǎng)＝＿＿＿＿．第1題第1題第2題第3題2．如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN＝45°，記AM＝，MN＝，BN＝，則以線(xiàn)段，，為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨，，的變化而變化3．如圖，直線(xiàn)＝與軸，軸分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO'B'，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）4．如圖，正方形ABCD中，已知AB＝，點(diǎn)分別在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面積．第4題第4題圖①圖②第5題5．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．求證：BC＋DC＝AC；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝120°，求證：PA＋PD＋PC≥BD．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，點(diǎn)D在邊BC上，已知BD︰DC＝2︰3，當(dāng)△ABC的面積是50cm2時(shí)，求△ADE的面積．第6題第6題第7題7．如圖，已知O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)．求證：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．8．（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一條直線(xiàn)上，M為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)．探究：線(xiàn)段MD，MF的關(guān)系；（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使得正方形CGEF的對(duì)角線(xiàn)CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，M為AE的中點(diǎn)．試問(wèn)：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，M為AE的中點(diǎn)．試問(wèn)：第（1）問(wèn)中探究的結(jié)論是否成立？圖1圖1圖2圖39．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按圖1的位置，使點(diǎn)F在BC上，取DF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，CG．（1）探索EG，CG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將圖中△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再連結(jié)DF，取DF中點(diǎn)G（如圖2），第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)你證明；（3）將圖1中△BEF繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（在0°～90°之間），再連結(jié)DF，取DF的中點(diǎn)G（如圖3），第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍成立？不必證明．圖3圖3圖2圖110．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），B（0，4）．以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)角為，∠ABO為．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在A(yíng)B邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿(mǎn)足BC∥軸時(shí)，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿(mǎn)足∠AOD＝時(shí)，求直線(xiàn)CD的解析式．圖1圖1圖2第10題第11題11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積．專(zhuān)題13旋轉(zhuǎn)變換例1如圖，連接OB1，OB2，B1B2，則OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.設(shè)CB1＝x，則CB2＝x，CD＝x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋x＋2x＝1，故＝＝.例2∵N，M分別為線(xiàn)段AB，CB的中點(diǎn)，∴MN＝AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD.∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四邊形NMQP為菱形.∵M(jìn)N∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP為正方形.例3，，，.連接，由得，而，即，∴，于是，即.例4（1）60°45°（2）90°－（3）∠AFB＝90°－∠AFB＝90°＋對(duì)∠AFB＝90°－證明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝.例5∵，∴.連接.∵，，，∴，得，∴為正三角形，＝60°，又BC＝CD＝CE’，則＝30°.∴.例6將△ABE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△FBG，連接GE，F(xiàn)C，則△BEG為等邊三角形，GE＝BE，∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC為定長(zhǎng)，∴當(dāng)E點(diǎn)落在FC上時(shí)，F(xiàn)C＝EA＋EB＋EC為最小值.∵∠FBC＝150°，F(xiàn)B＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上.作FH⊥BC交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于H，設(shè)BC＝x，則FB＝x，F(xiàn)H＝，HB＝，在Rt△FHC中，由，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方形的邊長(zhǎng)為2.例6題例6題圖A級(jí)1.1或52.6150°3.14.80或1205.2-提示:如圖,過(guò)B'作MN//AD，分別AB,CD于M,N,點(diǎn)B’C’交CD于K，則B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK∽△DNB’,

,DK=2-,重疊部分面積=2S△AKD=

6. 過(guò)P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可證明四邊形PMGN為正方形,PM=,S重疊=S正方形PMGN=.7.D8.A9.B提示:將△CPA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△C’AP’,連結(jié)PP’,△APP’為等邊三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.10.(1)AE’=BF’.(2)證法較多，如取OE’中點(diǎn)G,連結(jié)AG.11.(1)AM=AN,∠MAN=.(2)第(1)問(wèn)的結(jié)論仍成立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,進(jìn)一步可以證明△ABM≌△CAN.B級(jí)1.2提示:MN=BM+CN2.B提示:△ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,則△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2.3.D4. 提示:將△ADF'繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,到△ABG.的位置,則△AEF≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=,EF=EG=2(),S△AEF=S△ABG=EG·AB=.5.(1)提示:延長(zhǎng)BC至E,使CE=CD連結(jié)DE,證明△ACD≌△BED.(2)將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°到△ACB’,連結(jié)B’D,B’P,則四邊形AB’DP符合(1)的條件,于是B’P=PA+PD連結(jié)AC,則△ABD≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,從而B(niǎo)D≤PA+PD+PC.6.直接解題有困難,△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,240°拼成正△MBC(如圖),則正△ADE變?yōu)檎鰽D1E1和正△AD2E2易知,六邊形DED1E1D2E2是正六邊形,△DD1D2是正三角形,其面積是△ADE面積的3倍..因此,設(shè)法由正△MBC面積為150求出△DD1D2的面積,問(wèn)題就解決了.注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3,連結(jié)DM,則S△ADE=S△ABD=36cm2,而=36cm2.同理,可得=150-3×36=42cm2,故S△ADE==14cm2.7.如圖,將BP,BO,BC繞點(diǎn)B沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，變?yōu)锽P'，BO’,BC’連結(jié)OO’,PP’,則△BOO’,△BPP’都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB,顯然△BO’C’≌△BOC,△BP’C≌△BPC,由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’四點(diǎn)共線(xiàn).故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.8.(1)提示:延長(zhǎng)DM交EF于N,由△ADM≌△ENM,得DM=MN,MF=DN,FD=FN,故MD丄MF.(2)延長(zhǎng)DM交CE于N,連結(jié)DF,FN先證明△ADM≌△ENM,再證明△CDF≌△ENF.第(1)問(wèn)中的結(jié)論仍成立.(3)第(1)問(wèn)中的結(jié)論仍成立,延長(zhǎng)DM至N,使MN=DM,連結(jié)DF,FN,證法同上.(9)提示:EG=CG,EG丄CG,B,E,D在一條直線(xiàn)上,(2)仍然成立，延長(zhǎng)EG交CD于H點(diǎn)△FEG≌△DHG,△ECH,△ECG為等腰直角三角形.(3)仍然成立.10.(1)(2)＝2(3)如圖1,△OAE≌△DAE,△ABO≌△ABD,B,D,C,三點(diǎn)共線(xiàn).設(shè)D(a,b),則解得,∴,可得直線(xiàn)CD的解析式為.如圖2,同理可得,.11.提示:易證∠ACB=90°,如圖，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AQO,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)PQ,得到△APQ為等邊三角形.過(guò)點(diǎn)Q作QE丄AP,垂足為E,則∠AQE=30°,QE=,AE=PE連結(jié)DE,則DE=BP=，于是DE2=()2=QE2+QD2,從而∠DQE=90°,∠AQD=∠AQE+∠EQD=120°=∠APC.過(guò)點(diǎn)C作CF丄AP交AP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，得到∠CPF=60°,∵PC=2,∴PF=1,CF=,于是AC2=AF2+CF2=,∴S△ABC=2S△ACD=專(zhuān)題14平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例閱讀與思考平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理是證明比例線(xiàn)段的常用依據(jù)之一，是研究比例線(xiàn)段及相似形的最基本、最重要的理論．運(yùn)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解題的關(guān)鍵是尋找題中的平行線(xiàn)．若無(wú)平行線(xiàn)，需作平行線(xiàn)，而作平行線(xiàn)要考慮好過(guò)哪一個(gè)點(diǎn)作平行線(xiàn)，一般是由成比例的兩條線(xiàn)段啟發(fā)而得．此外，還要熟悉并善于從復(fù)雜的圖形中分解出如下的基本圖形：例題與求解【例1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且AF交BE于P，CE交DF于Q，則PQ的長(zhǎng)為＿＿＿＿．解題思路：建立含PQ的比例式，為此，應(yīng)首先判斷PQ與AD（或BC）的位置關(guān)系，關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個(gè)成比例線(xiàn)段中建立聯(lián)系．【例2】如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，BM交AD，AE于G，H，則BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2解題思路：因題設(shè)條件沒(méi)有平行線(xiàn)，故須過(guò)M作BC的平行線(xiàn)，構(gòu)造基本圖形．【例3】如圖，□ABCD中，P為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作一直線(xiàn)分別交BA，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，R，交CD，AD于S，T．求證：PQ?PT＝PR?PS．解題思路：要證PQ?PT＝PR?PS，需證＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直線(xiàn)上，故不能直接應(yīng)用定理，需觀(guān)察分解圖形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如圖1，如果P，E，F(xiàn)分別是BC，AC，BD的中點(diǎn)，求證：AB＝PE＋PF；（2）如圖2，如果P是BC上的任意一點(diǎn)（中點(diǎn)除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF這個(gè)結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由．圖2圖2圖1解題思路：（1）不難證明；對(duì)于（2），先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線(xiàn)出發(fā)證明AB＝PE＋PF，即要證明＋＝1，將線(xiàn)段和差問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為與成比例線(xiàn)段相關(guān)問(wèn)題的證明．【例5】如圖，已知AB∥CD，AD∥CE，F(xiàn)，G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過(guò)G的直線(xiàn)依次交AB，AD，CD，CE于點(diǎn)M，N，P，Q．求證：MN＋PQ＝2PN．解題思路：考慮延長(zhǎng)BA，EC構(gòu)造平行四邊形，再利用平行線(xiàn)設(shè)法構(gòu)造有關(guān)的比例式．【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如圖1，點(diǎn)M，P，N分別是邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：∠MPN＝∠A；（2）如圖2，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，且＝，＝，點(diǎn)P1，P2是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；如圖3，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是邊BC的2010等分點(diǎn)，則∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿．圖1圖1圖2圖3解題思路：本題涉及的考點(diǎn)有三角形中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．能力訓(xùn)練A級(jí)1．設(shè)K＝＝＝，則K＝＿＿＿＿．2．如圖，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，則EF＝＿＿＿＿．第2題第2題第3題第4題第5題3．如圖，在△ABC中，AM與BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，則BD︰DN＝＿＿＿＿．4．如圖，ABCD是正方形，E，F(xiàn)是AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC交DB，交DF于G，H，則EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．5．如圖，在正△ABC的邊BC，CA上分別有點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿(mǎn)足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），當(dāng)BF平分AE時(shí)，則的值為（）A． B． C． D．6．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AF︰FD＝1︰5，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于E，則AE︰EB等于（）A．1︰10 B．1︰9 C．1︰8 D．1︰7第6題第6題第7題第8題7．如圖，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，則PC等于（）A．4 B．8 C．12 D．16

8．如圖，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，BD＝BC，則BE︰EA等于（）A．3︰5 B．2︰5 C．2︰3 D．3︰29．（1）閱讀下列材料，補(bǔ)全證明過(guò)程．已知，如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BC于E，連結(jié)DE交OC于點(diǎn)F，作FG⊥BC于G．求證：點(diǎn)G是線(xiàn)段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)．（2）請(qǐng)你依照上面的畫(huà)法，在原圖上畫(huà)出BC的一個(gè)四等分點(diǎn)．（要求：保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法及證明過(guò)程）第9題第9題第10題第11題10．如圖，已知在□ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，AF＝FD，F(xiàn)E與AC相交于G．求證：AG＝AC．11．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O，且EF∥AD．（1）求證：OE＝OF；（2）求＋的值；（3）求證：＋＝．12．如圖，四邊形ABCD是梯形，點(diǎn)E是上底邊AD上的一點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作BA的平行線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，MB與AD交于點(diǎn)N．求證：∠AFN＝∠DME．B級(jí)1．如圖，工地上豎立著兩根電線(xiàn)桿AB，CD，它們相距15cm，分別自?xún)蓷U上高出地面4m，6m的A，C處，向兩側(cè)地面上的E，D和B，F(xiàn)點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線(xiàn)桿，那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為＿＿＿＿m．第2題第2題第3題第1題2．如圖，□ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O任作一直線(xiàn)與CD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于F，E點(diǎn)．設(shè)BC＝，CD＝，CF＝，則CE＝＿＿＿＿．3．如圖，D，F(xiàn)分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，連結(jié)DF交BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．4．如圖，設(shè)AF＝10，F(xiàn)B＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，則EF︰FD＝＿＿＿＿．第5題第5題第4題第6題5．如圖，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）A．10 B．12 C．16 D．186．如圖，CE，CF分別平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直線(xiàn)EF分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．若BC＝，AC＝，AB＝，且＞＞，則EM的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．如圖，在□ABCD的邊AD延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)F，BF分別交AC與CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，則BE等于（）A．4 B．8 C．10 D．12 E．168．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，直線(xiàn)BE交AD于點(diǎn)F，則AF︰FD的值是（）A．2 B． C． D．1第7題第7題第8題第9題9．如圖，P是梯形ABCD的中位線(xiàn)MN所在直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)AP，BP分別交直線(xiàn)CD于E，F(xiàn)．求證：＝．10．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，直線(xiàn)平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M，N，R，S和P．求證：PM·PN＝PR·PS．第11題第11題第10題11．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我們可以證明：＝成立（不要求證出）．以下請(qǐng)回答：若將圖中垂直改為AB∥CD∥EF，那么，（1）＝還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)找出S△ABD，S△BED和S△BDC的關(guān)系式，并給出證明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)PQ交邊AC于點(diǎn)P，交邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，求證：＝；（2）如圖2，當(dāng)PQ不與AD垂直時(shí)，（1）的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若∠BAC＝60°，其它條件不變，且＝，則＝＿＿＿＿（直接寫(xiě)出結(jié)果）圖1圖1圖2圖3專(zhuān)題14平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例例1提示：由,推得PQ∥AD。例2D例3提示：例4（1）略（2）結(jié)論仍然成立提示：.例5延長(zhǎng)BA，EC，設(shè)交點(diǎn)為O，則四邊形OADC為平行四邊形，不妨設(shè)QP=a，MN=b，PG=x,GN=y.∵F是AC的中點(diǎn)，∴DF的延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)O點(diǎn)，且.∵AB∥CD，∴，即，，∵AD∥CE，∴，即，，由①②可得，即例6（1）∵點(diǎn)M，P，N分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴線(xiàn)段MP，PN是△ABC的中位線(xiàn)，∴MP∥AN，PN∥AM，∴四邊形AMPN是平行四邊形，∴∠MPN=∠A。（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.如圖所示，連接MN，∵，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，∴MN∥BC，，又∵點(diǎn)P1,P2是邊BC的三等分點(diǎn)，∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等，∴四邊形MBP1N，MP1P2N,MP2CN都是平行四邊形，∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC,∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A。（3）∠A.A級(jí)1.-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.A7.C8.C9.略10.提示：延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，易證△AEF≌△BEH，.11.（1）略（2）1（3）提示：,EF=2OE。12.延長(zhǎng) BF和CM交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)ME和BC交于點(diǎn)Q。∵M(jìn)E∥BA，∴，∴,∵AD∥BC，∴，∴，得FN∥PM，故∠AFN=∠P=∠DME.B級(jí)1．2．提示：延長(zhǎng)FO交AB于G，則△OAG≌△OCF，。3．2：1提示：過(guò)D作DG∥BC交于CA于G，則AG:GC=2:3，CF:AF=2:3。4．5：2提示：，，。5．C6．B7．E提示：。8．C提示：延長(zhǎng)BF，CD交于點(diǎn)G。9．提示：，，。10．提示：。11．（1）等式還成立。（2）。提示：作BG⊥AD于G，作DH⊥BC于H，則，又，即，∴，。同理，。12．（1），（2）作DK∥AQ交AC于點(diǎn)K，，∴（3）專(zhuān)題15從全等到相似閱讀與思考相似三角形的知識(shí)應(yīng)用廣泛，可以證明角的相等、線(xiàn)段成比例等問(wèn)題．通過(guò)尋找（或構(gòu)造）相似三角形獲得比例線(xiàn)段或等角，用以論證或計(jì)算的方法，我們稱(chēng)為相似三角形法，這是幾何學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法之一．全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情況，相等是它的主旋律，從全等到相似的過(guò)程，不僅是認(rèn)識(shí)形式上的變化，而且在思維方法上也是一個(gè)飛躍，在相似形的問(wèn)題中出現(xiàn)的線(xiàn)段間的關(guān)系比全等形中的等量形式更為復(fù)雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式，甚至是線(xiàn)段乘積的和差、線(xiàn)段比的和差．證明這類(lèi)問(wèn)題，常常要通過(guò)命題的轉(zhuǎn)換或中間量的過(guò)渡．熟悉下面這些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形．例題與求解【例1】如圖，□ABCD中，直線(xiàn)PS分別交AB，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，圖中相似三角形的對(duì)數(shù)（不含全等三角形）共有對(duì)．（武漢市競(jìng)賽試題）解題思路：從尋找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的傳遞性．【例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解題思路：通過(guò)代數(shù)化，將P點(diǎn)的個(gè)數(shù)的討論轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)的討論．要使兩個(gè)三角形相似，并沒(méi)有具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應(yīng)注意分類(lèi)討論．【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F．求證：．（吉林省中考試題）解題思路：由于BP，PE，PF在一條直線(xiàn)上，所以必須通過(guò)等線(xiàn)段的代換促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．證明比例式或等積式是幾何問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解決它的常用方法是：①找相似：三點(diǎn)定形法；②作平行：根據(jù)要證明的式子，找到一個(gè)分點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)作平行線(xiàn)，能寫(xiě)出要證式子中的一個(gè)比或與其相關(guān)的比；③變?cè)剑喊ǖ攘看鷵Q、等積代換和等比代換．【例4】已知△ABC中，，CH是AB邊上的高，且滿(mǎn)足．試探討∠A與∠B的關(guān)系，并加以證明．（武漢市競(jìng)賽試題）解題思路：由題設(shè)易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用勾股定理、比例線(xiàn)段的性質(zhì)，推導(dǎo)判定兩個(gè)三角形相似的條件．如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，由此得出的等積式在計(jì)算與證明中應(yīng)用極為廣泛，其特點(diǎn)是：①一線(xiàn)段是兩個(gè)三角形的公共邊；②另兩條線(xiàn)段在同一直線(xiàn)上．構(gòu)造逆命題是提出問(wèn)題的一個(gè)常用方法，例4是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個(gè)逆命題．你能提出新的問(wèn)題嗎？并加以證明．【例5】如圖1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱(chēng)P為△ABC的自相似點(diǎn)．（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD是AB上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)；（2）在△ABC中，．①如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫(xiě)出作法并保留作圖痕跡）；②若△ABC的內(nèi)心（∠A，∠B，∠C角平分線(xiàn)的交點(diǎn)）P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．（南京市中考試題）解題思路：本例設(shè)問(wèn)形式多樣，從概念的判斷說(shuō)理到作圖求解，由淺入深，而認(rèn)識(shí)并深刻理解“自相似點(diǎn)”的概念，是解題的關(guān)鍵．圖1圖2圖3【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)時(shí)間（），那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q，A，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（河北省中考試題）解題思路：對(duì)于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明對(duì)應(yīng)關(guān)系，探求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)注意分類(lèi)討論．能力訓(xùn)練A級(jí)1．如圖，已知，，，，那么AD=．（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)M在A(yíng)B上且，點(diǎn)N在A(yíng)C上．如果連接MN，使得△AMN與原三角形相似，則AN=．3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，，，E，F(xiàn)為兩腰上的中點(diǎn)．下面的四個(gè)結(jié)論：①；②△ADE∽△EDC；③；④．其中結(jié)論正確的有．（填序號(hào)即可）（宜昌市中考試題）4．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，且．閱讀下段材料，然后回答后面問(wèn)題．如圖，連接BD，∵，，∴EH∥BD，∴FG∥BD，F(xiàn)G∥EH．（1）連接AC，則EF與GH是否一定平行，答：．（2）當(dāng)k值為時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．（3）在（2）的情形下，對(duì)角線(xiàn)AC與BD只須滿(mǎn)足條件時(shí)，EFGH為矩形；（4）在（2）的情形下，對(duì)角線(xiàn)AC與BD只須滿(mǎn)足條件時(shí)，EFGH為矩形．（黃岡市中考試題）5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列條件：①；②；③；④，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)（山西省中考試題）（第5題）（第6題）（第7題）（第8題）6．如圖，□ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，，AE交BD于點(diǎn)F，則等于（）A．B．C．D．（重慶市中考試題）7．將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，即為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知，，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度為（）A．2B．C．2或D．不確定（山東省中考試題）8．如圖，在△ABC中，，，，延長(zhǎng)BC至P，使得△PAB∽△PCA，則PC等于（）A．7B．8C．9D．10（重慶市競(jìng)賽試題）9．已知：正方形的邊長(zhǎng)為1．（1）如圖1，可以算出一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，求兩個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，進(jìn)而猜想出n個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；圖1（2）根據(jù)圖2，求證：△BCE∽△BED；（3）由圖3，在下列所給的三個(gè)結(jié)論中，通過(guò)合情推理選出一個(gè)正確的結(jié)論加以證明：①；②；③．圖2圖3（三明市中考試題）10．如圖，在△ABC中，．求證：．（黃岡市競(jìng)賽試題）11．（1）如圖1，等邊△ABC中，D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；（2）如圖2，將（1）中的等邊△ABC的形狀改為以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC，請(qǐng)問(wèn)：是否仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論．（蘇州市中考試題）圖1圖212．如圖，分別以銳角△ABC的邊AB，BC，CA為斜邊向外作等腰Rt△DAB，等腰Rt△EBC，等腰Rt△FAC．求證：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）B級(jí)1．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，，一直線(xiàn)交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E，交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于J，交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I．已知，則．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（第1題）（第2題）（第3題）2．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，點(diǎn)P在高AB上滑動(dòng)．若△DAP∽△PBC，時(shí)，．（重慶市競(jìng)賽試題）3．如圖，四邊形ABCD為正方形，A，E，F(xiàn)，G在同一條直線(xiàn)上，且cm，cm，那么．（香港初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）4．如圖，Rt△ABC中，，，DE⊥AB于E．設(shè)，，則（）A．B．C．D．（重慶市競(jìng)賽試題）（第4題）（第5題）5．如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是（）A．B．C．D．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．已知一個(gè)梯形被一條對(duì)角線(xiàn)分成兩個(gè)相似三角形，如果兩腰的比為，那么兩底的比為（）A．B．C．D．（江蘇省競(jìng)賽試題）7．如圖，O是四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，已知，，，，，求BC．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（第7題）（第8題）8．如圖，△ABC中，角，AD，BE分別平分∠BAC，∠ABC．求證：．（沈陽(yáng)市競(jìng)賽試題）9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別用a，b，c表示．（1）如圖1，在△ABC中，，且，求證：；（2）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱(chēng)這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第1問(wèn)中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角△ABC，如圖2，其中，關(guān)系式是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．10．在△ABC中，，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，，BE⊥DE于E，DE與AB相交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AB=AC時(shí)（如圖1），①；②探究線(xiàn)段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）當(dāng)時(shí)（如圖2），求的值（用含k的式子表示）．（大連市中考試題）11．如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線(xiàn)MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在A(yíng)B上，設(shè)其落點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（北京市宣武區(qū)中考試題）12．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)．P為對(duì)角線(xiàn)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，PF交AD于點(diǎn)M，PE交BC于點(diǎn)N，EF交MN于點(diǎn)K．求證：K是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)．（江西省競(jìng)賽試題）專(zhuān)題15從全等到相似例18例2C提示：分△PAD∽△PBC，△PAD∽△CBP兩種情況討論。例3提示：連接PC，則BP=CP，只要證明即可。例4（1）若垂足H在線(xiàn)段AB上，如圖1，由，,得，即，∴，又由，得，∴，由①②得，即，又∠B是△ABC和△CBH的公共角，∴△ABC∽△CHB，∠ACB=∠CHB=90o，∠A+∠B=90o（2）若垂足H在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖2，作邊CA關(guān)于CH的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段CA＇，由（1）的結(jié)論知∠A＇＋∠B=90o，而∠A＇=180o-∠A，代入上式得